ফিল্টার অর্ডার অনুমান

Question

জটিল জেড প্লেনে কয়েকটি অজানা তবে ছোট এবং সীমাবদ্ধ সংখ্যার খুঁটি এবং জিরো ধরে নিন, সমস্ত জটিল সংঘবদ্ধ সাথে কিছু প্রতিক্রিয়া তৈরি করে। ইউনিট বৃত্তের চারপাশে সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত পয়েন্টগুলির একটি সেটের নিখুঁত মান থেকে, 2X এর চেয়ে বেশি পোল এবং জিরো সংখ্যাটি বলুন, এই প্রতিক্রিয়াটির দ্বারা, যে নমুনা মাত্রা তৈরি করেছিল তা মেরু এবং শূন্যের সংখ্যাটি অনুমান বা গণনা করা সম্ভব? প্রতিক্রিয়া?

যুক্ত: মেরু এবং শূন্যের সংখ্যা নির্ধারণের জন্য কি 2X এর বেশি নমুনা পয়েন্টের প্রয়োজন? (যখন দেওয়া হবে যে মোটটি এক্স এর চেয়ে কম)।

যোগ করা হয়েছে: যদি একাধিক সমাধান থাকে তবে একটি সর্বনিম্ন সমাধান (সর্বনিম্ন পোল এবং জিরো ন্যূনতম সংখ্যার মতো) পাওয়া যাবে বা অনুমান করা যাবে?

Comments

এটি কোনও খুঁটি না দিয়ে অনেক সহজ সমস্যা। এটি মাতলাব / অষ্টাভ ফার্নস কমান্ডের মূলত অ্যালগরিদম হয়ে উঠবে।

— মার্ক বর্গারডিং

আমি অবাক হয়েছি যদি আপনি সাধারণীকরণীয় ইয়েজাল্যু সমস্যার বিবেচনায় ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার সংখ্যক এবং ডিনোমিনেটর বিশ্লেষণ করতে পারেন। আপনার সম্ভবত পর্বটি ধরে নেওয়া দরকার (সূচনাকারীদের জন্য রৈখিক)

— মার্ক বর্গারডিং

আমার ধারণা অ্যালপাস ফিল্টারগুলি বাতিল হয়ে গেছে! যদি খুঁটি এবং জিরোগুলি 'যথেষ্ট পরিমাণে কাছাকাছি' থাকে তবে আমি মনে করি যে প্রতিক্রিয়ার নমুনাগুলি সমানভাবে ব্যবধানে রাখলে আপনার সমস্যা হবে। যাইহোক, আসুন আমরা বলি যে আপনার একটি প্রতিক্রিয়া রয়েছে যা সামান্য কমল ব্যতীত ফ্রিকোয়েন্সিতে খুব কম নয় except আপনার পছন্দের উপর নির্ভর করে আপনি তারপরে মডেল করতে পারেন যে একটি বিয়িকাড (২ টি জিরো এবং ২ টি মেরু) ব্যবহার করে বা এর পরিবর্তে আপনি 4 থেকে 6 জিরো ব্যবহার করে মডেল করতে পারেন। একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন হ'ল মেরু এবং শূন্যের একটি সেট দেওয়া, মেরু এবং শূন্যের সংখ্যার সুনির্দিষ্টভাবে গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় পরিমাণের প্রতিক্রিয়ার নূন্যতম সংখ্যা কত?

— নায়ারেন

আমি মনে করি, সমস্যাটি যেমন সমাধানযোগ্য, তেমন সমাধানযোগ্য নয়। আপনি যেকোন স্বেচ্ছাসেবী সিস্টেম নিতে পারেন এবং এক বা একাধিক অলপাস ফিল্টার দিয়ে ক্যাসকেড করতে পারেন; এটি তার দৈর্ঘ্যের প্রতিক্রিয়াটিকে প্রভাবিত করবে না তবে ক্যাসকেডে কতটি খুঁটি / জিরো রয়েছে তা বদলে যাবে। প্রদত্ত বিশালাক্রমের প্রতিক্রিয়ার জন্য, তবে সেখানে প্রচুর পরিমাণে সংশ্লিষ্ট পোল এবং শূন্য থাকবে। আপনার যদি সিস্টেমের পর্যায়ে প্রতিক্রিয়া অ্যাক্সেস করে থাকে তবে এটি অন্যরকম গল্প হতে পারে। এটি ব্যর্থ হয়ে আপনি অবশ্যই সিস্টেম অর্ডারটি অনুমান করতে পারেন (কিছু অনির্দিষ্ট স্কিম ব্যবহার করে)। ভাবতে ভালো লাগছে।

— জেসন আর

সমাধান থেকে অ্যালপাস ফিল্টারগুলির একটি অসীম চিড়িয়াখানা সরাতে প্রশ্ন স্থির করে।

— হটপাউ 2

Answer 1

তাত্ত্বিকভাবে এটি করা সম্ভব, যদিও এটি প্রায়শই ব্যবহারিক হবে না।

আসুন বহুপদী জায়গায় এটি বিবেচনা করুন। অর্ডার ফিল্টারের জন্য N আপনার কাছে 2 * N + 1 স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল রয়েছে (ডোনামিনেটরের জন্য N এবং অংকটির জন্য N + 1)। আসুন একটি নির্বিচার পয়েন্ট দেখুন$z_{k}$ জেড-প্লেনে এবং বলি যে এই স্থানে স্থানান্তর ফাংশনের মান হ'ল ($z_{k}$)। স্থানান্তর ফাংশন এবং সমস্ত ফিল্টার সহগের মধ্যে সম্পর্কের সমীকরণ হিসাবে সমস্ত ফিল্টার সহগগুলিতে রৈখিক হিসাবে রচনা করা যেতে পারে:

$$\sum_{n=0}^{2*N}b_{n}\cdot z_{k}^{-n} - H(z_{k})\cdot \sum_{n=1}^{2*N}a_{n}\cdot z_{k}^{-n}=H(z_{k})$$ সুতরাং আপনি যদি এম বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি চয়ন করেন $z_{k}$আপনি এম জটিল রৈখিক সমীকরণ বা 2 * এম বাস্তব সমীকরণের একটি সেট দিয়ে শেষ করবেন। যেহেতু আপনার অজানা সংখ্যা অদ্ভুত (2 * N + 1) আপনি সম্ভবত সর্বদা একটি ফ্রিকোয়েন্সি বাছাই করতে চান যেখানে z বাস্তব, যেমন z = 1 বা$\omega$ = 0

এম যদি N এর চেয়ে বড় হয় তবে সমীকরণের সিস্টেমটি লাইন নির্ভর। আপনি N = 1 থেকে শুরু করে ফিল্টার ক্রমটি সন্ধান করতে পারবেন এবং সমীকরণ সিস্টেমটি লিনিয়ার নির্ভরশীল না হওয়া পর্যন্ত N বৃদ্ধি করতে পারবেন। সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র বৃহত্তম বৃহত্তম এন প্রকৃত ফিল্টার অর্ডার order এই পদ্ধতির জন্য, আপনি কী ফ্রিকোয়েন্সি বাছাই করে তা বিবেচ্য নয়। যতক্ষণ না তারা আলাদা, কোনও ফ্রিকোয়েন্সি সেট করবে।

তবে এটি একটি সংখ্যাগতভাবে খুব জটিল সমস্যা। বৃহত্তর ফিল্টার অর্ডারগুলির জন্য বহুপদী প্রতিনিধিত্ব সংখ্যাগতভাবে খুব ভঙ্গুর এবং স্বল্প পরিমাণে শব্দ বা অনিশ্চয়তা খুব বড় সংখ্যাগত ত্রুটির দিকে পরিচালিত করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি পরিমাপের মাধ্যমে নমুনা স্থানান্তর ফাংশনের মানগুলি নির্ধারণ করেন তবে প্রয়োজনীয় পরিমাপের নির্ভুলতা যদি খুব সৌম্য নিম্ন অর্ডার ফিল্টার না করে তবে তা নিষিদ্ধ।