স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর প্রতিসাম্য

9

আমি লিয়নসের বইতে ডিসট্রেট ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পর্কিত অধ্যায়টি পড়ছিলাম - ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং বোঝা - এবং প্রতিসাম্য সম্পর্কে শেষ অনুচ্ছেদটি বুঝতে পারি না।

DFT এর একটি অতিরিক্ত প্রতিসম সম্পত্তি রয়েছে যা এই সময়ে উল্লেখ করার যোগ্য। অনুশীলনে, আমাদের মাঝে মাঝে আসল ইনপুট ফাংশনগুলির ডিএফটি নির্ধারণ করা প্রয়োজন যেখানে ইনপুট সূচক ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় মানের তুলনায় সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি আসল ইনপুট ফাংশনটি সমান হয় তবে সর্বদা বাস্তব এবং সমান; এটি হ'ল, যদি আসল তবে সাধারণ এবং শূন্য হয়। বিপরীতভাবে, যদি আসল ইনপুট ফাংশনটি বিজোড় হয় তবে , তবে সর্বদা শূন্য এবং হয় , সাধারণভাবে, ননজারো $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

দ্রষ্টব্য: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

প্রথমত, "বিজোড়" এবং "এমনকি" বলতে কী বোঝায়? আমি সন্দেহ করি এটি ইনপুট সিগন্যালে নমুনার সংখ্যা, তবে এটি আমাকে আমার দ্বিতীয় প্রশ্নের দিকে নিয়ে যায়,
কেন বাস্তব ইনপুট ফাংশনগুলির সাথে এবং কেন, প্রকৃত ইনপুট ফাংশনগুলির সাথে শূন্য এবং সাধারণত শূন্য নয়? $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— কিছু লোক
সূত্র

en.wikedia.org/wiki/Even_and_odd_funifications

— এন্ডোলিথ

হ্যাঁ, হিলমার জবাবের পরে, আমি বুঝতে পারি যে এটিই পাঠ্যটি উল্লেখ করছে।

— someguy

8

এমনকি অদ্ভুত আশেপাশে প্রতিসাম্যকে বোঝায় । $n = 0$

এমনকি এর অর্থ ; তোমার জন্য অংশ পেতে পারেন কেবল অংশ মিরর দ্বারা এ লাইন। $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

বিজোড় অর্থ ; তোমার জন্য অংশ পেতে পারেন কেবল অংশ মিরর দ্বারা এ লাইন এবং তা গুন । $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

একটি কোসাইন ওয়েভ সমান, সাইন ওয়েভ বিজোড়।

এগুলি সমস্ত সাধারণ প্রতিসামগ্রীর কেবলমাত্র বিশেষ ঘটনা যা বলে

যদি এটি কোনও ডোমেনে বাস্তব হয় তবে এটি অন্যটিতে সংমিশ্রিত প্রতিসাম্য।

কনজুগেট প্রতিসাম্য অর্থ আসল অংশটি সমান এবং কল্পিত অংশটি বিজোড়। বেশিরভাগ লোকেরা জানেন যে কনজুগেট প্রতিসাম্য বর্ণালী হিসাবে একটি রিয়েল টাইম ডোমেন সংকেত, তবে এটি অন্যান্য উপায়েও যায়: একটি সংঘবদ্ধ প্রতিসাম্য সময় ডোমেন সিগন্যালে একটি আসল মূল্যবান বর্ণালী থাকে।

— Hilmar
সূত্র

আহ, একটি কোসাইন ওয়েভ এবং সাইন ওয়েভ চিত্রিত করে আমাকে বিজোড় এবং এমনকি ইনপুট ফাংশন বুঝতে সহায়তা করে। ধন্যবাদ.

— someguy

7

হিলমার উত্তর অবশ্যই নিখুঁতভাবে সঠিক, তবে আমি মনে করি যে ওপির উদ্ধৃত বিবৃতিতে লিওনস কিছু বক্তব্য সম্বোধন করেন নি (বা তিনি আগেও এগুলি নিয়ে কথা বলেছিলেন এবং ওপি কর্তৃক উদ্ধৃত অনুচ্ছেদে নিজেকে পুনরাবৃত্তি করবেন না) ।

বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিএফটি) সাধারণত সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের সিক্যুয়েন্স এর অন্য ক্রম রূপান্তর হিসাবে বর্ণনা করা হয় দৈর্ঘ্যের যেখানে তবে এই সূত্রগুলি তখনও ব্যবহার করা যেতে পারে যখন ব্যাপ্তির বাইরে থাকে এবং যদি আমরা এটি করি, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে দৈর্ঘ্য- ডিএফটি হিসাবে দেখা যেতে পারে থেকে রূপান্তর a $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$ পর্যায়ক্রমিক ক্রম থেকে অন্য পর্যায়ক্রমিক ক্রম , উভয় দিক উভয় দিকেই অসীম প্রসারিত, এবং এটি এবং এই অসীম দীর্ঘ সিকোয়েন্সগুলির মধ্যে কেবল একটি সময়কাল । মনে রাখবেন যে আমরা সমস্ত এবং জন্য এবং কে জোর ।

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

এটি অবশ্যই, বাস্তবে ডেটা কীভাবে পরিচালনা করা হয় তা নয়। আমাদের স্যাম্পলগুলির একটি দীর্ঘ দীর্ঘ ক্রম থাকতে পারে এবং আমরা সেগুলি উপযুক্ত দৈর্ঘ্যের ব্লকগুলিতে ভেঙে । আমরা DFT নিরূপণ যেমন পরবর্তী অংশের ডিএফটি যেমন পূর্ববর্তী অংশের ডিএফটি হিসাবে $N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ ইত্যাদি। এবং তারপরে আমরা বিভিন্ন খণ্ডগুলির এই বিভিন্ন ডিএফটি নিয়ে খেলি যেখানে আমরা আমাদের ডেটা বিভক্ত করেছি। অবশ্যই, যদি ডেটা আসলে পিরিয়ড সহ পর্যায়ক্রমিক হয় তবে এই সমস্ত ডিএফটি একই হবে।

N

$N$

এখন, যখন লিয়নস কথা বলছেন ... যেখানে ইনপুট সূচক এনকে ধনাত্মক এবং নেতিবাচক উভয় মানের তুলনায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ... তিনি পর্যায়ক্রমিক মামলার কথা বলছেন , এবং যখন তিনি বলেন যে একটি (বাস্তব) এমনকি ফাংশনটিরও সম্পত্তি রয়েছে , এই সম্পত্তি জন্য রাখা আবশ্যক সব পূর্ণসংখ্যার । যেহেতু পর্যায়ক্রমিকতাও প্রযোজ্য, আমাদের কাছে কেবলমাত্র নয় তবে , এবং একইভাবে, । অন্য কথায়, আসল এমনকি সিকোয়েন্স যার ডিএফটি হ'ল লিওনস দ্বারা বর্ণিত এবং হিলমার দ্বারা খুব সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করেছেন) অগত্যা $x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ ফর্মের যা (শীর্ষস্থানীয় বাদে ) একটি প্যালিনড্রমিক ক্রম। আপনি যদি লম্বা ব্লকগুলিতে আপনার ডেটা ভাগ করে নিচ্ছেন এবং প্রতিটি ব্লকের DFT আলাদাভাবে গণনা করছেন, তবে এই পৃথক ডিএফটিগুলির উপরে বর্ণিত প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্য থাকবে না যদি DFT এই প্যালিনড্রমিক সম্পত্তি সহ কোনও ব্লকের হয় না।

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

0

কেবলমাত্র এবং অদ্ভুত ক্রিয়াকলাপের জন্য,

এমনকি: y অক্ষের প্রতি সম্মান সঙ্গে প্রতিসাম্য বিজোড়: উত্সের সাথে সম্মানিত প্রতিসম

এবং গাণিতিক বিবরণে না গিয়ে, বাস্তব মূল্যবান ফাংশনের ডিএফটি প্রতিসম হয়, ফলস্বরূপ ফুরিয়ার ফাংশনটিতে আসল এবং কল্পিত উভয় অংশ থাকে যা 0 ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানটির সাথে সম্মতিযুক্ত মিরর চিত্র। আপনি যখন কোনও জটিল ফাংশনের DFT নিচ্ছেন এমন ক্ষেত্রে এটি ঘটে না।

— নরেশ
সূত্র

> এমনকি: y অক্ষের প্রতি সম্মান সঙ্গে প্রতিসাম্য বিজোড়: উত্সের সাথে সম্মানিত প্রতিসম। এর অর্থ কি আপনি আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করতে পারেন, সম্ভবত আপনি যে ক্রিয়াকলাপগুলিকে যথাক্রমে এমনকি ফাংশন এবং বিজোড় বলে মনে করেন তার উদাহরণ দেওয়া? আমি অনুভূতি পেয়েছি যে সম্ভবত আপনার সংজ্ঞাটি একটি ফাংশনকে উভয় এবং বিজোড় হতে দেয়। তাই নাকি?

— দিলীপ সরোতে

হাই দিলীপ, কোনও ফাংশন যদি y অক্ষের সাথে সম্মতিযুক্ত মিরর চিত্র হয় তবে এটি সমান। উদাহরণস্বরূপ, কোসাইন হ'ল অক্ষের সাথে সম্মানের সাথে আয়না চিত্র। এটি একটি এমনকি ফাংশন। বিজোড় ফাংশনের জন্য, এটি উত্সের প্রতি সম্মানের সাথে প্রতিফলন। এর অর্থ আপনি এক্স এবং ওয়াই উভয়ের প্রতি সম্মানের সাথে প্রতিচ্ছবি গ্রহণ করেন s সাইন ফাংশনের মতো। আপনি কেবল প্লটটি দেখতে পারেন এবং এটির একটি এমনকি বা বিজোড় ফাংশনটি বলতে পারেন।

— নরেশ