"বর্ণাল মুহুর্ত" বলতে কী বোঝায়?

10

আমি গুগল এবং উইকির সর্বশক্তিমান ওরাকলসের সাথে পরামর্শ করেছি, তবে "বর্ণালীটির মুহুর্ত" শব্দটির কোনও সংজ্ঞা পাওয়া যায় না বলে মনে হচ্ছে।

আমি যে লিগ্যাসি ওয়ার্ক পাঠটি পড়ছি তা নিম্নলিখিত ইউনিট হিসাবে শূন্য-ক্রসিংয়ের সংখ্যাটিকে নিম্নলিখিত হিসাবে নির্ধারণ করে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে এটি ব্যবহার করে:

{এন}_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{{মি}_{2}}{{মি}_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

এরপরে এটি ইউনিট সময় অনুসারে অতিরিক্তের সংখ্যা আরও সংজ্ঞা দেয়:

{এন}_{ই} = \frac{1}{π} {(\frac{{মি}_{4}}{{মি}_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

যেখানে এটি যায় পরিশেষে বলে, "যেখানে হয় বর্ণালী তম মুহূর্ত।" $m_i$ $i$

এর আগে কারও মুখোমুখি? একটি বর্ণালী "মুহূর্ত" কি? এর আগে আমি কখনই ডিএসপি সাহিত্যে শুনিনি।

frequency-spectrum

— Spacey
সূত্র

বর্ণালী মুহুর্তের জন্য এলোমেলো প্রতিক্রিয়া পরিসংখ্যান নির্ধারণের জন্য বর্ণাল মুহুর্তের দক্ষ গণনার উল্লেখ : "বর্ণালী মুহূর্তগুলি একতরফা পিএসডি থেকে গণনা করা হয়"

— লরেন্ট দুভাল

1

আমি ভেবেছিলাম বর্ণা moments্য মুহুর্তগুলি হ'ল ঘোস্টবাস্টার মুভিতে কী ঘটেছিল! :-)

— পিটার কে

9

ধরে নিন লো-পাস সিগন্যালগুলি।

যেহেতু সাধারণত জটিল-মূল্যবান, পাওয়ার স্পেকট্রাম ব্যবহার করে সম্ভবত একটি ভাল ধারণা, বিশেষত আপনি যদি পরে বর্গমূল নিতে চান তবে। সুতরাং, কে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বিশেষ করে লক্ষ্য করুন সংকেত ক্ষমতায়, এবং এখন, নেই Gábor ব্যান্ডউইথ একটি সংকেত দেওয়া হয় এটিকে কিছুটা ভিন্ন দৃষ্টিকোণে রাখতে, $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

{মি}_{ট} = \int_{- \infty}^{\infty} চ^{ট} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ ।

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$

G

$G$

জি = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}{\int_{- \infty}^{\infty} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}} = \sqrt{\frac{{মি}_{2}}{{মি}_{0}}} ।

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ একটি নিরক্ষিত ফাংশন, এবং "বক্ররেখার অংশ ," যেমন v , সিগন্যালের শক্তি। সুতরাং, কার্যকরভাবে একটি শূন্য-গড় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন যার বৈকল্পিকতা ।

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} \frac{| এক্স (চ) |^{2}}{{মি}_{0}} ঘ চ = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}{\int_{- \infty}^{\infty} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ} = {জি}^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

ফ্রিকোয়েন্সি sinusoid Hz হয় হয়েছে প্রতি সেকেন্ডে শূন্য পারাপারের। যেহেতু মোহাম্মদ একটি লিগ্যাসি বই পড়া হয়, এটি ভাল রেডিয়ান ফ্রিকোয়েন্সি সমস্ত এই কাজ করা যেতে পারে , এবং এইভাবে যদি প্রতি সেকেন্ডে রেডিয়ানে নেই Gábor ব্যান্ডউইডথ, আমরা দ্বারা বিভক্ত করা প্রয়োজন দান $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

{এন}_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{{মি}_{2}}{{মি}_{0}}} প্রতি সেকেন্ডে শূন্য ক্রসিং।

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

চরম দিকে ফিরে ব্যুৎপন্ন এর ফুরিয়ার রূপান্তরিত হয়েছে এবং ক্ষমতা বর্ণালী । এর গ্যাবার ব্যান্ডউইথটি হল বিগলিত" before আগের মত একই যুক্তি ব্যবহার করে (পিরিয়ড অনুযায়ী ডেরিভেটিভের দুটি শূন্য-ক্রসিং পিরিয়ডের দুটি এক্সট্রিমার সমান হয়), হার্টজিয়ান ফ্রিকোয়েন্সি বনাম রেডিয়ান $x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} {জি}^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} | 2 π চ এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π চ এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} চ^{4} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}{\int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ}} \\ = \sqrt{\frac{{মি}_{4}}{{মি}_{2}}} । \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

{এন}_{ই} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{{মি}_{4}}{{মি}_{2}}} প্রতি সেকেন্ডে অতিরিক্ত

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর দিলীপ ... তবে, "গ্যাবোর ব্যান্ডউইথ"? ... আমি এর আগে এর আগে কখনও শুনিনি, এবং ওয়েব থেকে এটি সম্পর্কে কোনও তথ্য পাব না বলে মনে হয় - আপনি এর সূত্রটি কোথা থেকে পেয়েছেন? এবং এটি সঠিকভাবে পরিমাপ করার কথা কি?

— স্পেসি

পিডিএফ লিঙ্কগুলির জন্য ধন্যবাদ - যদিও আমি বিশ্বাস করি না তারা কাজ করছে। আপনি দয়া করে যাচাই করতে পারেন?

— স্পেসি

আপনি সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত যদি Hz হয় হয়; এক্ষেত্রে সঠিক বর্ণালী মুহূর্তটি হল

f

$f$

{মি}_{ট} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π চ)^{ট} | এক্স (চ) |^{2} ঘ চ ।

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos

@ জ্যাঙ্কোস আপনার কী দাবি হিসাবে মুহুর্তের সঠিক সংজ্ঞা মি_কি-র একটি রেফারেন্স ?

m_{k}

$m_k$

— দিলীপ সরওয়াতে

2

আমি জানি না যে আমি এই শব্দটি আগে শুনেছিলাম, তবে আমি "মুহুর্ত" শব্দটির অর্থ ভর কেন্দ্রে এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় মুহূর্তের কেন্দ্রের শারীরিক ধারণাগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ অর্থ হিসাবে ব্যাখ্যা করব:

{মি}_{ট} = \int_{- \infty}^{\infty} চ^{ট} এক্স (চ) ঘ চ

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

অর্থাৎ বর্ণালীটির প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সিতে থাকা সামগ্রীটি ফ্রিকোয়েনির -th শক্তি দ্বারা ওজনিত হয় এবং ফলাফলটি পুরো বর্ণালী জুড়ে সংক্ষিপ্ত হয়। আপনি যা চান তা এটি নিশ্চিত কিনা তবে তা নিশ্চিত নয় তবে এটি বর্ণালীর জন্য মুহুর্তের ধারণা (বা কোনও একক ভেরিয়েবলের কোনও ক্রিয়াকলাপ) বিষয়টি)। $k$

— জেসন আর
সূত্র

1

আপনি যে অনুপাতের কথা উল্লেখ করেছেন তা হ'ল মানযুক্ত মুহুর্ত বা মুহুর্তের উদাহরণ । সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণের মুহুর্তগুলি পদার্থবিজ্ঞানের মুহুর্তগুলির সাথে এবং পরিসংখ্যানের মুহুর্তগুলির মতো। পদার্থবিদ্যায় মুহুর্তের ধারণাটি হ'ল: $L$

একটি দূরত্ব এবং অন্য শারীরিক পরিমাণের পণ্য জড়িত একটি অভিব্যক্তি, এবং এইভাবে এটি কীভাবে শারীরিক পরিমাণটি অবস্থিত বা ব্যবস্থা করা হয়েছে তার জন্য অ্যাকাউন্ট করে

এটি গণ কেন্দ্রের ধারণার সাধারণীকরণ হিসাবে মনে হতে পারে। গড়, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, বা স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসগুলি ধারণা থেকে উদ্ভূত হয় এবং এগুলি যে কোনও ডোমেইনে যেমন সময় বা ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে গণনা করা যায়। মূলত, মান চারপাশে ডোমেন উপরে একটি ফাংশন এর মুহূর্তটি অবিচ্ছেদ্য আকারে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $\alpha$ $g$ $D$ $c$

{মি}_{ছ_{ডি}} (α, গ) = \int_{ডি} (টি - গ)^{α} ছ (টি) ঘ টি

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ বা কখন প্রয়োজন ছিল। ধ্রুপদীভাবে, বাস্তব সংকেতগুলির জন্য , প্রতিসামগ্রহের কারণে, সাথে ফুরিয়ার ডোমেনে বর্ণাল মুহুর্তগুলি পাওয়ার নরমালাইজড এনার্জি ( ) দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়

{মি}_{ছ_{ডি}} (α, গ) = \int_{ডি} [টি - গ |^{α} ছ (টি) ঘ টি

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

{মি}_{α} = \int_{চ \geq 0} চ^{α} \frac{| এক্স (চ) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | এক্স (ν) |^{2} ঘ ν} ঘ চ

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

উদাহরণস্বরূপ দেখুন: বর্ণালী মুহুর্তের জন্য এলোমেলো প্রতিক্রিয়া পরিসংখ্যান নির্ধারণের জন্য বর্ণাল মুহুর্তের দক্ষ গণনা: "বর্ণালী মুহূর্তগুলি একতরফা পিএসডি থেকে গণনা করা হয়"।

মুহুর্তের অনুপাতগুলিতে রূপান্তরিত হয়ে, তারা এক্সট্রিমার, শূন্য-ক্রসিং বা ( উদাহরণস্বরূপ সহ) সহ ফাংশন আচরণের একক-মুক্ত সূচক হয়ে উঠতে পারে । $L$ $m_1/m_2$

— লরেন্ট ডুভাল
সূত্র