একটি এসভিডি / পিসিএ গণনা থেকে নতুন চিত্র ফিটিং করা

আমি উইকিপিডিয়ায় ইগেনফেস পৃষ্ঠা থেকে ধারণাগুলি প্রতিলিপি দেওয়ার চেষ্টা করছি । ডেটা ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে এমন একশটি নমুনা চিত্র থেকে (যেখানে প্রতিটি চিত্রের দৈর্ঘ্য এর একটি ভেক্টর হয়, এইভাবে একটি বাই ম্যাট্রিক্স হয়), আমি একটি এসভিডি পচন গণনা করেছি: $\bf X$ $n$ $\bf X$ $100$ $n$

এক্স = ইউ Σ {ভী}^{টি}

$\begin{equation} \bf X = U \Sigma V^{T} \end{equation}$

অত: পর:

এক্স {এক্স}^{টি} = ইউ Σ^{2} {ইউ}^{টি}

$\begin{equation} \bf X X^{T} = U \Sigma^2 U^{T} \end{equation}$

বৃহত্তম ইগেনমোডের একটি উপসেট গ্রহণ করে আমি ম্যাট্রিক্স আনুমানিক করতে পারি (যাক ): $q$ $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots$

X \approx σ_{1} u_{1} v_{1}^{T} + σ_{2} u_{2} v_{2}^{T} + \dots + σ_{q} u_{q} v_{q}^{T}

$\begin{equation} {\bf X} \approx \sigma_1 u_1 v_1^{T} + \sigma_2 u_2 v_2^{T} + \cdots + \sigma_q u_q v_q^{T} \end{equation}$

এখন একটি নতুন ভেক্টর $y$ , যা একটি চিত্রের প্রতিনিধিত্ব করে $\bf X$ , আমি কীভাবে আমার নতুন চিত্র প্রতিনিধিত্ব করতে $q$ ইগেনভেেক্টর ভার নির্ধারণ $\bf U$ করব ? প্যাথলজিকাল কেস বাদে এই উপস্থাপনাটি কি অনন্য? $y$

সংক্ষেপে, আমি যা করতে চাই তা হ'ল (উইকির পৃষ্ঠা থেকে):

এই ইগেনফেসগুলি এখন বিদ্যমান এবং নতুন উভয় মুখের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহার করা যেতে পারে : আমরা ইগেনফেসে একটি নতুন (গড়-বিয়োগ) চিত্র প্রজেক্ট করতে পারি এবং এর মাধ্যমে সেই নতুন মুখটি কীভাবে গড় মুখ থেকে আলাদা হয় তা রেকর্ড করতে পারি।

আমি কীভাবে এই প্রক্ষেপণ করব?

computer-vision linear-systems linear-algebra

— লাগানো
সূত্র

ভবিষ্যতের পাঠকরা এই বাস্তবায়নটিকে মূল্যবান বলে মনে করতে পারেন।

— এমের 20

"প্রক্ষেপণ" যা উল্লেখ করা হয় এটি একটি ভেক্টর প্রক্ষেপণ । ভেক্টরের অভিক্ষেপ নিরূপণ করার জন্য ভেক্টর সম্মুখের , আপনি ব্যবহার ভেতরের পণ্য দুই ভেক্টর: $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

a_{p r o j} = ⟨ a, b ⟩ b

$\mathbf{a_{proj}} = \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \mathbf{b}$

$\mathbf{a_{proj}}$ এই ক্ষেত্রে এর ভেক্টর উপাদান যে একই মিথ্যা । ইউক্লিডিয়ান স্পেসে, অভ্যন্তরীণ পণ্য অপারেটরটিকে তাদের বিন্দু পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় : $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

⟨ a, b ⟩ = a \cdot b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n}a_ib_i$

যেখানে ভেক্টর মধ্যে উপাদান সংখ্যা এবং এবং এবং হয় ভেক্টর -th উপাদান এবং , যথাক্রমে। Intuitively, দুই ভেক্টর ভেতরের পণ্যের গণনা করে, আপনাকে খুঁজে "কিভাবে অনেক" ভেক্টর ভেক্টরের দিক যায় । নোট করুন যে এটি একটি স্বাক্ষরিত পরিমাণ, সুতরাং একটি নেতিবাচক মানটির অর্থ হবে যে দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণটি 90 ডিগ্রির চেয়ে বেশি, প্রজেকশন অপারেটরের বিকল্প সংজ্ঞা দ্বারা চিত্রিত: $n$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $a_i$ $b_i$ $i$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

a_{p r o j} = | a | \cos (θ) b

$\mathbf{a_{proj}} = |\mathbf{a}| \cos(\theta) \mathbf{b}$

যেখানে হ'ল দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ। $\theta$

সুতরাং, একটি ভেক্টর এবং ভিত্তিক ভেক্টরগুলির একটি গুচ্ছ , কেউ " ভিত্তিক ভেক্টরগুলির প্রতিটি দিকনির্দেশে কতটা" "যায় তা খুঁজে পেতে পারেন । সাধারণত, সেই ভিত্তি ভেক্টরগুলি সমস্ত পারস্পরিক অর্থেগোনাল হবে। আপনার ক্ষেত্রে, এসভিডি একটি অরথোগোনাল পচন, সুতরাং এই শর্তটি সন্তুষ্ট করা উচিত। সুতরাং, আপনি যা বর্ণনা করেছেন তা সম্পাদন করতে আপনি ইগেনভেেক্টরগুলি of এর ম্যাট্রিক্স গ্রহণ করবেন এবং ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি কলাম দিয়ে প্রার্থী ভেক্টর the এর অভ্যন্তরীণ পণ্য গণনা করবেন : $\mathbf{a}$ $\mathbf{b_i}$ $\mathbf{a}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{y}$

{পি}_{আমি} = Y \cdot {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}

$p_i = \mathbf{y} \cdot \mathbf{u_i}$

প্রতিটি অভ্যন্তরীণ পণ্য থেকে আপনি যে স্কেলারের মান তা -th ইগেনভেেক্টরের সাথে ভেক্টর "সারিবদ্ধ" কতটা ভাল তা উপস্থাপন করে । যেহেতু ইগেনভেেক্টরগুলি অরথনোমাল , আপনি তারপরে মূল ভেক্টর পুনর্গঠন করতে পারেন : $p_i$ $\mathbf{y}$ $i$ $\mathbf{y}$

Y = Σ_{আমি = 1}^{এন} {পি}_{আমি} {তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}

$\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n p_i \mathbf{u_i}$

আপনি জিজ্ঞাসা করেছেন যে এই উপস্থাপনাটি অনন্য; আপনি ঠিক কী বলতে চাইছেন তা আমি নিশ্চিত নই, তবে এই অর্থে এটি অনন্য নয় যে প্রদত্ত ভেক্টর any কোনও সংখ্যক অর্থোন্নত বেসগুলিতে প্রোজেকশন দ্বারা পচে যেতে পারে। ম্যাট্রিক্স in এ থাকা ইগেনভেেক্টরগুলি এর মধ্যে একটি উদাহরণ, তবে আপনি অন্য যে কোনও সংখ্যক ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, গণক বিযুক্ত ফুরিয়ার রূপান্তরিত এর নানারকম ফ্রিকোয়েন্সি জটিল সূচকীয় ভেক্টর একটি orthonormal ভিত্তিতে সম্মুখের দিকে এটি জরিপ হিসেবে দেখা যেতে পারে। $\mathbf{y}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{y}$

— জেসন আর
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর ধন্যবাদ! "অনন্য" জন্য, আমি এসভিডি প্রদত্ত ভিত্তির অর্থে অনন্যকে বুঝি। আমি অনুমান করছি যে একটি অর্থনোমর্মাল ভিত্তি দেওয়া হয়েছে, তারপরে আপনার ute গণনাটি অবশ্যই অনন্য হবে - তবে যদি ভিত্তিটি অর্থনোমরাল না হয় তবে এটি নাও হতে পারে (যেহেতু তারা অরথগোনাল না হয়ে থাকে তবে আমরা একটি ছোট ভিত্তিক সেট খুঁজে পেতে পারি )?

y

$\bf y$

— হুকড হয়েছে

আপনি কী পাচ্ছেন তা এখনও নিশ্চিত নয়। এমন ভেক্টর যা আপনি আপনার নতুন চিত্রটি নিচে ফেলেছেন, সুতরাং এটি কেবলমাত্র মূল চিত্র এবং সেই প্রক্রিয়াকরণের মতোই অনন্য। যা আপনি সম্পর্কিত ভেক্টর নির্ধারণ করতে ব্যবহার করেন। সংজ্ঞা অনুসারে একটি ভেক্টর স্পেস ভিত্তিতে রৈখিক-স্বাধীন ভেক্টর থাকে, যা পারস্পরিক orthogonality এর সম্পত্তিকে বাধ্য করে। আপনি সঠিকভাবে নোট করেছেন যে আপনি যদি নরমথোগোনাল ভেক্টরগুলির সেটটিতে pro প্রমান করেন তবে ভেক্টরদের দ্বারা বিস্তৃত স্থানটি যদি কম অন্তর্নিহিত মাত্রা (একটি ছোট ভিত্তি) থাকে তবে আপনি সম্ভবত আরও কমপ্যাক্ট উপস্থাপনা নিয়ে আসতে পারেন।

y

$\mathbf{y}$

y

$\mathbf{y}$

— জেসন আর