কেন ডিএফটি রূপান্তরিত সংকেত পর্যায়ক্রমিক বলে ধরে নেয়?

10

অনেকগুলি সিগন্যাল প্রসেসিং বইগুলিতে দাবি করা হয় যে ডিএফটি রূপান্তরিত সংকেতটিকে পর্যায়ক্রমিক বলে ধরে নিয়েছে (এবং এই কারণেই বর্ণালী ফুটো হতে পারে)।

এখন, আপনি যদি ডিএফটি-এর সংজ্ঞাটি দেখেন তবে কেবল ধরণের ধারণা অনুমান করা যায় না। তবে বিচ্ছিন্ন-সময় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিটিএফটি) সম্পর্কে উইকিপিডিয়া নিবন্ধে বলা হয়েছে যে

ইনপুট ডেটা ক্রম যখন হয় রুপান্তর -periodic, Eq.2 গণনা একটি বিযুক্ত ফুরিয়ার কমে যাবে (DFT) $x[n]$ $N$

সুতরাং, এই অনুমানটি কি ডিটিএফটি থেকে আসে?
আসলে, DFT গণক যখন, আমি আসলে DTFT গণক মধ্যে আছি ভাবনাটি হলো এই যে সংকেত পর্যাবৃত্ত হয়?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
সূত্র

কারণ এক্স এর ডিএফটি এক্স [কে] এক্স [এন] হল পর্যায়ক্রমিক সিগন্যাল এক্সপি [এন] এর ডিস্ক্রিট ফুরিয়ার সিরিজের (ডিএফএস) প্রথম পর্ব, যার প্রথম

— পিরিয়ডটি

1

দেখে মনে হচ্ছে আমাকে এর একটি ভিন্ন মতামত লিখতে হবে। ডিএফটি রূপান্তরিত সংকেত পর্যায়ক্রমিক বলে ধরে নেয় কারণ এটি ট্রান্সফর্মড সিগন্যালের ভিত্তিতে ফাংশনগুলির একটি সেট ফিট করে, যার সবগুলি পর্যায়ক্রমিক।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

1

ডিএফটি হ'ল ডিএফএসের সহজ সরল অভিব্যক্তি, সুতরাং পর্যায়ক্রমিক অনুমান সহজাতভাবে বিদ্যমান।

— lxg

12

ইতিমধ্যে কিছু ভাল উত্তর রয়েছে তবে আমি এখনও আরও একটি ব্যাখ্যা যুক্ত করার মতো বোধ করছি কারণ ডিজিটাল সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণের অনেক দিক বোঝার জন্য আমি এই বিষয়টিকে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ মনে করি।

সবার আগে এটি বুঝতে গুরুত্বপূর্ণ যে ডিএফটি রূপান্তরিত হওয়ার জন্য সিগন্যালটির পর্যায়ক্রমকে 'ধরেই নেয় না'। DFT কেবল দৈর্ঘ্যের এর একটি সীমাবদ্ধ সংকেতে প্রয়োগ করা হয় এবং সংশ্লিষ্ট ডিএফটি সহগগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

(1) থেকে এটি স্পষ্ট যে কেবলমাত্র ব্যবধানে এর মধ্যে এর নমুনাগুলি বিবেচনা করা হয়, তাই কোনও পর্যায়ক্রমিকতা ধরে নেওয়া হয় না। অন্যদিকে, সহগের সংকেত এর পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিকতার ফুরিয়ার সহগ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে । বিপরীত রূপান্তর থেকে এটি দেখা যায় $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

যা কে বিরতিতে সঠিকভাবে গণনা করে তবে এটি এই বিরতিটির বাইরে এর পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিকতাও গণনা করে কারণ (2) এর ডান দিকের সময়কাল সাথে পর্যায়ক্রমিক হয় । এই সম্পত্তিটি ডিএফটি সংজ্ঞায় অন্তর্নিহিত, তবে এটি আমাদের বিরক্ত করার দরকার নেই কারণ সাধারণত আমরা কেবলমাত্র বিরতিতে । $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

এর ডিটিএফটি বিবেচনা $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

আমরা (3) (1) এর সাথে তুলনা করে দেখতে পাচ্ছি যে যদি অন্তর্বর্তীতে একটি সীমাবদ্ধ ক্রম হয় , ডিএফটি সহগ হল ডিটিএফটি ome এর নমুনা : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

সুতরাং ডিএফটি এর একটি ব্যবহার (তবে অবশ্যই একমাত্র নয়) ডিটিএফটি-র নমুনাগুলি গণনা করা। তবে এটি কেবল তখনই কাজ করে যদি বিশ্লেষণ করা সংকেত সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের হয় । সাধারণত এই সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্য সংকেতটি দীর্ঘ সংকেতের উইন্ডো করে তৈরি করা হয়। এবং এটি এই উইন্ডোটিংয়ের ফলে বর্ণাল ফুটো হওয়ার কারণ।

একটি সর্বশেষ মন্তব্য হিসাবে, নোট করুন যে সীমাবদ্ধ ক্রম এর পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিকতা F টিলডে এর ডিটিএফটি ডিএফটি সহগের দিক থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

সম্পাদনা: উপরে বর্ণিত এবং ome একটি ডিটিএফটি ট্রান্সফর্ম জোড় নীচে দেখানো যেতে পারে। প্রথম দ্রষ্টব্য যে একটি বিচ্ছিন্ন সময় ইমপ্লাস চিরুনির ডিটিএফটি হ'ল ডায়ারাক চিরুনি: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

অনুক্রমটি একটি অনুপ্রেরণিত চিরুনির সাহায্যে এর প্রত্যয় হিসাবে লেখা যেতে পারে : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

যেহেতু কনভ্যুলশনটি ডিটিএফটি ডোমেনে গুণনের সাথে মিলে যায়, তাই ডিএফএফটি il টিলডে ome এর rac টিলডি একটি ডায়ারাক কম্ব দিয়ে গুণ দ্বারা দেওয়া হয় : $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

সাথে সংমিশ্রণ ফলাফল প্রতিষ্ঠা করে । $(9)$ $(4)$ $(6)$

— ম্যাট এল।
সূত্র

ডাউন উত্তরটি একই কারণে আমার কাছে উত্তর পেয়েছে @ হটপা 2 এর আরও সাম্প্রতিক উত্তর। এই বিবৃতিতে: "(1) থেকে এটি স্পষ্ট যে কেবলমাত্র ব্যবধানে এর নমুনাগুলি বিবেচনা করা হয়, তাই কোনও পর্যায়কাল ধরে নেওয়া হয় না।" $x[n]$ $[0,N−1]$ সিদ্ধান্ত উপসংহার থেকে অনুসরণ করে না।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

4

@ রবার্টব্রিস্টো-জনসন: তা করে। আমাকে ক্রমাগত নমুনা দিন, এবং আমি আপনাকে ডিএফটি দেব। , এমনকি এর অস্তিত্বের বাইরেও সীমাটির বাইরে আমার কিছু ধারণা করার দরকার নেই । এই বাক্যটিতে আমি কেবল এটিই দাবি করি এবং এটি অবশ্যই সত্য true ডিএফটি গণনার জন্য আমার অন্তর মান ব্যতীত অন্য কিছু জানার দরকার নেই । আপনি কীভাবে আমার বক্তব্যকে ভুল বুঝে বা ভুল বোঝাতে পারেন তা নিশ্চিত নয় Not যদি এটি কোনও সূচনার সমস্যা হয় তবে আমি আমার বাক্যটি পরিষ্কার করে খুশি হতে পারি, তবে বিষয়বস্তু অনুসারে এটি আসলে তুচ্ছ।

N

$N$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

— ম্যাট এল।

4

নীচে অন্য উত্তর এবং আমার উত্তরটি অন্য থ্রেডে পড়ুন। এটা কি সম্পর্কে না আপনি সম্পর্কে অনুমান বাইরে । এটা কি রুপান্তর "অনুমান" সম্পর্কে সম্পর্কে (আমরা একটু কিছুতে নরত্ব আরোপ করার অনুমতি দেওয়া হয় যদি থাকে) বাইরে । আমরা যখন কোনও ডোমেনে কোনও ক্রিয়াকলাপ শুরু করি যা সংখ্যার পরিমাণে অন্য ডোমেনটিকে স্থানান্তরিত করে তখন রূপান্তরটি কী ধারণা নেয় তা আমরা খুঁজে পেতে পারি।

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

@MattL। (9) ) পড়তে হবে পরিবর্তে

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— জোমেগা

@ জোমেগা: উভয় ক্ষেত্রেই নেই। আমার উত্তরের শেষ বাক্যে যেমন বলা হয়েছে, চূড়ান্ত ফলাফল (6) (9) (4) এর সাথে সংমিশ্রণ থেকে শেষ হয়েছে, সুতরাং অবশ্যই , তবে (9) ) এটি ডিটিএফটি ome থেকে প্রাপ্ত । এবং স্কেলিং ফ্যাক্টর , এটি অবশ্যই সেখানে থাকা দরকার। এবং ব্যবহার করে এক্সপ্রেশনগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না , তাদের বিভিন্ন স্কেলিং কারণ রয়েছে।

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— ম্যাট এল

8

এটি সময় ডোমেন সংকেতের সংজ্ঞা থেকে আসে:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

আপনি সংজ্ঞা অনুসারে দেখতে পারেন যে । অন্যদিকে ডিএফটি সিগন্যালের এন নমুনাগুলি নিখুঁতভাবে পুনর্গঠন করে। অতএব আপনি এটিকে পর্যায়ক্রমিক ধারাবাহিকতা ধরে নিয়েছেন। $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

আর একটি বিষয় হ'ল ডিএফটি-তে একটি সসীম ডিস্ক্রিট ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে দেখা হবে (এটি প্রকৃতপক্ষে, ডিস্রিট ফিউরিয়ার সিরিজটি দেখুন - ডিএফএস ), যা অবশ্যই নির্দেশ করে যে সংকেতটি পর্যায়ক্রমিক ( সাথে সংকেতের সীমাবদ্ধ সমষ্টি) হয় একটি সিগন্যাল যার পিরিয়ড )। $T$ $T$

— Royi
সূত্র

2

সংজ্ঞা থেকে কীভাবে আসে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না।

— ব্যবহারকারী 10839

1

@ ব্যবহারকারী 10839: কেবলমাত্র মূল্যায়ন করুন এবং আপনি দেখতে পাবেন যে এটি সমান । উত্তরে বর্ণিত হিসাবে, ডিএফটি হ'ল সময় ডোমেন সিগন্যালের কেবল একটি ফুরিয়ার সিরিজ। সময় ডোমেন সংকেতের সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যকে মৌলিক সময় হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

x [n + N]

$x[n+N]$

x [n]

$x[n]$

— ম্যাট এল।

@ user10839, কেবল এটি সমীকরণে প্লাগ করুন। এক্সপোনেন্ট কোসাইন এবং সাইন ফাংশন, যা হিসেবে দেখা যেতে পারে সময়কালের সঙ্গে সংজ্ঞায়িত করা যায় ।

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$

— রই

1

ডিএফটি ডিএফএস নয়। এটি পেডেন্টিক, তবে ডিএফটি আপনাকে ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি দেয়। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে ডিএফটি হ'ল অন্যান্য লিনিয়ার রূপান্তরের মতো like এটি একটি ম্যাট্রিক্সের গুণ। ম্যাট্রিক্স অরথনরমাল যা এটি সুন্দর করে। এটি এও দেখানো যেতে পারে যে ডেটাগুলির সাথে সম্পর্কিত ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তারের আউটপুট সমান সহগগুলি, তবে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি ফুরিয়ার সিরিজ নয় (টাইপ মেলেনি: পি)।

— থ্যাং

@ থ্যাং, আপনার অর্থ কী তা আমার কোনও ধারণা নেই। ডিএফটি হ'ল ডিএফএস। তারা একই. এটা দেখতে সহজ। মনোযোগ দিন, এটি ডিস্ক্রিট ফুরিয়ার সিরিজ এবং ফুরিয়ার সিরিজ নয় (সংহতগুলির সাথে)। এখানে দেখুন en.wikedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series এবং দেখুন এটি ডিএফটি।

— রাই

5

এটি একটি অ-প্রয়োজনীয় (এবং প্রায়শই মিথ্যা) অনুমান। ডিএফটি হ'ল একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টরের ভিত্তি রূপান্তর।

ডিএফটি-র ভিত্তি ভেক্টরগুলি কেবল অসীম এক্সটেনসিবল পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির স্নিপেট হিসাবে ঘটে। আপনি ডিএফটি অ্যাপারচারের বাইরে ভিত্তি ভেক্টরগুলি প্রসারিত না করা পর্যন্ত DFT ইনপুট বা ফলাফলগুলি সম্পর্কে সহজাতভাবে পর্যায়ক্রমিক কিছু নেই। সংকেত বিশ্লেষণের অনেক ধরণের নমুনাযুক্ত উইন্ডো বা সীমাবদ্ধ ডেটা ভেক্টরের বাইরে কোনও প্রসার বা অনুমানের প্রয়োজন হয় না।

যে কোনও "ফুটো" নিদর্শনগুলি ডিফল্ট আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডোর একটি সংকেত যা পর্যায়ক্রমিক নয় বা অজানা পর্যায়ক্রমিক বা স্থিতাবস্থায় রয়েছে তা থেকেও ধরে নেওয়া যেতে পারে। ওভারল্যাপযুক্ত এফএফটি উইন্ডো বিশ্লেষণ করার সময় এটি আরও বেশি অর্থবোধ করে, যেখানে কোনও ডিএফটি বা এফএফটি উইন্ডোর বাইরে পর্যায়ক্রমিক কোনও অনুমান অন্য উইন্ডোজের ডেটার সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ হতে পারে।

পিরিয়ডিক্যালিটি ডিএফটি সম্পর্কিত ডিটিএফটি সম্পর্কিত গণিতকে আরও ট্র্যাকটেবল করে তুলতে পারে। কিন্তু ডিটিএফটি-র সাথে যে কোনও সম্পর্ক প্রয়োজন হতে পারে বা যখন সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের জন্য এফএফটি ব্যবহার করতে পারে তখনই (প্রসেসিং পদ্ধতির আরও বিশ্লেষণের জন্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম বৈশিষ্ট্যগুলি ঠিক কী নির্ভর করে) উপর নির্ভর করে।

— hotpaw2
সূত্র

ডাউন তীর একই কারণে আমি এ সম্পর্কে আপনার সাম্প্রতিক উত্তর ডাউন-তীরযুক্ত করেছি।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

5

ঠিক আছে, আমার উত্তর অন্যান্য উত্তরগুলির চেয়ে কিছুটা আলাদা হবে। আমার উত্তর প্রশ্নের ভিত্তি অস্বীকার না করে প্রশ্নের ভিত্তি গ্রহণ করে।

যে কারণে ডিএফটি ইনপুট সিগন্যালকে "ধরে" নেয় (রূপান্তরিত হওয়ার সংকেত, আমি ওপিকে "রূপান্তরিত সংকেত" বলতে বোঝায়) পর্যায়ক্রমিক কারণ ডিএফটি সেই ইনপুট সিগন্যালের ভিত্তিক ফাংশনগুলির সংকলনকে ফিট করে, যার সবগুলিই পর্যায়ক্রমিক হয়।

বেস ফাংশনগুলির একটি আলাদা সেট বিবেচনা করুন:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

এবং দেওয়া ইনপুট নমুনা: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

আমরা এই ভিত্তি ফাংশনগুলির একটি লিনিয়ার যোগফলকে ইনপুট অনুক্রমের জন্য করতে পারি $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

কোফিসিয়েন্টস এর সুবিচারপূর্ণ নির্বাচন সঙ্গে । সব গণক সমাধানে প্রয়োজন সঙ্গে সমীকরণ রৈখিক অজানা। এটি করতে আপনি গাউসিয়ান বিলোপ ব্যবহার করতে পারেন । $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

সঙ্গে জন্য সঠিক মান জন্য , আমরা নিশ্চিত যে এই ক্ষমতা ফাংশন এর সমষ্টি (যা একটি করে তুলতে পারেন ম-অর্ডার বহুপদী) এর ঠিক মূল্যায়ন করবে প্রত্যেকের জন্য যেমন যে । $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

এখন আপনি যদি এই সংমিশ্রণটি অন্তর ছাড়িয়ে যান ? আপনি যে কোনও জন্য এটি মূল্যায়ন করতে পারেন । আপনি খেয়াল করবেন যে সেই ফাংশনের আচরণটি একটি থ্রি-অর্ডার বহুত্বের মতো হবে কারণ এটি সেটাই is জন্য বৃহৎ যথেষ্ট, শুধুমাত্র একটি নন-জিরো সহগ সর্বোচ্চ ক্ষমতার extrapolated প্রবণতা সেট হবে । $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

সুতরাং এখন, ডিএফটি দিয়ে আমরা আমাদের ইনপুট ক্রমটিতে বেস ফাংশনগুলির একটি আলাদা সেট ফিট করছি:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

এবং সহগ, সমাধান করা যেতে পারে এবং তা হ'ল : $X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

সেই of এর স্থাপনা একটি সম্মেলনের বিষয়। আমি এটি সেখানে রাখছি যেখানে বেশিরভাগ সাহিত্য। ফ্যাক্টর রাখে। এটি সমীকরণ থেকে সরানো এবং পরিবর্তে সমীকরণে রাখা যেতে পারে । অথবা এর "অর্ধেক" ( ) উভয় সমীকরণের সাথে স্থাপন করা যেতে পারে। এটি কেবল সম্মেলনের বিষয় of $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

তবে এখানে আমরা ভিত্তিক ফাংশনগুলির একটি সেট ফিটিং করছি যা সমস্ত পি পর্যায়ক্রমিক থেকে মূল সাথে পর্যায়ক্রমিক । তাই এমনকি যদি একটি লম্বা ক্রম থেকে এসেছিলেন পর্যাবৃত্ত ছিল না, DFT বিবেচনা করা হয় যে ভিত্তিতে ফাংশন একটি গুচ্ছ এর সমষ্টি প্রতিটি সেই সময়ের সহ পর্যায়ক্রমিক হয় । আপনি যদি একই সময়ে সমস্ত পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়াকলাপ যোগ করেন তবে যোগফলটি একই সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক হওয়া আবশ্যক। $N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

আরও কিছুটা পলিমিকের জন্য, যেখানে আমি এই ধারণাটি নিয়ে বিতর্ক করি যে ডিএফটি অগত্যা সময়ে এটিতে প্রেরিত ডেটা প্রসারিত করে না, দয়া করে আমার এই পূর্ববর্তী উত্তরটি দেখুন । আমি বরং এটি এখানে পুনরায় না।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

1

ডিএফটি বিযুক্ত। ডিটিএফটি অবিচ্ছিন্ন। আমরা সঠিক সময়ের ডাল ট্রেনের সাথে নমুনা দিয়ে ডিটিএফটি থেকে ডিএফটি পেতে পারি, যা আসলে এটি পালস ট্রেনের সাথে গুণ করার সমান। ট্রান্সফর্ম ডোমেনে গুনটি আলাদা-সময় ডোমেনে কনভোলশনের সমান, এটি সংকেতের পর্যায়ক্রমকে বোঝায়।

— শিক্ষার্থী
সূত্র

ডিটিএফটি কি একটানা চলছে? কিভাবে?

— জোজেক

2

ডিটিএফটি-র ফলাফল অবিচ্ছিন্ন (ফ্রিকোয়েন্সিতে)।

— দেভে

প্রকৃতপক্ষে - সুতরাং কোনও ভুল বোঝাবুঝি এড়াতে এবং পর্যাপ্ত সমীকরণ সরবরাহ করার জন্য আপনার স্পষ্টভাবে এটি বলা উচিত।

— জোজেক

@ জোজেক থ্যাটস সত্য, আমিও এই উত্তরটি কিছু সমীকরণের মাধ্যমে উন্নত করতে পারব বলে মনে করি

— দেভে

1

আমি খুব শীঘ্রই আরও বিশদ যুক্ত করব।

— শিক্ষানবিশ

0

উভয় ডোমেনের পর্যায়ক্রমিক অনুমানের কারণে কেবলমাত্র ডিএফটি বিযুক্ত ডিজিটাল বিশ্বে ব্যবহারিক practical (যদি আপনি এটির মতো ডাকেন)) কারণ এক ডোমেনে অ পর্যায়ক্রমিক সংকেত অন্যটিতে অবিচ্ছিন্ন সংকেত সৃষ্টি করে এবং আপনি কেবল ডিজিটাল মেমরির ক্ষেত্রে পৃথক সংকেত সংরক্ষণ করতে পারেন। সুতরাং আপনাকে ধরে নিতে হবে যে সংকেতগুলি উভয় ডোমেনে পর্যায়ক্রমিক হয় যাতে এটি উভয় ডোমেনেই আলাদা হয়।

আপনি যখন ডিটিএফটি গণনা করেন আপনি আউটপুট হিসাবে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে অবিচ্ছিন্ন সংকেত পান।
আমি মনে করি না আপনি ব্যবহারিকভাবে ডিএফটি গণনা করার সময় আপনি একই পদ্ধতিটি ব্যবহার করবেন। আপনি যখন ডিটিএফটি এবং ডিএফটি উভয়ই গণনা করেছেন তখন আপনি বুঝতে পারবেন যে উভয় রূপান্তর গণনা আলাদা গল্প।

— কৌতূহলী স্যাম
সূত্র

0

যেহেতু সংকেত পর্যায়ক্রমিক হয় তাই সময় স্থানান্তরিত সংকেত ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের নিখুঁত পরিমাণ পরিবর্তন করে না।

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

যাইহোক, কোনও অ-পর্যায়ক্রমিক সংকেতের FFT নিতে আপনাকে বাধা দেওয়ার কিছুই নেই, তবে রূপান্তরগুলির কোনও কাজ না হলে এটি ব্যবহারিক ব্যবহার খুব কম।

— FreedomToWin
সূত্র