একটি ডাউনস্যাম্পলারের জেড-ট্রান্সফর্ম

ইন এই কাগজ বা multirate ফিল্টারিং, লেখক নিম্নলিখিত গাণিতিক সম্পর্ক স্থাপন করে। যাক একটি downsampler যেমন যে আউটপুট হতে $y_D$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

যেখানে ডাউনস্যাম্পলিং ফ্যাক্টর। অন্য কথায়, আমরা মূল সিগন্যালের প্রতিটি তৃতীয় নমুনা রাখি । এরপরে লেখক নিম্নলিখিত বিবরণে যান: $M$ $M$

... এর z- রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয়েছে $y_D[n]$

$Y_{D} [z] = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X [z^{1 / M} W^{k}]$ $Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$
যেখানে হয় -point বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার কার্নেল, যথা ট্রান্সফর্ম । $W^k$ $M$ $e^{(-j2\pi k)/M}$

আমরা কীভাবে পূর্বের অভিব্যক্তিটি থেকে পরের দিকে যেতে পারি? ডিএফটি এবং জেড-ট্রান্সফর্মের মধ্যে এমন সম্পর্ক কী যা এই জাতীয় রূপান্তরের অনুমতি দেয়?

dft downsampling z-transform

— Phonon- র
সূত্র

উত্তর:

এই ব্যয়টি একটি কৌশলযুক্ত। আগে প্রস্তাবিত পদ্ধতির একটি ত্রুটি রয়েছে। আমি প্রথমে এটি প্রদর্শন করি; তাহলে আমি সঠিক সমাধানটি দেব।

আমরা signal ম্যাথকল -ডাউনস্যাম্পলড সিগন্যালের , , সাথে ম্যাথ্যাকাল -ট্রান্সফর্মটি মূল সংকেত । $\mathcal{Z}$ $Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$ $\mathcal{Z}$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

ভুল পথ

ডাউনস্যাম্পলড সিগন্যালের জন্য এক্সপ্রেশনটিকে কেবল ম্যাথ্যাকাল -ট্রান্সফর্মের মধ্যে প্রকাশ করার জন্য কেউ ভাবতে পারে : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

পরিবর্তনশীল এর পরিবর্তন স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

যাইহোক, এটা বুঝতে পারি যে যদিও নতুন সঙ্কলন সূচক গুরুত্বপূর্ণ এখনও থেকে রান থেকে , সমষ্টি সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা এম বাইরে এখন শেষ 1 । অন্য কথায়, $n'$ $-\infty$ $\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

যখন ট্রান্সফর্মের সংজ্ঞা প্রয়োজন $\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ।

যেহেতু এটি আর ট্রান্সফর্ম হিসাবে নেই, তাই আমরা লিখতে পারি না : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

সঠিক উপায়

আসুন প্রথমে একটি 'সহায়তাকারী' ট্রেন সিগন্যাল হিসাবে সংজ্ঞা দিন: $t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

এই ফাংশনটি প্রতি নমুনার মধ্যে একটিতে এবং অন্য কোথাও শূন্য। $1$ $M$

সমানভাবে, পালস ট্রেনের কাজটি এইভাবে লেখা যেতে পারে:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

প্রুফ: আমাদের কে এবং পৃথকভাবে কেসগুলি বিবেচনা করতে হবে : $n \in M\mathbb{Z}$ $n \notin M\mathbb{Z}$

\begin{aligned} t_{M} [n] & = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} e^{j 2 π k n / M} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} 1 & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - e^{j 2 π k n}}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} \frac{1}{M} M & : n \in M Z \\ \frac{1}{M} \frac{1 - 1}{1 - e^{j 2 π k n / M}} & : n \notin M Z \end{array} \\ = {\begin{array}{lr} 1 & : n \in M Z \\ 0 & : n \notin M Z \end{array} \end{aligned}

$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$ the ক্ষেত্রে ,

n \notin M Z

$n \notin M\mathbb{Z}$

এখন আসুন ডাউনস্যাম্পলারের -র ট্রান্সফর্মটি খুঁজে পাওয়ার আমাদের আসল সমস্যাটিতে ফিরে যাই : $\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

আমরা প্রতিস্থাপনটি প্রয়োগ করি , এটি মাথায় রেখে যে সমষ্টিটি কেবলমাত্র এম এর পূর্ণসংখ্যার বহুগুণে চালিত করে: $n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

সমস্ত over এর উপরে একটি সংক্ষেপ হিসাবে নিরাপদে এটি পুনরায় লিখতে আমরা এখন উপরের ইমপ্লাস ট্রেন ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারি : $n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

অনুপ্রেরণার একটি সসীম যোগ হিসাবে প্রেরণ ট্রেন ফাংশন জন্য উপরোক্ত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

ডান দিকে সমষ্টি হল সব পূর্ণসংখ্যার উপর একটি সঙ্কলন এবং সেই কারণেই বৈধ পরিপ্রেক্ষিতে -transform । অতএব, আমরা লিখতে পারি: $\mathcal{Z}$ $z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

এটি একটি ডাউনস্যাম্প্লারের t- ট্রান্সফর্মের সূত্র । $\mathcal{Z}$

— user9037
সূত্র

খুব সুন্দর. উপরের আমার পূর্ববর্তী উত্তরটি পড়ার সময় আমিও একই ত্রুটি লক্ষ্য করেছি।

— জেসন আর

আমি এই স্বরলিপিটি আগে দেখিনি। তবে এটি বোধগম্য মনে হয় না। -downsampler সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়: $M$

y_{D} [n] = x [M n]

$y_D[n] = x[Mn]$

এর রূপান্তরটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: $z$

\begin{aligned} Y_{D} (z) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} y_{D} [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [M n] z^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$

ভেরিয়েবলের পরিবর্তন প্রয়োগ করুন । সামঞ্জস্যের ব্যাপ্তিগুলি অসীমের দিকে প্রসারিত হওয়ার কারণে পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের দ্বারা প্রভাবিত হয় না। $n' = Mn$

Y_{D} (z) = \sum_{n^{'} = - \infty}^{\infty} x [n^{'}] z^{- n^{'} / M}

$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$

এটি নিজের মতো করে ট্রান্সফর্মের অনুরূপ । স্মরণ করুন যে এটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: $z$ $x[n]$

X (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] z^{- n}

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$

পরিদর্শন দ্বারা, আমরা তাই এবং এর রূপান্তরগুলির মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কটি শেষ করতে পারি : $z$ $x[n]$ $y_D[n]$

Y_{D} (z) = X (z^{1 / M})

$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$

অতএব, downsampler আউটপুট রুপান্তর ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত হয় ইনপুট সংকেত, যা হবে বলে আশা করা হয় রুপান্তর। ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে, এর ফলে সিগন্যালের ফ্রিকোয়েন্সি সামগ্রী ফোল্ড প্রসারিত হয়। $z$ $z$ $M$

কিন্তু আপনি কীভাবে উপরের সমীকরণ থেকে কাগজে উল্লেখ করেছেন তার কাছে যান? এটা তোলে একটি সংজ্ঞা দেয় পদ শুধুমাত্র যখন অভিব্যক্তি আমরা উদ্ভূত একটি ফাংশন । সুতরাং একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য যে আপনি এ মূল্যায়ন করতে চান , আপনি প্রথমে গণনা করতে পারেন (অর্থাত্ এর -th মূল গ্রহণ করুন ) এবং তারপরে প্রতিস্থাপন করবেন । যাইহোক, সব অশূন্য আছে স্বতন্ত্র -th শিকড় : $Y_D(z)$ $z$ $z^{1/M}$ $z$ $Y_D(z)$ $z^{1/M}$ $M$ $z$ $X(z)$ $z \in \mathbb{C}$ $M$ $M$

{r_{p}, r_{p} e^{\frac{j 2 π}{M}}, r_{p} e^{\frac{j 2 π 2}{M}}, \dots, r_{p} e^{\frac{j 2 π (M - 1)}{M}}}

$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$

= {r_{p}, r_{p} W, r_{p} W^{2}, \dots, r_{p} W^{M - 1}}

$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$

যেখানে কে আপনার প্রশ্নের মধ্যে উল্লেখ করা ডিএফটি কার্নেল মান , এবং হ'ল জটিল মান মূল -th মূল হিসাবে আমি সংজ্ঞায়িত করেছি : $W_k$ $e^{j2\pi k / M}$ $r_p$ $M$ $z$

r_{p} = \sqrt[M]{| z |} e^{\frac{j ∠ z}{M}}

$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$

অর্থাৎ 'এর প্রধান -th রুট রূপান্তর দ্বারা প্রাপ্ত হয় পোলার ফর্মে গ্রহণ, এর -th রুট , এস মাত্রার (যা একটি বাস্তব সংখ্যার হয়) এবং বিভাজক' দ্বারা 'র কোণ । ফলাফলের মানগুলি মেরু আকারে প্রকাশ করে । $z$ $M$ $r_p$ $z$ $M$ $z$ $z$ $M$ $r_p$

কেন এই সব ঝামেলা? কারণ, যেমনটি আমি আগে উল্লেখ করেছি, এর ডোমেন থেকে এর ডোমেনে ম্যাপিং এক-এক-এক নয়। আমি এখন কিছু হাতের কাজ শুরু করব। যে কোনও নির্দিষ্ট মানের জন্য আপনি মূল্যায়ন করতে চান তার জন্য, সম্পর্কিত পয়েন্ট রয়েছে যা আপনি মানচিত্র করতে পারেন। সুতরাং, থাকা পয়েন্টগুলির এর সাথে সম্পর্কিত অবদান রাখে । তারপরে আপনি কাগজে প্রদর্শিত একই পরিমাণ যোগ করবেন: $Y_D(z)$ $X(z^{1/M})$ $z$ $Y_D(z)$ $M$ $X(z^{1/M})$ $M$ $X(z^{1/M})$ $Y_D(z)$

Y_{D} (z) = \frac{1}{M} \sum_{k = 0}^{M - 1} X (r_{p} (z) W^{k})

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$

যেখানে বোঝায় যে প্রিন্সিপাল -th মূল গণনাটি আমি আগে দেখিয়েছি। প্রকৃতপক্ষে, আপনি কোন বাছাই পারে 'এর প্রধান এক হিসাবে -th শিকড়; আমি এই সংজ্ঞাটি বেছে নিয়েছি কারণ এটি সবচেয়ে সোজা straight যদি তুমি ছিলে এই সম্পর্ক সঠিকভাবে এবং অক্ষরে অক্ষরে আহরণ করা, আমি বিশ্বাস ফ্যাক্টর কারণ একটি অমৌলিক এর আসে । $r_p(z)$ $M$ $z$ $M$ $\frac{1}{M}$ $z^{1/M}$

গণিতবিদ-ভাষায়, আমি বিশ্বাস করি এটি ফাংশনগুলির একটি রচনা হিসাবে উল্লেখ করা হবে; , যেখানে এবং । ফাংশন রচনাটি এবং কেবল ক্রিয়াকলাপ হিসাবে লেখার জন্য , আপনি এর এক-এক-এক অংশে , সেই এবং তারপরে যোগফলটি উপযুক্ত স্কেলিং কারণগুলির সাথে ফলাফল। মূল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পিডিএফ (উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত পিডিএফ প্রাপ্ত করার জন্য) একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কোনও ফাংশনের সম্ভাব্যতা বিতরণ ফাংশন গণনা করার আগে আমি এই কৌশলটি ব্যবহার করেছি $Y_D(z) = f(g(z))$ $f(z) = X(z)$ $g(z) = z^{1/M}$ $Y_D(z)$ $z$ $Y_D(z)$ $\sqrt{X}$ $X$ এর পিডিএফ), তবে কৌশলটির নামটি আমাকে এড়িয়ে চলে।

— জেসন আর
সূত্র

খুব সুন্দর উত্তর।

— স্পেসি

ধন্যবাদ। যে কোনও লাইসেন্সবিদ্ধ গণিতবিদ বর্ণনাতে আমার প্রয়াসে ক্রিংজ করতেন (আমি অবশ্যই প্রকৌশলী)। আমি মনে করি না এটি খুব স্পষ্ট, তবে সম্ভবত অন্য কেউ পরিষ্কার-পরিচ্ছন্নতার ব্যাখ্যা দিতে পারে, বা সম্ভবত আমি এটি বলার আরও ভাল উপায় নিয়ে ভাবব।

— জেসন আর

আমি প্রথমার্ধটি বুঝতে পারি, তবে জিনিসগুলি আমার পক্ষে শেষের দিকে ঝাপসা হয়ে যায়।

— স্পেসি

আমি যখন সুযোগ পাই তখন আমার দ্বিতীয়ার্ধটি আবার লিখতে হবে। এটি দুটি ফাংশনের সংমিশ্রণের জন্য একটি অভিব্যক্তি অর্জনের জন্য এটি কেবলমাত্র একটি স্ট্যান্ডার্ড কৌশল। এটি কীভাবে করা যায় তার বিশদ আমাকে স্মরণ করতে হবে।

— জেসন আর