একটি অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপের নমুনা: ক্রোনেকারের নাকি ডিরাকের ব-দ্বীপ?

আমি সিগন্যাল সংগ্রহের কিছু কাগজ পড়ছি এবং আমি আমার প্রশ্নের শিরোনামে বিষয়টি নিয়ে খুব বিভ্রান্ত হয়েছি। একটি সময় একটানা ফাংশন বিবেচনা , , যে অমসৃণ সময়ে আমি নমুনা , যেখানে । আমার কাছে, এটি উপলব্ধি করে যে নমুনাযুক্ত ফাংশনটি হল: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ যেখানে হয়Kronecker এরব-দ্বীপ (সমান যখন , অন্যত্র শূন্য)। তবেএইকাগজটিতে লেখক নমুনাযুক্ত সংকেতটি এফেক্ট করেছেন:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

যেখানে

ডিরাকের ডেল্টা ফাংশন এবং আমি কেন

এখানে উপস্থিত হয়তা সত্যিই পাই না(লেখক) দাবি স্যাম্পলিং ফাংশন আসলে ব-দ্বীপ ফাংশন একটি ভরযুক্ত সমষ্টি যে

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

এবং এখানে সে

। আমি সত্যিই বুঝতে পারি নি কেন)। এই শেষ বিবৃতিটি আমার কাছে খুব একটা বোঝায় না: নমুনাযুক্ত সিগন্যালের

এঅসীম প্রশস্ততা থাকবে!

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— নেস্টর
সূত্র

ডাইরাক ইমপ্লিসের একটি ট্রেন দ্বারা অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেতের গুণনের মাধ্যমে নমুনা প্রক্রিয়াটির মডেলিং করা আমার অভিজ্ঞতার সবচেয়ে সাধারণ ব্যাখ্যা। আপনি যদি এটি গভীরভাবে খনন করেন তবে আপনি এই পদ্ধতির * গাণিতিক নির্ভুলতা সম্পর্কে কিছুটা দ্বিমত দেখতে পাবেন, তবে আমি এটি নিয়ে উদ্বেগ করব না; এটি প্রক্রিয়াটির জন্য কেবল একটি সুবিধাজনক মডেল। আপনার সেল ফোনের এডিসির অভ্যন্তরে এমন কোনও প্রেরণ জেনারেটর নেই যা বজ্রপাতের পর্যায়ক্রমিক বোল্ট তৈরি করে যা তাদের এনালগ ইনপুটগুলিকে বহুগুণ করে।

যেমনটি আপনি উল্লেখ করেছেন, আপনি ক্রোনেকার ডেল্টা ফাংশনের ক্রমাগত-সময়ের ফুরিয়ার রূপান্তর গণনা করতে পারবেন না, কারণ এর ডোমেনটি অবিচ্ছিন্ন নয় (এটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ)। বিপরীতে, ডায়রাক ডেল্টা ফাংশনটির একটি সাধারণ ফুরিয়ার রূপান্তর রয়েছে এবং ডাইরাক ইমপ্ল্যাসগুলির একটি ট্রেন দ্বারা একটি সংকেতকে গুণিত করার প্রভাব তার তলতলের সম্পত্তিটির কারণে প্রদর্শন করা সহজ।

*: উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট হতে চলেছেন তবে আপনি বলবেন যে ডায়ারাক ডেল্টা কোনও কাজ নয়, পরিবর্তে একটি বিতরণ । কিন্তু একটি ইঞ্জিনিয়ারিং স্তরে, এই বিষয়গুলি সত্যই কেবল শব্দার্থক।

সম্পাদনা: আমি নীচের মন্তব্যটি সম্বোধন করব। আপনি নমুনা প্রক্রিয়াটির আপনার মানসিক মডেলটি দিয়েছেন:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

যা সঠিক নয়। পরিবর্তে, নমুনাযুক্ত সংকেতের মডেল হ'ল:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

যা হ'ল বিযুক্ত-সময় ফুরিয়ার রূপান্তর সংজ্ঞা ।

— জেসন আর
সূত্র

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$