ফুটফেজ স্পেকট্রামে হতবাক!

Question

একটি খুব সাধারণ ম্যাটল্যাব পরীক্ষা:

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x))));  

এবং আউটপুট এখানে:

এখন, উপরের কোড স্নিপেটে একটি সামান্য পরিবর্তন করা হয়েছে; কেবলমাত্র 1 টি নমুনা দ্বারা সময়কাল হ্রাস করা:

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1 - 1/fs;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x)))); 

এবং পর্যায় বর্ণালী সম্পূর্ণ উন্মাদ হয়ে যায়:

প্রশ্নাবলী:

1. প্রথম চক্রান্তে, আমি আশা করি যে বিন 700০০ এ শূন্য পর্বটি দেখতে পাবে যা এই উদাহরণে ২০০ এর ধনাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিটির সাথে মিলে যায়। ব্যাপারটা মনে হয় না। দ্বিতীয়ত, আমি প্লট 1 এর গ্রাফের লিনিয়ার অংশগুলি বুঝতে পারি না আমি তথাকথিত সংখ্যাসূচক শব্দগুলির কারণে সম্ভাব্যভাবে উপস্থিত থাকতে পারে এমন ফেজ উপাদানগুলির প্রশংসা করি, তবে কীভাবে সেই শব্দটি পর্যায়ে এতটা 'লিনিয়ার' হতে পারে?

2. দ্বিতীয় চক্রান্তে, কেন কেবল একটি নমুনা সরিয়ে ফেজের প্লটটিতে এরকম কঠোর প্রভাব ফেলবে?

3. আমি কি এখানে মৌলিকভাবে কিছু ভুল করছি?

Answer 1

আপনি কোনও ভুল করছেন না, তবে আপনি কী দেখার প্রত্যাশা করা উচিত সে সম্পর্কেও আপনি যত্ন সহকারে চিন্তা করছেন না, যার কারণে আপনি ফলাফলটি দেখে অবাক হয়েছেন। প্রশ্ন 1 এর জন্য, আপনার অনুমানটি নিকটবর্তী তবে আসলে আপনার পিছনে জিনিস রয়েছে; এটি এমন প্রথম সংখ্যা নয় যা আপনার দ্বিতীয়টিকে জড়িয়ে ফেলছে noise

ছবিগুলি সাহায্য করতে পারে। এখানে প্রথম পরীক্ষার জন্য প্রস্থ এবং পর্বের প্লটগুলি রয়েছে:

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

এবং দ্বিতীয়টি:

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1 - 1/1000, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

তাহলে এখানে কি হচ্ছে? দ্বিতীয়টি ব্যাখ্যা করা সবচেয়ে সহজ। প্রথমত, দ্বিতীয়টির এফএফটিটির দৈর্ঘ্যের বর্ণালীতে দৃশ্যমান দুটি শিখর বাদে সর্বত্র শূন্য প্রশস্ততা রয়েছে; এটি অনুসরণ করে এফএফটি সংজ্ঞাটি সহ 1000 টি ডেটাপয়েন্ট ব্যবহার করে ফর্মের ফ্রিকোয়েন্সি দেয়$k/1000$ জন্য $0\leq k\leq 999$, এবং সুতরাং আপনার সংকেত হুবহু একটি ফ্রিকোয়েন্সি বিন উপর পড়ে । ফলস্বরূপ, অন্যান্য 998 পয়েন্টে আপনার সিগন্যাল পুরোপুরি ভাসমান পয়েন্ট ত্রুটির কারণে যন্ত্রের শোরগোলের কারণে এবং তাই আপনার পর্বের বর্ণালীটি বোকামি, কারণ এটি আক্ষরিক অর্থে সিউডোর্যান্ডম সংখ্যার পর্ব।

প্রথমটির জন্য, তবে, এফএফটি সংজ্ঞা জন্য ফর্মের ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে , তবে আপনার সংকেত ফ্রিকোয়েন্সি , যা ফর্মের নয় । ফলস্বরূপ, আপনার সিগন্যাল বর্ণাল ফুটো দ্বারা প্রশস্ত হয় এবং প্রায় সর্বত্র ননজারো হবে will আমি ফেজ প্লটের শারীরিক রূপের বিষয়ে মন্তব্য করব না, তবে আমি বলব যে এটি একটি বদ্ধ বিশ্লেষণাত্মক ফর্মকে স্বীকার করে।$k/1001$$0\leq k \leq 1000$$200/1000$$k/1001$

সাধারণভাবে, আমি মনে করি একাই ফেজ এঙ্গেলের গ্রাফগুলি তথ্য পৌঁছে দেওয়ার জন্য খুব খারাপ ধারণা, ঠিক এই কারণেই; প্রথমত, আপনি বলতে পারবেন না যে আপনি কম প্রশস্ততা আবর্জনা বা প্রকৃত সংকেতের ধাপটি দেখছেন, এবং দ্বিতীয়ত, এটি অনুবাদ-আক্রমণকারী নয়, সহজ সরল ইনপুটগুলির জন্য একেবারে বিচলিত গ্রাফ পাওয়া সহজ। আরও ভাল, যদি আপনি এখনও এমন কিছু সন্ধান করছেন যা পর্যায়ের তথ্য সরবরাহ করে, যা এমন গ্রাফ যা একই সাথে একই ভিজ্যুয়াল পদ্ধতিতে পর্যায় এবং প্রশস্ততার তথ্য চিত্রিত করে, যেমন একটি প্লট যেখানে হুজ এবং প্রস্থকে এনকোড করা হয় এমন একটি প্লট যেমন উজ্জ্বলতা হিসাবে এনকোড থাকে।

অ্যাডেন্ডেন্ডাম: এখানে ম্যাথামেটিকার কয়েকটি ছবি যা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আমি যে নীতিটি বলেছিলাম তা চিত্রিত করে:

hue = Compile[{{z, _Complex}}, {(1.0 Arg[-z] + \[Pi])/(2 \[Pi]), 
Exp[1 - Max[Abs[z], 1]], Min[Abs[z], 1]}, 
CompilationTarget -> "C", RuntimeAttributes -> {Listable}];
L = 500;
data = Table[Boole[x <= 11 && y <= 11], {x, L}, {y, L}];
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-5, -5}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-4, -4}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {0, 0}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]

তিনটি চিত্রই একই ইনপুট সিগন্যালের 2 ডি ফুরিয়ার রূপান্তর (এ। এন।) $11\times 11$ দৈর্ঘ্যে শূন্যের সাথে 1 প্যাডযুক্ত বর্গক্ষেত্র $500\times 500$), তবে ইনপুটগুলি চক্রাকারে 5, 4 এবং 0 এবং 200 ডেটাপয়েন্ট দ্বারা ঘোরানো হয়েছে। দৈর্ঘ্যের বর্ণালী (পিক্সেল উজ্জ্বলতায় এনকোডড) অভিন্ন, তবে পর্বের বর্ণালী সম্পূর্ণ আলাদা! ফেজ এনকোডিংটি সম্পন্ন হয়েছে যাতে 1 টি মানচিত্র লাল হয়ে যায়,$i$ সবুজ থেকে মানচিত্র, $-1$ সায়ানের কাছে মানচিত্র, এবং $-i$বেগুনি মানচিত্র। আমি যখন বলি তখন পর্যায়ের বর্ণালীটি হ'ল অ-শিফট আক্রমণকারী, এবং এইভাবে মানুষের চাক্ষুষ বোঝার পক্ষে উপযুক্ত নয়। উদাহরণস্বরূপ, 200 ডেটাপপয়েন্টের একটি চক্রাকার শিফট সহ, পর্যায়ে কী চলছে তা বলা সম্পূর্ণ অসম্ভব, যেহেতু এটি কেবল স্থির মতো দেখাচ্ছে তবে ইনপুট সংকেত অন্যান্য ইনপুট ক্ষেত্রেগুলির চেয়ে জটিলতর নয়।

Answer 2

যদি আপনি কোনও সিগন্যাল বা এফএফটি দৈর্ঘ্যের ফ্রিকোয়েন্সিটি পৃথক করতে চান যাতে এফএফটি অ্যাপারচারে সিগন্যাল ঠিক পর্যায়ক্রমিক এবং একেবারে সাময়িক সময়ের মধ্যে পরিবর্তিত হয় এবং সেই সংকেত পরিবর্তনের জন্য শিখরের দৈর্ঘ্যের বিনের পর্বটি দেখতে চান না, কেউ যদি সূচনার পরিবর্তে এফএফটি অ্যাপারচার (উত্পন্ন পাপ (টি) এর জন্য, এফএফটি অ্যারের কেন্দ্রে টি = 0 রাখে) কেন্দ্রের কাছে সংকেতের প্রাথমিক পর্যায়ে উল্লেখ করতে পারে।

Answer 3

গাউসিয়ান ওয়েভস সাইটটি এই পর্ব এবং তার এলোমেলো মত আচরণ সম্পর্কে অংশের বিবরণ দেয়: ডাম্পস্টারডুফাস যেমন বলেছেন তেমনি ভাসমান-পয়েন্ট ত্রুটির বিষয় a