কেন লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সাইনোসয়েডাল বিশ্বস্ততা দেখায়?

Question

আমি সাইনোসয়েডাল বিশ্বস্ততার প্রমাণ চাইছি। ডিএসপিতে আমরা লিনিয়ার সিস্টেম সম্পর্কে প্রচুর অধ্যয়ন করি। লিনিয়ার সিস্টেমগুলি একজাত এবং সংযোজক। আরও একটি শর্ত এটি পূরণ করে তা হ'ল যদি কোনও সিগন্যাল সাইন বা কোস ওয়েভ হয় তবে আউটপুট কেবলমাত্র পর্ব বা প্রশস্ততা পরিবর্তন করে। কেন? যখন একটি ইনপুট হিসাবে সাইন ওয়েভ দেওয়া হয় তখন কেন আউটপুট সম্পূর্ণ আলাদা আউটপুট হতে পারে?

Comments

স্বাগতম! দুর্দান্ত প্রশ্ন!

— ফোনন

আপনার বোঝাপড়া অসম্পূর্ণ। একটি লিনিয়ার (অর্থ একজাত এবং সংযোজক) সিস্টেমে প্রয়োজনীয়ভাবে এই সম্পত্তিটি থাকে না যে কোনও ইনপুট সাইনোসয়েড একই ফ্রিকোয়েন্সিটির সাইনোসয়েড তৈরি করে তবে সম্ভবত বিভিন্ন প্রশস্ততা এবং ধাপ। আপনাকে আরও বিধিনিষেধ আরোপ করতে হবে যে সিস্টেমটিও সময়-আক্রমণকারী। উদাহরণস্বরূপ, যদি ইনপুট থাকে$x(t)$ আউটপুট উত্পাদন করে $x(t)\cos(2\pi 10^9 t)$, সিস্টেমটি একজাত এবং সংযোজক, এবং তাই লিনিয়ার, তবে এসআইএসও (সিনোসয়েড ইন-সাইনোসয়েড আউট) সম্পত্তিটি পূরণ করে না।

— দিলীপ সরোতে

দিলীপ (বা অন্য কেউ) এর উত্তর হিসাবে দেওয়া উচিত: "তারা তা করে না।" কেবল সময়-আক্রমণকারী লিনিয়ার সিস্টেমগুলি করে।

— হটপাউ 2

ঠিক যেমন একটি নোট, এই প্রশ্নের বাক্যাংশের অন্য উপায়টি হ'ল " লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির এক্সপেনসিয়েন্সাল ইগনফানকশনগুলি কেন ?"

— জেসন আর

Answer 1

অন্যান্য উত্তরের জন্য কিছুটা ভিজ্যুয়াল পরিপূরক

আপনি লিনিয়ার এবং সময় অদম্য সিস্টেমের কথা বলছেন।

সূচকীয় ফাংশনগুলির একটি অদ্ভুত সম্পত্তি থাকে (এবং এটির দ্বারা এটি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে): সময় অনুবাদ করার ফলে একই ধরণের ফলাফল স্থির দ্বারা গুণিত হয়। সুতরাং

$$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$$

লাল ক্ষতিকারকটি পাশাপাশি নীলকে ভাগ করে নিতে পারে $e$ বা ডানদিকে 1 সেকেন্ড সরানো হয়েছে

সাধারণভাবে, এটি জটিল এক্সপেনশনিয়ালগুলিরও ধারণ করে

আপনি কি মনে মনে কোনও জটিল সুরেলা বা প্লট করার পরিকল্পনা করতে পারেন picture $x(t)=e^{j2\pi t}$? যদি তা হয় তবে আপনি দেখতে পাবেন এটি একটি বসন্তের মতো: সময় বাড়ার সাথে সাথে জটিল প্লেনের সাথে এটি ঘোরে।

সেই স্প্রিংকে ঘোরানো (ইউনিট বৃত্তের একটি জটিল সংখ্যা দ্বারা গুণ করা) এটি অনুবাদ করার মতোই। আপনি সম্ভবত আপনার জীবনের কিছু সময় এই ভিজ্যুয়াল এফেক্টে এসেছেন

এটি যে কোনও স্ট্যান্ডার্ড স্ক্রুের নীতিও।

ধরে নিন আমরা একটি লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমে এটি ইনপুট করি। আপনি একটি আউটপুট পেতে$y$ এখন, এই বসন্তের একটি ঘোরানো সংস্করণ ইনপুট করুন। রৈখিকতার কারণে, আউটপুট হওয়া উচিত$y$একই পরিমাণে আবর্তিত। তবে যেহেতু ঘোরানো সময়-অনুবাদের সমতুল্য, এবং সিস্টেমটি সময়-আক্রমণকারী, তাই আউটপুটটিও হতে হবে$y$একই পরিমাণ দ্বারা সময় অনুবাদ। সুতরাং,$y$ইনপুট হিসাবে একই সম্পত্তি সন্তুষ্ট করতে হবে: এটি ঘোরানো একটি নির্দিষ্ট সময়ের অনুবাদ সমতুল্য হতে হবে। এটি কেবল তখন ঘটে যখন আউটপুটটি মূল বসন্তের একাধিক হয়।

অনুবাদ কত? ঠিক আছে, এটি সরাসরি ঘূর্ণনের সাথে সমানুপাতিক যেমন বসন্তের সাথে ঘটে। বসন্তের লুপগুলি আরও কঠোর হয় (এটি যত দ্রুত ঘোরানো হয়), নির্দিষ্ট ঘোরার জন্য এটি যত কম সময় অনুবাদ করে। কোনও স্ক্রুটির লুপগুলি আরও শক্ত করুন, এটি পুরোপুরি ফিট করার জন্য আপনাকে আরও বেশি গোল করতে হবে। এবং, যখন রাউন্ডের অর্ধেকটি সম্পন্ন হবে তখন স্ক্রুটি তার অর্ধেক হয়ে যাবে ... আউটপুটটিকে একই সম্পর্কটি সন্তুষ্ট করতে হবে, আউটপুট বসন্ত$y$ ইনপুট হিসাবে একই ফ্রিকোয়েন্সি ঘোরা।

অবশেষে, একটি অনুস্মারক

$$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$$

$$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$$

সুতরাং, ক্ষয়ক্ষতিগুলির সাথে ঘটে যাওয়া জিনিসটির সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে কোসাইন এবং সাইনগুলির সাথে ঘটতে হবে না। তবে সিস্টেমটি যদি বাস্তবও হয় তবে এটি অন্যরকম গল্প ...

সাধারণভাবে, একই যুক্তি অনুসারে, কোনও ক্ষতিকারকটি লিনিয়ার সময় আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির একটি "ইগেনফানশন" (আউটপুট আনুপাতিক সমান) হয়। এই কারণেই এই সিস্টেমগুলির জন্য জেড-ট্রান্সফর্ম এবং ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি এত দরকারী useful

Comments

আপনি কীভাবে / কোথা থেকে এই অ্যানিমেশনটি পেয়েছেন?

— স্পেসি

@Mohammad উইকিপিডিয়া পাতা থেকে এটা গ্রহণ আর্কিমিডিসের স্ক্রু উপর

— Rojo

কোথায় পেলেন সেই কর্কস্ক্রু প্লট? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206

— এন্ডোলিথ

@ এন্ডোলিথ ওহ আমি ম্যাথমেটিকায় এটি সবেমাত্র করেছি। আপনার সুন্দর;)

— রোজ

Answer 2

ইনপুট সহ একটি সিস্টেম বিবেচনা করুন $x(t)$ এবং আউটপুট $y(t)$। লার্স 1 এর উত্তর থেকে স্বাক্ষর নেওয়া, আমরা এই সম্পর্কটিকে চিহ্নিত করি $x(t) \to y(t)$। সিস্টেমটি একটি লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী (এলটিআই) সিস্টেম হিসাবে বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

এইচ তাহলে$x(t) \to y(t)$তাহলে $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$।

উ: যদি $x_1(t) \to y_1(t)$ এবং $x_2(t) \to y_2(t)$তাহলে $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

টি যদি $x(t) \to y(t)$তাহলে $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ যে কোনও আসল সংখ্যার জন্য $\tau$।

বৈশিষ্ট্য এইচ এবং এ একসাথে সম্পত্তি এল এর সমতুল্য

এল তাহলে $x_1(t) \to y_1(t)$ এবং $x_2(t) \to y_2(t)$তাহলে $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$।

---

একটি সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমে পর্যায়ক্রমিক ইনপুট পর্যায়ক্রমিক আউটপুট উত্পাদন করে
মনে করুন$x(t)$পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেত$T$, এটাই, $x(t-nT) = x(t)$ সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য $n$। তারপরে, সম্পত্তি টি থেকে , এটি অবিলম্বে এটি অনুসরণ করে$y(t)$ পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেতও $T$। সুতরাং, আমরা প্রকাশ করতে পারেন $y(t)$ ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে:

$$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$$ কোথায় $\omega = 2\pi/T$ মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সি হয়।

---

থেকে $\cos(\omega t)$ এবং $\sin(\omega t)$ পর্যায়ক্রমিক সংকেত, আমাদের যে কোনও সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমের জন্য, লিনিয়ার হোক বা না থাকুক,

$$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$$ বস্তুত, জন্য রৈখিক সময় পরিবর্তিত (LTI) সিস্টেম, সব$p_n, q_n, r_n,$ এবং $s_n$শূন্য ছাড়া জন্য$p_1, q_1, r_1, s_1$। এটি কেন হয় তা দেখতে, আসুন আমরা এলটিআই সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া গণনা করি$\cos(\omega t - \theta)$ দুটি ভিন্ন উপায়ে এবং ফলাফলের সাথে তুলনা করুন।

থেকে $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$, আমরা সম্পত্তি এল এবং উপরের সমীকরণগুলি থেকে পাই get

$$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$$ অন্যদিকে, যেহেতু $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$ এর মাত্র একটি বিলম্বিত সংস্করণ $\cos(\omega t)$, সম্পত্তি টি থেকে আমরা এটি পাই $$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$$ এই দুটি ফুরিয়ার সিরিজটি কোনও মানেরই নির্বিশেষে এক হতে হবে $\theta$আমরা পছন্দ করি. সহগের তুলনা করা, আমরা এটি দেখতে $p_0/2$ সমান হতে পারে না $(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$ সবার জন্য $\theta$ যদি না $p_0 = r_0 = 0$। একইভাবে, যে কোনও জন্য$n > 1$, $p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$ সমান হতে পারে না $p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ সকলের জন্য $\theta$ যদি না $p_n = q_n = r_n = s_n = 0$। তবে, জন্য$n=1$, $p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$ ইঙ্গিত দেয় যে $r_1 = -q_1$, এবং একইভাবে, $s_1 = p_1$। অন্য কথায়, এলটিআই সিস্টেমের জন্য, $$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$$ এখন, $p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$ কোথায় $B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$ এবং $\phi = \arctan(q_1/p_1)$। সুতরাং, সম্পত্তি টি এবং এইচ এটি আমাদের দেয় $$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$$ ফ্রিকোয়েন্সি কোনও সাইনোসয়েড$\omega$ rad / s হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে $A\cos(\omega t - \theta)$ উপযুক্ত পছন্দ জন্য $A$ এবং $\theta$, এবং তাই উপরের ফলাফলটি আমাদের যা প্রয়োজন।

লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির এসআইএসও সম্পত্তি: যদি এলটিআই সিস্টেমে ইনপুটটি সাইনোসয়েড হয় তবে আউটপুটটি একই ফ্রিকোয়েন্সিটির সাইনোসয়েড তবে সম্ভবত বিভিন্ন প্রশস্ততা এবং ধাপ।

এটি বেশিরভাগ ফলাফল নয় যে ওপি চেয়েছিল - তিনি একটি প্রমাণ চেয়েছিলেন যে একটি লিনিয়ার সিস্টেম (যেটিতে প্রোপার্টি এইচ এবং এ (সমানভাবে, সম্পত্তি এল ) থাকে তবে সম্পত্তি টি নয় ) এর এসআইএসও সম্পত্তি রয়েছে, তবে উন্নয়ন হিসাবে উপরের শোতে, সম্পত্তি টি অবশ্যই দুর্বল ফলাফল প্রমাণ করতে হবে যে পর্যায়ক্রমিক আউটপুটটিতে পর্যায়ক্রমিক ইনপুট ফলাফল হয়।

---

চূড়ান্ত মন্তব্য হিসাবে, দ্রষ্টব্য যে এসআইএসও সম্পত্তি প্রমাণ করার জন্য জটিল সংখ্যা বা কনভলিউশন উপপাদ্যগুলি বা ফুরিয়ার বা লাপ্লেস ট্রান্সফর্ম, আবেগগুলি, আইজেনফিউশনস ইত্যাদি ব্যবহার করা প্রয়োজন নয়। এটি প্রোপার্টি এল এবং * টি এবং ট্রিগনোমেট্রিক পরিচয় থেকে অনুসরণ করে

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$$

Comments

কি হবে যদি $x(t)$পর্যায়ক্রমিক নয় (পর্যায়ক্রমে অসম্পূর্ণ ফ্রিকোয়েন্সি ঘটতে পারে)? প্রয়োজনের$T$সীমাবদ্ধ? আমরা প্রয়োজনীয়তার দ্বারা সাধারণতার দিক দিয়ে কিছু অর্জন করতে পারি?$x(t)$পর্যবেক্ষণ সময়ের ব্যবধানে বর্গক্ষেত্রের সংহত হতে?

— Lars1

@ Lars1 যদি এলটিআই সিস্টেমে ইনপুট পর্যায়ক্রমিক না হয় তবে আউটপুট পর্যায়ক্রমে হয় না। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে হিসাবে, যদি$x(t) = A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t)$ কোথায় $\omega_1/\omega_2$অযৌক্তিক (এবং সুতরাং ইনপুট পর্যায়ক্রমিক নয়), তবে সম্পত্তি এল থেকে আমাদের তা রয়েছে $$A_1\cos(\omega_1 t) + \A_2\cos(\omega_2 t) \to A_1 B_1\cos(\omega_1 t - \phi_1) + \A_2B_2\cos(\omega_2 t-\phi_2)$$ কোন আউটপুট পর্যায়ক্রমে হয় না। সুতরাং কোনও সমস্যা নেই।

— দিলিপ সরোতে

@ সরওয়াতে: আমি যা বলতে চাইছিলাম তা মোটেই ঠিক নয়, দুঃখিত। ভাবছিলাম যদি উদা$x(t)=\cos(\pi t)+\cos(\sqrt{2}t)$উপরের কেস দ্বারা পরিচালিত হবে। যদি আমাদের সাথে সীমাবদ্ধ পর্যবেক্ষণের সময় অন্তর প্রয়োজন হয়$t\in\mathbb{T}=[0;T]$যে কোনও বর্গাকার ইন্টিগ্রেটেবল সিগন্যাল পর্যবেক্ষণের ব্যবধানে ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে। সীমাবদ্ধ জন্য$T$এটি সম্ভবত সর্বাধিক সাধারণ পদ্ধতির এবং আপনার ব্যয়গুলি এখনও দেখতে পারা যায় see স্পষ্টতই ফুরিয়ার সিরিজ পদ্ধতির বাইরে পর্যায়ক্রমকে বাধ্য করা হয়$\mathbb{T}$ তবে আমরা যদি কেবলমাত্র সিগন্যালটির বিষয়ে চিন্তা করি $t\on\mathbb{t}$এটি সত্যিই কিছু যায় আসে না।

— Lars1

@ লার্স 1 আমি আপনার এই মন্তব্যের সাথে একমত নই যে বাহ্যিক সাময়িকী বাইরে রয়েছে $[0, T]$কোন ব্যাপার না. যদি ইনপুট$x(t)$ আউটপুট উত্পাদন করে $y(t)$একটি LTI সিস্টেমের মধ্যে, তারপর ফুরিয়ার সিরিজ Siso সম্পত্তি প্রয়োগের নেই দিতে$y(t)$ সীমিত $[0,T]$। পরিবর্তে, যা প্রাপ্ত তা পর্যায়ক্রমিক প্রতিক্রিয়ার একটি সময়কাল$\hat{y}(t)$ পর্যায়ক্রমিক সংকেত $\hat{x}(t)$ যেখানে প্রতিটি সময় তাত্ক্ষণিক জন্য $t$, $-\infty< t < \infty$, $$\hat{x}(t) = x(t \bmod T).$$ অন্য কথায়, $T$-সেকেন্ড বিভাগ $x(t)$ পর্যায়ক্রমে পুনরাবৃত্তি (সময়ের সাথে $T$) সময় অক্ষ সহ।

— দিলিপ সরোতে

উদাহরণস্বরূপ, অরৈখিক আরএফ সিস্টেমে ইনপুট থেকে আউটপুট পর্যন্ত অনন্য ফ্রিকোয়েন্সি ম্যাপিং নিশ্চিত করতে আমরা প্রায়শই অসম্পূর্ণ সাইনোসাইডালগুলির যোগফলটি বেছে নিই। এইগুলির ফলে একটি অ পর্যায়ক্রমিক সিগন্যাল আসে এবং আমি কেন জানতে পেরেছিলাম যে আপনি কেন পর্যায়ক্রমে উপরের দিকে ধরেছিলেন যা আমার কাছে মনে হয় বেশিরভাগ ব্যবহারিকভাবে প্রাসঙ্গিক সংকেতকে বাদ দেয়। স্কয়ার ইন্টিগ্রেটেবল$x(t)$ এবং $y(\tau)$সীমাবদ্ধ পর্যবেক্ষণের অন্তরগুলিতে ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে। আমি দাবি করতে চাই নি (উদ্দেশ্য) ছিল না$t$ জন্য একই ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল $x$ এবং $y$ বিটিডাব্লু এবং $y$একটি সময় অফসেট সংস্করণ হতে পারে। আমি আরও বিভ্রান্তি এড়াতে এখানে থামব।

— Lars1

Answer 3

প্রমাণের ধারণাটি এখানে। আসুন ধরে নেওয়া যাক আমরা একটি সিস্টেমের আউটপুটকে কনভলজ দ্বারা বর্ণনা করতে পারি,

$$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

লক্ষ্য করুন যে ফাংশন (ওরফে "কার্নেল") $k_t(t)$আমি এখানে এটি লিখেছি হিসাবে পরিবর্তন হতে পারে$t$পরিবর্তিত হয়। তবে আমরা সাধারণত এ সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান করি make$k_t(t)$- এটি সময়ের সাথে পরিবর্তন হয় না। একে বলা হয় "লিনিয়ার টাইম-ইনভেরিয়েন্স" ( টোপলিটজ ম্যাট্রিক্সে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটিও দেখুন )। যদি আমাদের সিস্টেম লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী হয়,$k_t$জন্য একই কোনো $t$, এবং তাই আমরা কেবল সাবস্ক্রিপ্ট উপেক্ষা করে লিখব

$$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

এখন, বলা যাক $f(t)$ বলুন, একটি সাইনোসয়েড $f(t) = e^{i\omega t}$। তাহলে আমাদের আছে

$$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$$

লক্ষ্য করুন যে শেষ সমীকরণটির উপর কোনও নির্ভরতা নেই$t$! ফলস্বরূপ, আসুন সংজ্ঞায়িত করা যাক$K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$।

সুতরাং, আমরা এটি আবিষ্কার করেছি

$$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$$

বা, অন্য কথায়, $y(t)$ইনপুট হিসাবে একই ফ্রিকোয়েন্সিতে সাইনোসয়েড দোলনাযুক্ত , তবে একটি জটিল সংখ্যার দ্বারা ভারযুক্ত$K(\omega)$ যা শ্রদ্ধার সাথে ধ্রুবক $t$ (এবং এভাবে ইনপুটটির সাথে সম্মানের সাথে আউটপুটটির প্রশস্ততা এবং পর্বটি স্থানান্তর করতে পারে)।

সম্পাদনা: মন্তব্যগুলি উল্লেখ করেছে যে উত্তরটি বেশ looseিলা ছিল। আমার লক্ষ্য ফুরিয়ার এর রুপান্তর বিভিন্ন ফর্ম মত এড়ানোর বিবরণ ছিল, কিন্তু আমি শেষ পর্যন্ত conflating ফুরিয়ার এবং Laplace রূপান্তরিত করে। পূর্বে আমি ফুরিয়ারকে রূপান্তর বলেছিলাম কেবল তখন ফুরিয়ার রূপান্তর যদি $s$খাঁটি কাল্পনিক ছিল। আমি স্থির করেছি যে এই রুটটি স্পষ্ট করা অগত্যা অত্যধিক স্বরলিপি যুক্ত করবে, তাই আমি এটি তির্যকগুলিতে প্রকাশ করছি।

এখন, শেষ হওয়ার জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি ধরুন (যেহেতু ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি গুণকে রূপান্তরিত করে),

$$Y(s) = K(s) F(s)$$

এখন যদি $f$ বলুন, একটি সাইনোসয়েড $f(t)=e^{i\omega t}$, এর ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি একটি ডেল্টা ফাংশন $\omega$। এটাই, $F(s) = \delta_{w}(s)$। সুতরাং, আউটপুট এর ল্যাপ্লেস রূপান্তর এছাড়াও যে ফ্রিকোয়েন্সি একটি ব-দ্বি ফাংশন:

$$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$$

থেকে $K(\omega)$ ইনপুট ফ্রিকোয়েন্সি, আউটপুট উপর নির্ভর করে যা কিছু জটিল সংখ্যা $y(t)$ ইনপুট হিসাবে একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ একটি সাইনাসয়েড হবে, তবে সম্ভাব্য বিভিন্ন প্রশস্ততা এবং পর্যায় সহ।

ঘটনাচক্রে, আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে আপনি একই ধারণাটি উইকিপিডিয়ায় টাইম ডোমেইনে লিখিত পেতে পারেন । একটি উচ্চ-স্তরের ব্যাখ্যা (যা আপনি যদি খুব বেশি ম্যাথিউড হন তবে তা উপেক্ষা করতে পারেন) হ'ল লিনিয়ার সিস্টেম তত্ত্বটি কনভলশন অপারেশনের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ফুরিয়ার রূপান্তর দ্বারা তির্যক হয়। সুতরাং, এমন একটি সিস্টেম যার ইনপুটটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম অপারেটরের একটি ইগেনভেেক্টর, তার ইনপুটটির কেবলমাত্র একটি ছোট সংস্করণ আউটপুট দেবে।

Comments

-1 কী $s$ এবং এটি কীভাবে সম্পর্কিত $\omega$? এবং আপনি কি বলতে চাইছেন তা ব্যাখ্যা করতে পারেন$\delta_{\omega}(s)$? আপনার সমীকরণ$Y(s) = K(s)\delta_{\omega} s)$নিছক বোকা।

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে আমার সন্দেহ হয় তিনি ফুরিয়ার স্বরলিপির পরিবর্তে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম নোটেশন ব্যবহার করছেন using

— জিম ক্লে

@ সাইডুলিসি সমস্যাটি হ'ল আপনি দৃ you়ভাবে বলেছেন যে কে (ডাব্লু) "" কিছু জটিল সংখ্যা "তবে আপনি কেন বলেন নি যে এটি প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সিতে কেবল একটি জটিল সংখ্যা। এটাই প্রমাণের হৃদয়।

— জিম ক্লে

এটিতে একটি সঠিক রূপরেখা রয়েছে তবে বিশদে অনেক সমস্যা রয়েছে। ডাউনভোটিং নয়, এটি ঠিক করা উচিত।

— ফোনন

Answer 4

বলুন আমাদের ইনপুট সহ একটি সিস্টেম আছে $x_1(t)$ যা আউটপুট উত্পন্ন করে $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$, এবং একটি ইনপুট সহ $x_2(t)$ আমরা আউটপুট পেতে $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$। সিস্টেমটি রৈখিক হয় যদি:

$$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

কোথায় $a$ এবং $b$(বাস্তব বা জটিল) ধ্রুবক। উপরের সমীকরণগুলি পূরণ না করা হলে সিস্টেমটি ননলাইনার। সমীকরণটি সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে বাস্তব এবং জটিল সংকেতের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি সুপারপজিশনের নীতিটি বৈধ হতে হবে হিসাবে একই। সরওয়াতে একটি মন্তব্যে যেমন চিত্রিত করেছেন এটি সিস্টেমকে নতুন ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি হতে বাধা দেয় না। আমরা সম্ভবত প্রায়শই অপ্রত্যক্ষভাবে সময় আক্রমণকে ধরে নিতে ব্যবহার করি to কারণ সম্ভবতঃ এক বা একাধিক বহিরাগত নিয়ন্ত্রক সংকেত প্রয়োগ করে একটি সময় আক্রমণকারী সিস্টেমে একটি সময় পরিবর্তিত সিস্টেমের মানচিত্র করা প্রায়শই সম্ভব।

রৈখিকতার সংজ্ঞা এবং পরবর্তী সময় ব্যবস্থার প্রয়োজনীয়তার জন্য আমরা সরাসরি দেখতে পাই যে লিনিয়ারটির প্রয়োজনীয়তা মেনে চলার সময় দুটি (বা আরও সংকেত) নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি হস্তক্ষেপ করতে এবং জেনারেট করতে পারে না। সুপারপজিশনের মূলনীতিটি সরাসরি রৈখিক সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

লিনিয়ারিটি সংজ্ঞা থেকে রৈখিক সময় আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির জন্য কনভোলশনের ধারণা অনুসরণ করে। অরৈখিক সিস্টেমের জন্য আমাদের কাছে ভোল্টেরার সিরিজ রয়েছে যা একটি বহুমাত্রিক সমঝোতা ইন্টিগ্রাল - 1-মাত্রিক কনভ্যুশন ইন্টিগ্রাল ভোল্ট্রা সিরিজের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। যদিও লিনিয়ার কৌশলগুলির তুলনায় এটি আরও জটিল। তবে লিনিয়ার সিস্টেমের জন্য কনভ্যুশনাল ইন্টিগ্রালের উপর ভিত্তি করে ডেরিভেশনটি @ সাইডিউলিসি দ্বারা দেখানো একটি অনুসরণ করে।

ননলাইনার সম্পর্কের একটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ প্রদর্শন করতে যেখানে নতুন ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি করা হয় আমরা ব্যবহার করতে পারি ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$। আসুন প্রথমে দেখান যে এটি প্রকৃতপক্ষে অবৈধ। আমরা যদি ইনপুট প্রয়োগ করি$x_1(t)$ আমরা আউটপুট পেতে $y_1(t) = x_1^2(t)$ এবং যদি আমরা ইনপুট প্রয়োগ করি $x_2(t)$ আমরা আউটপুট পেতে $y_2(t) = x_2^2(t)$। আউটপুট$y(t)$ তারপর:

$$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$$

বা:

$$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

এবং আমরা এইভাবে প্রমাণিত করেছি $x^2$to be nonlinear (যা খুব আশ্চর্য হতে পারে)। আমরা যদি একটি একক সাইনোসয়েডাল সংকেত প্রয়োগ করি$x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ সিস্টেমে ${\cal G}$ আমাদের আউটপুট আছে:

$$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$$

এখানে আউটপুটে একটি ডিসি উপাদান এবং ফ্রিকোয়েন্সিতে অন্য উপাদান রয়েছে component $2f_0$। ননলাইনার ফাংশন$x^2$ এইভাবে নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান উত্পন্ন করে।

উপসংহারে এটি লক্ষ্য করা যায় যে একটি লিনিয়ার সিস্টেম ইনপুটটিতে উপস্থিত না থাকা ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি তৈরি করতে পারে (যদি সিস্টেমটি সময় বৈকল্পিক হয়)। যদি সিস্টেমটি লিনিয়ার টাইম ইনগ্রেন্ট হয় তবে আউটপুটে ইনপুটটিতে উপস্থিত না থাকা ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে পারে না।

সবচেয়ে প্রাসঙ্গিক মন্তব্যের জন্য @ সরওয়াতে ধন্যবাদ।

Comments

তুমি ঠিক. আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি যে আমি সময় আক্রমণকারী সিস্টেমগুলি উল্লেখ করি। আপনি যে উদাহরণটি প্রদান করেন তা হ'ল সময়ের পরিবর্তিত সিস্টেম যেখানে আপনার উদাহরণটি ধারণ করে না। সাধারণত হিসাবে যেমন একটি সংকেত$\cos(t)$বাহ্যিক বন্দরে সিগন্যাল হিসাবে প্রয়োগ করা হয় যেখানে ক্ষেত্রে লিনিয়ারটি পূর্ণ হয় না। আমি উপরের উত্তরে সময় আক্রমণকারী অংশটি উল্লেখ করেছি।

— Lars1

@ দিলিপ সরওয়াতে তাই কি কেবল এলটিআই সিস্টেমে সেই সম্পত্তি আছে?

— ফোনন

নিরাপদ দিকে থাকার জন্য কেবল কয়েকটি বই পরীক্ষা করে দেখেছেন। আসলে বিশদটিতে কিছুটা পার্থক্য রয়েছে বলে মনে হচ্ছে। ২০০ from সালের সার্কিট সিস্টেমে ইয়াং ও লি-র বইয়ের একটি সংজ্ঞা বলে: "সুপারপজিশন নীতিটি ধরে রাখলে কোনও সিস্টেম লিনিয়ার বলে মনে হয়, অর্থাত্ বেশ কয়েকটি স্বেচ্ছাচারী ইনপুটগুলির লিনিয়ার সংমিশ্রণে এটির আউটপুটগুলির লিনিয়ার সংমিশ্রণের মতোই হয় is স্বতন্ত্র ইনপুট "। সেই বিবেচনায় সরোতেতের উদাহরণটি লিনিয়ার - তবে সময়ের আক্রমণকারী নয়। অন্যান্য রেফারেন্স যদিও কম সুনির্দিষ্ট হয়। @ সরওয়াতে ধন্যবাদ।

— Lars1

টাইপোগ্রাফিক ত্রুটিগুলি সহ Lars1 দ্বারা উল্লেখ করা মন্তব্য সংশোধন করা হয়েছে: আউটপুট উত্পাদনকারী সিস্টেমটি বিবেচনা করুন$x(t)\cos(t)$ ইনপুট থেকে $x(t)$। তারপর,$ax_1(t)+bx_2(t)$ আউটপুট উত্পাদন করে $$(ax_1(t)+bx_2(t))\cos(t)=a⋅x_1(t)\cos(t) +b⋅x_2(t)\cos(t)$$ যাতে সিস্টেম লিনিয়ার হয় তবে দাবি করা সম্পত্তি ব্যতীত।

— দিলিপ সরোতে

@ সরওয়াতে সিস্টেম আউটপুট এক্স (টি) কোস (টি) সময় কীভাবে আলাদা করে? আমি ডিএসপি'র একটি শিক্ষানবিস

— হোবিস্ট

Answer 5

দিলীপ সরওয়াতে যেমন উল্লেখ করেছেন, কেবল রৈখিক শিফট-ইনগ্রেন্ট (এলএসআইভি) সিস্টেমে এসআইএসও (সিনোসয়েড ইন-সাইনোসয়েড আউট) সম্পত্তি রয়েছে।

আপনার প্রশ্নের সংক্ষিপ্ত উত্তর হ'ল জটিল ক্ষয়ক্ষতি $e^{\jmath \omega t}$হয় eigenfunctions একটি LSIV সিস্টেমের। ইয়েগেনফ্যাঙ্কশনের সংজ্ঞা অনুসারে, যদি ইনপুটটি ইগেনফিউশন হয় (সাইন / কোসকে ইউলারের সূত্র অনুসারে জটিল ঘনিষ্ঠভাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে), আউটপুট কেবল ইনপুট এবং এটির সাথে সম্পর্কিত ইজেনভ্যালুর পণ্য, যা একটি জটিল সংখ্যা হতে পারে, এবং এটি যেখানে পর্যায় / প্রশস্ততা পরিবর্তন আসে।