ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের পূর্বে আপ-স্যাম্পলিং কি অকেজো?

Question

একটি সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যেখানে দুটি পৃথক সেন্সর থেকে দুটি সংকেত ক্রস-কোলেলেটেড হয় এবং সময়-বিলম্ব-আগমন-তাদের ক্রস-সম্পর্ক সম্পর্কিত ফাংশনের শীর্ষের অ্যাবিসিসা থেকে গণনা করা হয়।

এখন আসুন আমরা আরও ধরে নিই যে উভয় অ্যান্টেনার মাত্রিক সীমাবদ্ধতা এবং সর্বাধিক সম্ভাব্য নমুনা হারের সীমাবদ্ধতার কারণে , 10 স্যাম্পলগুলির সাথে সামঞ্জস্য করা সর্বাধিক সর্বাধিক প্রাপ্ত বিলম্ব is$D$

সমস্যাটি:

এই সীমাবদ্ধতার কারণে, আপনার গণিত বিলম্ব 0 এবং 10 নমুনার মধ্যে যে কোনও পূর্ণসংখ্য মানের থেকে আলাদা হতে পারে , এটি: $0 \le D \le 10$ । এটি সমস্যাযুক্ত কারণ কারণ আমি যা চাই তা হ'ল আমার অ্যান্টেনাকে চাপিয়ে দেওয়া দুটি সংকেতের মধ্যে বিলম্বের ভগ্নাংশ-বিলম্ব বৈষম্য এবং মাত্রা বা নমুনার হার পরিবর্তন করা কোনও বিকল্প নয়।

কিছু চিন্তা:

• স্বভাবতই, আমি এই ক্ষেত্রে প্রথম যে জিনিসটি মনে করি তা হ'ল ক্রস পারস্পরিক সম্পর্ক সম্পাদনের আগে সংকেতগুলিকে তুলে ধরে। তবে আমি মনে করি এটি কোনওভাবে 'প্রতারণা' করছে কারণ আমি সিস্টেমে সত্যিই কোনও নতুন তথ্য যুক্ত করছি না।

• আপস্যাম্পলিং কীভাবে একটি অর্থে 'প্রতারণা' নয় তা আমি বুঝতে পারি না। হ্যাঁ, আমরা বর্তমানে পর্যবেক্ষণ করা ফ্রিকোয়েন্সি তথ্যের উপর ভিত্তি করে আমাদের সিগন্যালটি পুনর্গঠন করছি, তবে এটি কীভাবে একটি জ্ঞান দেয় যেখানে একটি সংকেত সত্যিকার অর্থে শুরু হয়েছিল, বলুন, $D=7$ এবং $D=8$ ? আসল সংকেতের মধ্যে এই তথ্যটি কোথায় ছিল যা নির্ধারণ করে যে সংকেতের আসল ভগ্নাংশ-বিলম্ব শুরুটি আসলে এ ছিল $D=7.751$?

প্রস্নগুলা):

• এটা কি সত্যিই 'প্রতারণা'?

  • যদি তা না হয় তবে এই নতুন 'তথ্য' কোথা থেকে আসছে?
  • যদি হ্যাঁ, তবে ভগ্নাংশ-বিলম্বের সময়গুলি অনুমান করার জন্য অন্যান্য কোন বিকল্প উপলব্ধ?

• বিলম্বের উপ-নমুনা উত্তরগুলি সংগ্রহের প্রয়াসে আমি ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের ফলাফল উপস্থাপন সম্পর্কে সচেতন , তবে এটিও কি 'প্রতারণার' রূপ নয়? ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের পূর্বে এটি কেন নমুনা থেকে আলাদা?

যদি প্রকৃতপক্ষে বিষয়টি এমন হয় যে উক্ত নমুনাটি 'প্রতারণা' নয়, তবে কেন আমাদের কেন কখনও আমাদের নমুনার হার বাড়ানোর প্রয়োজন হবে? (কম স্যাম্পলড সিগন্যালটি ছড়িয়ে দেওয়ার চেয়ে অর্থে কী উচ্চতর স্যাম্পলিং হার থাকে না?)

তখন মনে হবে যে আমরা কেবলমাত্র খুব কম হারে নমুনা তৈরি করতে পারি এবং আমরা যত খুশি ইন্টারপোলেট করতে পারি। এটি কি তখন আমাদের হৃদয়ের আকাঙ্ক্ষার সংকেতকে কেবল ফাঁপা করে দেওয়ার আলোকে নমুনা হারকে 'বেহুদা' বাড়িয়ে তুলবে না? আমি বুঝতে পারি যে অন্তরঙ্গকরণ গণনামূলক সময় নেয় এবং কেবলমাত্র একটি উচ্চতর নমুনার হারের সাথে শুরু করে না, তবে তা কি কেবল একমাত্র কারণ?

ধন্যবাদ।

Comments

আমি সন্দেহ করি যে নির্ভুলতার মধ্যে কোনও পার্থক্য আছে, যেহেতু তথ্যের পরিমাণ উভয় দিক দিয়ে একই, তবে অবশ্যই প্রথমে সমস্ত কিছুকে নমুনা তৈরি করার পরে আগ্রহের অঞ্চলে ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের পরে বিভাজন করা সস্তা এবং পরে সেই সমস্ত অতিরিক্ত গুণাগুণটি করা।

— এন্ডোলিথ

@endolith ভাল পয়েন্ট (গুলি)। কেন / কীভাবে এটি কাজ করে তা সম্পর্কে আমি এখন আরও পরিষ্কার করছি এবং হ্যাঁ, ফলাফলকে উপস্থাপন করা এই ক্ষেত্রে যাওয়ার উপায় হবে।

— স্পেসি

Answer 1

এটি প্রতারণা করছে না, এবং এটি কোনও নতুন তথ্যও যোগ করছে না। আপনি যে কাজটি করছেন তা হ'ল যে কোনও আপস্যাম্পলিং এলপিএফ করছে- জিরো যুক্ত করছে এবং তারপরে ইতিমধ্যে পরিচিত ফ্রিকোয়েন্সি তথ্য দিয়ে তরঙ্গরূপটি পুনর্গঠন করছে। সুতরাং, কোনও নতুন তথ্য নেই, তবে আরও সূক্ষ্ম সময়ের রেজোলিউশন রয়েছে।

ফলাফল আপসাম্পলিং একই রকম- কোনও নতুন তথ্য নয় তবে সূক্ষ্ম সময়ের রেজোলিউশন। চতুষ্কোণ প্রবৃদ্ধির মাধ্যমে আপনি খুব অনুরূপ কিছু করতে পারেন ।

এই সমস্ত পদ্ধতি- আপসাম্পলিং এবং বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গ - শিখর নিজেই এবং এর প্রতিবেশী উভয় থেকেই ভগ্নাংশের শীর্ষটি কোথায় রয়েছে সে সম্পর্কে তাদের তথ্য পান। একটি দ্রুত চিত্রাবলীর উদাহরণ।

উপরের ছবিটির নীল রেখাটি হ'ল আমার সিমুলেটেড ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের ডেটা (যদিও এটি কোনও ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্ক নয়, কোনও ফলাফল হতে পারে)। এটাকেই আমি "ভারসাম্যপূর্ণ" শীর্ষ বলি কারণ প্রতিবেশীরা প্রতিসাম্যপূর্ণ। যেমনটি আপনি আশা করতে পারেন, ফলস্বরূপ চতুর্ভুজ বিভক্তকরণ (লাল রেখা) নির্দেশ করে যে আসল শিখরটি শূন্যে রয়েছে।

অন্যদিকে নীচের চিত্রটি ভারসাম্যহীন শীর্ষকে দেখায়। দয়া করে মনে রাখবেন দুটি নিকটবর্তী প্রতিবেশীর মান বাদে ফলাফলের কোনও পরিবর্তন হয়নি। এর ফলে ইন্টারপোলটারটি তার ভগ্নাংশের শীর্ষের অনুমান পরিবর্তন করতে পারে।

এই পদ্ধতির (বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গকরণ এবং উত্স্রোপকরণ) একটি নিফটি পক্ষের সুবিধাটি হ'ল এটি আপনাকে সত্যিকারের শীর্ষের মানটির একটি অনুমানও দেয়, যদিও আমরা সাধারণত অবস্থানটিতে বেশি আগ্রহী।

যদি প্রকৃতপক্ষে বিষয়টি এমন হয় যে উক্ত নমুনাটি 'প্রতারণা' নয়, তবে কেন আমাদের কেন কখনও আমাদের নমুনার হার বাড়ানোর প্রয়োজন হবে?

Nyquist মাপদণ্ড পূরণ করার জন্য।

কম নমুনা সংকেতকে ফাঁকে দেওয়ার চেয়ে উচ্চতর স্যাম্পলিং হার কী এক অর্থে সবসময় ভাল না?

কোনও তাত্ত্বিক দিক থেকে, যতক্ষণ না নাইকুইস্টের মানদণ্ডটি সন্তুষ্ট হয় ততক্ষণ নমুনার হার কী তা বিবেচ্য নয়। ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে আপনি সাধারণ হিসাবে কম স্ট্যাম্পল হার নিয়ে যান যেমন আপনি স্টোরেজ প্রয়োজনীয়তা এবং কম্পিউটেশনাল লোড হ্রাস করতে পারেন যা ফলস্বরূপ প্রয়োজনীয় সংস্থান এবং বিদ্যুৎ খরচ হ্রাস করে।

Comments

$F_s$

@ মোহাম্মদ হ্যাঁ এবং না। শব্দগুলি- হয় ফলাফলগুলি নিজে থেকে বা পরিমাণের আওয়াজ থেকে- অবশেষে সময়ের রেজোলিউশনকে অর্থহীন করে তুলবে। যদিও এই মুহুর্ত পর্যন্ত, হ্যাঁ, আরও উত্সাহিতকরণের অনুমানের যথার্থতাটি উন্নত করা উচিত।

— জিম ক্লে

চতুষ্কোণ / প্যারাবোলিক ইন্টারপোলেশনের জন্য নোটস এবং উদাহরণ কোড: gist.github.com/255291#file_parabolic.md এবং কিছু বিকল্প অন্তরোলজ

— এন্ডোলিথ

@ জিমক্লে এটিতে ঘুমানোর সুযোগ পেয়েছে। এটি এখন পরিষ্কার - তথ্য সর্বদা থাকে - এটি ঠিক বলতে গেলে নমুনাগুলির মধ্যে সম্পর্কের মধ্যে এনকোডেড। এবং এটি হ'ল পলি-ফিটিং এটির ব্যবহরণের ক্ষেত্রে ব্যবহার করে। এবং যেহেতু সিগন্যালটি ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ, (যেমন, কেবলমাত্র একটি সময়ের মধ্যে এত তাড়াতাড়ি পরিবর্তন হতে পারে), কেবলমাত্র কয়েকটি উপায় রয়েছে যেখানে এটি নমুনাগুলির মধ্যে থাকতে পারে।

— স্পেসি

Answer 2

যে কোনও ব্যান্ডলিমিটেড সিগন্যাল ইন্টারপোল্ট করা যায়। অতিরিক্ত তথ্য "নমুনাগুলির মধ্যে" সন্নিহিত নমুনাগুলির মধ্যে আরও রয়েছে যে নমুনা দেওয়ার আগে সংকেতটি ব্যান্ডমিলড ছিল (যা সংলগ্ন নমুনাগুলির মধ্যে তথ্য ছড়িয়ে দেয়)। দুটি সংকেত যদি ব্যান্ডলিমিটেড হয় তবে এর চেয়ে আরও বেশি ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্ক হবে, সুতরাং ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কও ইন্টারপোল্ট করা যেতে পারে। আপসাম্পলিং হ'ল অন্তরঙ্গকরণের অন্য একটি রূপ, ব্যান্ডিলিমিটেড সিগন্যালের জন্য আন্তঃবিবাহের খুব সঠিক রূপ; তবে আপনি সিনক ইন্টারপোলেশনটিও ব্যবহার করতে পারেন (উভয়ই চতুর্ভুজ বা প্যারাবোলিক দ্বিখণ্ডনের চেয়ে আরও সঠিক হতে পারে)।

অন্তরঙ্গকরণ নমুনার মধ্যে একটি শিখর প্রদর্শিত হতে পারে। সুতরাং সম্ভবত অকেজো না।

আপনার যদি আরও বৃহত্তর বর্ণালীযুক্ত সংকেত থাকে তবে এতে আরও তথ্য থাকতে পারে। উচ্চতর হারে এটি নমুনা তৈরি করা এইভাবে আরও তথ্য সরবরাহ করবে, তবে কেবলমাত্র নতুন ব্যান্ডের সীমাবদ্ধতার ফ্রিকোয়েন্সিটির ঠিক নীচে পর্যন্ত এবং কেবলমাত্র যদি সিগন্যালে পুরানো ব্যান্ডের সীমাটির উপরে সত্যিকারের দরকারী বর্ণালী ফ্রিকোয়েন্সি সামগ্রী থাকে এবং আপনি যদি এখন এই অতিরিক্তটি পেতে পারেন পুরানো আরও ক্ষয়ক্ষতির পরিবর্তে নতুন আরও প্রশস্ত-ব্যান্ড ব্যান্ড-সীমাবদ্ধকরণ প্রক্রিয়া বা ফিল্টার ব্যবহার করে স্পেকট্রাম। Fs / 2 এর নীচে অনেক কম ফ্রিকোয়েন্সিতে ইতিমধ্যে ব্যান্ডমিলড ছিল এমন একটি সিগন্যালের অনেক বেশি ফ্রিকোয়েন্সিতে ডেটা স্যাম্পলিং কেবলমাত্র আপনাকে অন্তরঙ্গ কিনে দেবে, কোনও তথ্যের সামগ্রী নয়।

যদি নমুনাটি কোয়ান্টাইজড হয় তবে উচ্চতর হারে নমুনা নিরূপণের কারণে কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটির ক্ষীণ হয়ে ওঠার কারণে আপনি আরও একটি এলএসবি আরও তথ্যের একটি অংশ কিনতে পারেন। তবে এটি এস / এন অনুপাত এবং স্যাম্পেলারের যথার্থতা এবং স্যাম্পলিংয়ে ব্যবহৃত সঠিক কোয়ান্টাইজেশন প্রক্রিয়া নির্ভর করে।

যদি দুটি সংকেত স্যাম্পলিং এবং ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের আগে যথাযথভাবে ব্যান্ডলিমিটেড না হয় তবে কেবল আপসাম্পলিং বা ইন্টারপোলেশন উভয়ই আপনাকে কোনও আবর্জনা ফলাফল কিনতে পারে না, তবে এটি মূল অ-বিভক্ত ক্রস-সম্পর্ক হতে পারে।

Comments

হটপাউ 2 ধন্যবাদ সুতরাং এটি বলা ঠিক হবে যে আপনি উভয় সংকেতকেই নমুনা দেন এবং তারপরে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত, বা পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হন এবং তারপরে ফলাফলটি উপস্থাপন করেন কিনা তা সত্য নয়? ব্যান্ড-সীমাবদ্ধতার কারণে, দুটি পদ্ধতির কি আপনাকে একই ফলাফল দেওয়া উচিত?

— স্পেসি

@ মোহাম্মদ: আমি মনে করব এটিতে যেভাবেই একই তথ্য রয়েছে, তবে যেহেতু ইন্টারপোলেশন নিখুঁত নয়, ফলাফল বাস্তবায়নের উপর নির্ভর করে কিছুটা আলাদা হবে।

— এন্ডোলিথ

Answer 3

আমি মনে করি যে আমি আপনাকে দিতে পারি সেরা উত্তর হ'ল: নিজের দ্বারা অনুসন্ধান করার সমস্ত উপায় আপনার কাছে রয়েছে। "পিছনের দিকে" উদাহরণ তৈরি করুন। মতলব ব্যবহার করে, খুব কম নমুনা সময়সীমার সাথে দুটি নমুনার নমুনা দিয়ে শুরু করুন (যাতে তারা প্রায় ক্রমাগত-সময় সংকেত হয়)। ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করুন এবং শিখরটি সন্ধান করুন (যদি আপনি এটি চান তবে) যা আপনি উচ্চ নির্ভুলতার সাথে করতে সক্ষম হবেন। তারপরে, উভয় সংকেতকে ডাউনসাম্পল করুন এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন। দ্বিতীয় শীর্ষের অবস্থান এবং উচ্চতা প্রথমটির সাথে তুলনা করুন। আমি নিশ্চিত দ্বিতীয়টি আরও খারাপ হবে। প্রথম থেকে দ্বিতীয়টির উন্নতি হ'ল আপনি কী অর্জন করেছেন, যদি আপনি ক্রস-সম্পর্কিত করার আগে উপস্থাপন করেন।

সঠিক উপায়ে উপস্থাপনের জন্য, উভয় সিগন্যালের ব্যান্ড সীমাবদ্ধ হওয়া দরকার এবং আপনাকে সেই ব্যান্ডউইথগুলি জানতে হবে। আপনার প্রশ্নে যে "নতুন" তথ্য আপনি উল্লেখ করেছেন তা সংলগ্ন নমুনাগুলি থেকে এসেছে এবং সিগন্যালগুলি ব্যান্ড সীমাবদ্ধ রয়েছে তা থেকে আসে।

Comments

ধন্যবাদ টেলাক্লাভো। আমার কাছে একটি বিষয় যা সত্যই পরিষ্কার নয় তা হ'ল 'ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ' হওয়ার পরিভাষা। এর অর্থ কী তা আমি জানি তবে কেন এটি এখানে উল্লেখ করা হচ্ছে তা আমি বুঝতে পারি না। যে কোনও সিস্টেম, সম্ভবত শব্দগুলি ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ ছাড়া এটি কেন এই অর্থে বারবার উল্লেখ করা হচ্ছে?

— স্পেসি

Answer 4

পূর্ববর্তী উত্তরগুলিতে কিছুটা যুক্ত করতে, আপনি আপনার পারস্পরিক সম্পর্ককে ভেরিয়েবলটি একটি অ-পূর্ণসংখ্যার করে তুলতে একটি আপসাম্পলড ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের সমতুল্য পেতে পারেন।

$\tau$

$$\tau = \arg \max_{\tau}\sum_{n=0}^{N-1}f\left(n\right)g\left(n+\tau\right)$$

এটি, এটি ক্রস পারস্পরিক সম্পর্কের সর্বাধিক সন্ধান করে।

ab$f\left(n\right)$$g\left(n\right)$$n = \{0, 1, ... , N-1\}$$N$$\tau$$[-N+1, N-1]$

$\tau$correlate_pointomega$\tau=1$$\tau$$-1$

একটি সূক্ষ্মতা আপনি আচরণ করেন treat$\frac{N}{2}$piomega

$\tau$$\tau$

import numpy
from numpy import fft
from scipy import optimize

def arg_max_corr(a, b):

    if len(a.shape) > 1:
        raise ValueError('Needs a 1-dimensional array.')

    length = len(a)
    if not length % 2 == 0:
        raise ValueError('Needs an even length array.')

    if not a.shape == b.shape:
        raise ValueError('The 2 arrays need to be the same shape')

    # Start by finding the coarse discretised arg_max
    coarse_max = numpy.argmax(numpy.correlate(a, b, mode='full')) - length+1

    omega = numpy.zeros(length)
    omega[0:length/2] = (2*numpy.pi*numpy.arange(length/2))/length
    omega[length/2+1:] = (2*numpy.pi*
            (numpy.arange(length/2+1, length)-length))/length

    fft_a = fft.fft(a)

    def correlate_point(tau):
        rotate_vec = numpy.exp(1j*tau*omega)
        rotate_vec[length/2] = numpy.cos(numpy.pi*tau)

        return numpy.sum((fft.ifft(fft_a*rotate_vec)).real*b)

    start_arg, end_arg = (float(coarse_max)-1, float(coarse_max)+1)

    max_arg = optimize.fminbound(lambda tau: -correlate_point(tau), 
            start_arg, end_arg)

    return max_arg

Comments

$\tau$$\tau$$\tau$$1$

ওহ, আপনার প্রশ্ন অদৃশ্য হয়ে গেল! তবুও, আমি উত্তরটি সেখানে রেখে দেব।

— হেনরি গেমারসাল

$tau$

$N^2$$N\left(\log N + 1\right)$

এছাড়াও, আমি ফুরিয়ার ডোমেনটিতে চিন্তাভাবনাটি দেখতে পেয়েছি আসলে অনেক সহজ। তবে সম্ভবত এটি স্বাভাবিক নয়!

— হেনরি গোমারসাল 11'12

Answer 5

একটি স্বজ্ঞাত প্রমাণ রয়েছে যে ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের আগে আপস্যাম্পলিং এটি করার পরে সমান:

অন্যান্য সংকেত সময় বিপরীতের সাথে ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝানো হয়। সময় বিপরীতে ব্যান্ডউইথ প্রভাবিত করে না। কনভলিউশনটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুন, যা ব্যান্ডউইথকে বাড়ায় না। যদি মূল সংকেতগুলি সঠিকভাবে ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ হয়, স্যাম্পলিংয়ের অর্ধেক নমুনা থেকে, তবে ক্রস-পারস্পরিক সম্পর্কের ফলাফলও হবে। ফলাফল নষ্ট করার জন্য কোনও এলিয়াসিং চালু করা হয়নি। বিরতি পরে কাজ সাশ্রয়।