এলটিআই সিস্টেম কেন নতুন কোনও ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি করতে পারে না?

9

কেন যে বোঝা একটি LTI সিস্টেম কোনো নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উৎপন্ন করতে পারছি না? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
কেন যদি কোনও সিস্টেম নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উত্পন্ন করে, তবে এটি এলটিআই নয়?

convolution time-frequency

15

এলটিআই সিস্টেমগুলির একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য হ'ল তারা কোনও নতুন ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি করতে পারে না যা ইতিমধ্যে তাদের ইনপুটগুলিতে উপস্থিত নেই। দয়া করে মনে রাখবেন এই প্রেক্ষাপটে একটি ফ্রিকোয়েন্সি ধরণ সংকেত বোঝায় বা যার দ্বারা অসীম সময়কাল, এবং এছাড়াও হিসেবে উল্লেখ করা হয় eigenfunctions LTI এর সিস্টেম (বিশেষভাবে শুধুমাত্র জটিল সূচকীয় জন্য) এবং যার সিটি ফুরিয়ার রূপান্তর দ্বারা প্রকাশ করা হয় প্রৈতি যেমন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে ফাংশন বা $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ repectively।

এটি কেন হয় তা দেখার এক উপায় , আউটপুট এর CTFT, পর্যবেক্ষণ করে আসে , যা সুপরিচিত সম্পর্ক দ্বারা প্রদত্ত কেবল তখনই যখন সিস্টেমটি এলটিআই হয় (এবং এটি সত্য হিসাবে স্থিতিশীল যাতে বিদ্যমান থাকে)। $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(যেমন কেবল তখনই ধারণ করে যখন প্রসারণ প্রতিক্রিয়া উপস্থিত থাকে এবং সিস্টেমটি এলটিআই হলেই এটি বিদ্যমান থাকবে))

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

একটু চিন্তা, একটি সাধারণ চিত্রলেখ চক্রান্ত, এবং উপরোক্ত গুণ সম্পত্তি ব্যবহার দ্বারা পরিচালিত থেকে, এক দেখতে পারেন এর ফ্রিকোয়েন্সি অঞ্চল সমর্থন (ফ্রিকোয়েন্সি সেট, যার জন্য অ শূন্য), আউটপুট এলটিআই সিস্টেমের ইনপুট এবং ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স এর সমর্থন এবং অঞ্চলগুলির ছেদ দ্বারা দেওয়া হয় : $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

এবং সেট বীজগণিত থেকে আমরা জানি যে যদি তবে এবং । অর্থাত্ একটি ছেদটি যে ছেদ করা হচ্ছে তার সর্বদা কম বা সমতুল্য। সুতরাং, এর সমর্থন অঞ্চলটি সমর্থনের চেয়ে কম বা সর্বাধিক সমান হবে । অতএব আউটপুটে কোনও নতুন ফ্রিকোয়েন্সি পরিলক্ষিত হবে না। $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

যেহেতু এই সম্পত্তিটি এলটিআই সিস্টেম হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত , সুতরাং যে কোনও সিস্টেম এটি অধিকার করতে ব্যর্থ হয়, সুতরাং, এটি এলটিআই হতে পারে না।

— FAT32
সূত্র

9

আপনি সরবরাহ করেছেন এমন ভিত্তিতে আপনি একটি সাধারণ বীজগণিত যুক্তি তৈরি করতে পারেন। এমন:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

যেখানে হ'ল ইনপুট সিগন্যালের বর্ণালী এবং ) হচ্ছে সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া, তবে এটি স্পষ্ট যে যদি ইনপুট সিগন্যালে কিছু যার জন্য , তারপরে পাশাপাশি; এমন কোনও ফ্যাক্টর যা আপনি ননজারো মান অর্জন করতে গুণতে পারেন। $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

এই বলে যে, এলটিআই সিস্টেমগুলির জন্য আমি যে ভিত্তির উপরের সাথে শুরু করেছি তার সত্যতা প্রতিষ্ঠা করতে কিছু কাজ লাগবে। তবে, আমরা যদি এটি সত্য বলে ধরে নিই, তবে এলটিআই সিস্টেমটি তার আউটপুটে কোনও নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি প্রবর্তন করতে পারে না এ বিষয়টি সরাসরি অনুসরণ করে।

— জেসন আর
সূত্র

প্রমাণটি হ'ল যে কোনওভাবে যথেষ্ট ভাল আচরণের সংকেতের জন্য, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি অবিচ্ছেদ্য এবং এফটি এবং এর বিপরীত উভয়ই লিনিয়ার। একটি ফ্রিকোয়েন্সি সহ প্রতিটি সংকেত যথেষ্ট ভাল আচরণ করে।

— মার্কাস মুলার

3

কেন যে বোঝা একটি LTI সিস্টেম কোনো নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উৎপন্ন করতে পারছি না? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

যদি আমাদের একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি in না উপস্থিত থাকে তবে । কারণ 0 গুণক পরিচয় , । সুতরাং আউটপুট সিগন্যালে the ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থিত নেই। $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

কেন যদি কোনও সিস্টেম নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উত্পন্ন করে, তবে এটি এলটিআই নয়?

ধরা যাক আমাদের ইনপুটটি । তারপরে যদি আমরা ধরে নিই যে আমাদের সিস্টেমটি নতুন ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি করতে পারে তবে আউটপুট পাওয়া সম্ভব । যেহেতু আমরা ধ্রুবকগুলি যেমন খুঁজে পাই না , আমাদের সিস্টেমটি এলটিআই নয়। $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— স্কট
সূত্র

এলটিআই কি কেবল সি 1 ব্যবহার করা যায় তা পরীক্ষা করার জন্য, এবং সি 2 নয়?

— ব্যবহারকারী

1

আমি বলব যে প্রথম পয়েন্টটি মূলত এটি যে শূন্যগুণকে কিছু দিয়ে গুণে আপনি শূন্যহীন কিছু পেতে পারেন না, এটিই সংক্ষিপ্ত উত্তর।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

সি 1 লিনিয়ারিটির জন্য ব্যবহৃত হয়, সি 2 টাইম শিফটিংয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়। আমাদের কাছে একটি এলটিআই সিস্টেম থাকতে পারে যা সবকিছুকে 1 টি ইউনিট দ্বারা বিলম্বিত করে।

— স্কট

1

একটি এলটিআই সিস্টেম খাঁটি ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা তির্যক হয় । সাইনস / কোসাইনগুলি লিনিয়ার সিস্টেমের আইজেনভেেক্টর। অন্য কথায়, যে কোনও একক অ-শূন্য সাইন বা কোসাইন (বা একটি জটিল সিসয়েড) ইনপুটটিতে একই ফ্রিকোয়েন্সিটির সাইন বা কোসাইন আউটপুট হুবহু (তবে আউটপুট প্রশস্ততা বিলুপ্ত হতে পারে)।

একমাত্র যে জিনিসটি পরিবর্তন হতে পারে তা হ'ল তাদের প্রশস্ততা বা তাদের পর্ব। অতএব, যদি আপনার ইনপুটটিতে প্রদত্ত ফ্রিকোয়েন্সি সহ কোনও সাইন না থাকে তবে আপনি আউটপুটে সেই ফ্রিকোয়েন্সি সহ কিছুই (শূন্য) পাবেন না।

দ্বিতীয় প্রশ্ন বৈষম্য বা regula falsi উত্তর: যদি সত্য, তাই হয় । যদি কোনও সিস্টেম এলটিআই হয় তবে এটি নতুন ফ্রিকোয়েন্সি তৈরি করে না। যদি কোনও সিস্টেম নতুন ফ্রিকোয়েন্সি উত্পন্ন করে তবে এটি এলটিআই নয়। $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— লরেন্ট ডুভাল
সূত্র