আসল স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর

আমি আসল ডিএফটি এবং ডিএফটি এবং কেন পার্থক্য বিদ্যমান তা বোঝার চেষ্টা করছি ।

আমি এখনও অবধি যা জানি তা থেকে ডিএফটি ভিত্তি ভেক্টরগুলির জন্য $e^{i2\pi kn/N}$ ব্যবহার করে এবং যোগফলটি থেকে থেকে historicalতিহাসিক কারণে রচিত হয়েছে বলে আমি মনে করি এটি লেখার পরিবর্তে ফুরিয়ার সিরিজের সাথে সমানভাবে লেখার পরিবর্তে থেকে তে যোগফল যোগ করা হবে : এটি ডিএফটি-র এক অদ্ভুত অ্যানোমোলির উপর নির্ভর করে যেখানে : হাই ফ্রিকোয়েন্সি নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি মতই ।

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

ফুরিয়ার সিরিজের সাথে সাদৃশ্য অব্যাহত রাখলে আসল ডিএফটি এই সংযুক্তি হিসাবে দেখা যাবে সঙ্গে the DFT উপস্থাপনায় যেখানে যোগফল থেকে । এটি অনেকটা যুক্ত হওয়া মতো যা কোনও দুটি উপস্থাপনাকে সংযুক্ত করে ফুরিয়ার সিরিজ:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

আমার প্রশ্নতাহলে কেন ডিএফটি আসল ডিএফটির চেয়ে এত বেশি প্রচলিত? কেউ আশা করতে পারেন যেহেতু আসল ডিএফটি প্রকৃত মূল্যবান সাইন এবং কোসাইনকে ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করছে এবং এইভাবে জ্যামিতিক চিত্রটিকে আরও ভালভাবে উপস্থাপন করা হচ্ছে যাতে লোকেরা এটি আরও পছন্দ করে। আমি দেখতে পাচ্ছি কেন ডিএফটি এবং অবিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটিকে তাত্ত্বিক অর্থে প্রাধান্য দেওয়া হবে কারণ তাত্পর্যগুলির বীজগণিত সহজ। তবে সাধারণ বীজগণিতকে উপেক্ষা করে ব্যবহারিক গণনার প্রয়োগিত দৃষ্টিকোণ থেকে কেন ডিএফটি আরও কার্যকর হবে? জটিল সংশ্লেষ সহ আপনার সিগন্যালটিকে উপস্থাপন কেন বিভিন্ন পদার্থবিজ্ঞান, বক্তৃতা, চিত্র ইত্যাদি প্রয়োগগুলিতে আপনার সিগন্যালকে সিন্স এবং কোসিনগুলিতে ক্ষয় করার চেয়ে বেশি কার্যকর হবে। এছাড়াও আমার উপরের প্রকাশের মধ্যে আমি যে সূক্ষ্ম কিছু অনুপস্থিত রয়েছি তা জানতে চাই: আমি '

dft

— user782220
সূত্র

প্রকৃত স্বতন্ত্র ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি গুরুত্বপূর্ণ কারণটি হল যে সাধারণ ডিএফটি প্রয়োগ করে কোনও বাস্তবের অনুক্রমের ফলে কিছুটা হয়, এর জন্য দৈর্ঘ্যের রিয়েল সিকোয়েন্স correspond এর সাথে সম্পর্কিত রূপান্তর , অনুক্রম ক্রম এর জটিল জটিল । এরপরে এটি দাঁড়ায় যে, কেবলমাত্র রূপান্তরটির ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে সম্পর্কিত এন্ট্রিগুলির প্রয়োজন। এই প্রসঙ্গে তথাকথিত হার্টলে রূপান্তরটির মুখোমুখিও একজন । উভয় পন্থা ব্যবহার করা হয়।

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

বিটিডাব্লু: আমি সত্যই ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং হার্টলি ট্রান্সফর্ম উভয় ক্ষেত্রেই এই দুটি কাগজপত্র পড়ার জন্য সুপারিশ করছি ; এগুলি ডিএফটি বাদে এই পদ্ধতিগুলির আগ্রহের ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য তারা একটি ভাল কাজ করে।

এটি কি সত্য যে আরডিএফটির ম্যাট্রিক্স এবং ডিএফটির ম্যাট্রিক্স ভিত্তি পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত? এবং ভিত্তির পরিবর্তনটি আসলে কীভাবে ফুরিয়ার সিরিজটিকে দুটি উপায়ে by সাথে সহগের সাথে উপস্থাপিত করা যায় তার সমান্তরাল প্রতিফলন । এবং ডিএফটি প্রসঙ্গে মূল বক্তব্যটি হ'ল উপরের ফ্রিকোয়েন্সিগুলি নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে বিবেচনা করা উচিত যাতে do করা সম্ভব ফুরিয়ার সিরিজ মত Sines এবং cosines পেতে, RDFT দান

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

ভ্যান anণের একটি অধ্যায় আপনার প্রশ্নকে বিশদে সম্বোধন করে। এটি ক্রোনেকার পণ্যগুলির কারসাজির সাথে কিছু দক্ষতা অনুমান করে।

খুব কমপক্ষে আপনার এখনকার চেয়ে কম প্রশ্ন থাকা উচিত।

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ exponentials একই সেট । তদুপরি, প্রতিটি নতুন ওজন একটি পুরানো ওজনকে একটি উপযুক্ত সংখ্যার দ্বারা গুণিত করে প্রাপ্ত হয়।

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ দুটি ভিত্তি ফাংশন দ্বারা। এটি যুক্তিযুক্ত হতে পারে যে জটিল ফাংশনগুলির জন্য আসল ফাংশনগুলির দ্বিগুণ পরিশ্রম প্রয়োজন এবং সুতরাং যে কোনও সঞ্চয় নিখুঁতভাবে কাল্পনিক (শঙ্কিত উদ্দেশ্য), তবে পাপ / কোস্টের উপস্থাপনা না করে জটিল উপস্থাপনাগুলি অভিন্ন চিকিত্সার অনুমতি দেয় । কুইক! প্রতিক্রিয়া দেওয়া হল , এর প্রতিক্রিয়া কি ? আপনাকে এটিতে কিছুটা কাজ করতে হবে, আপনার যেমন ইত্যাদি on জটিল এক্সপেনশনিয়ালের সাথে জীবন অনেক সহজ is $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

তবে, বাস্তব জীবনের মতোই, আপনার মাইলেজও পৃথক হতে পারে এবং আপনি যদি মনে করেন যে পাপ / কোসের উপস্থাপনাগুলি হ'ল উপায় এবং জটিল তাত্পর্য রোধ করা উচিত, তবে আপনি আপনার হৃদয় অনুসরণ করতে মুক্ত। আপনার যদি ধারণাটি সহকর্মী, মনিব, ক্লায়েন্ট বা পরামর্শদাতাদের সাথে যোগাযোগ করতে সমস্যা হয় তবে তা তাদের ক্ষতি হবে, আপনার নয়।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র