ম্যাটল্যাব:

11

ম্যাটল্যাবে, fftএবং / অথবা ifftফাংশনগুলির ফলাফলগুলি বিশ্লেষণের জন্য বিবেচনার আগে প্রায়শই অতিরিক্ত প্রক্রিয়াজাতকরণের প্রয়োজন হয়।

সঠিকটি সম্পর্কে আমি বিভিন্ন মতামত শুনেছি:

আরোহী

ম্যাথওয়ার্কস জানিয়েছে যে fftএবং ifftকার্যগুলি নিম্নলিখিত সমীকরণের উপর ভিত্তি করে:
$\begin{aligned} X [k] & = \frac{1}{1} \cdot \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}$ $\begin{align} X[k] &= \frac{1}{1} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}}, \quad\textrm{where}\quad 1\leq k\leq N\\ x[n] &= \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq n\leq N \end{align}$
সংকেত দৈর্ঘ্য দ্বারা স্কেলিং

আমার পিয়াররা সাধারণত দ্বারা ডেটা স্কেল করে $\small \frac{1}{N}$ প্রসেসিংয়ের পরে অবিলম্বেfft ।
(fftস্কেলিংয়ের আগেআমরা কাঁচাডেটাবিবেচনা করি না))
```
%% ফুফিট সম্পাদন করুন

এক্স_এফ = ফুট (এক্স, এন_স্যাম্পল, 1) / এন_সাম্পল; 
ডেটাতে নমুনার সংখ্যা দ্বারা% fft অবশ্যই নরমাল করতে হবে।
এই কনভেনশনটি সফ্টওয়্যার বিকাশকারী (ম্যাথ ওয়ার্কস) দ্বারা সেট করা হয়েছিল।
```
এটা কি সঠিক?
1. যদি তা হয় তবে ম্যাটল্যাব ifftফাংশনটি কেন এমন প্রত্যাশা করে যে আমরা ইতিমধ্যে দ্বারা স্কেল করিনি ? $1/N$
2. এমন কোনও ম্যাটল্যাব ifftফাংশন বা ফাংশন বিকল্প রয়েছে যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে দ্বারা স্কেল হয় না ? $1/N$
বিকল্পভাবে, আরও ভাল কোন কনভেনশন রয়েছে যা আমাদের স্থাপনে ব্যবহার করা উচিত ? উদাহরণস্বরূপ, স্থাপন মধ্যে বদলে , অথবা একটি স্থাপন $1/N$ $1/N$ fftifft উভয় সমীকরণ, একটি পরিবর্তে? $1/\sqrt{N}$ $1/N$
স্যাম্পলিং পিরিয়ড দ্বারা স্কেলিং

আমি শুনেছি যে fftএবং ifftফাংশন অনুমান স্যাম্পলিং সময়ের , এবং ফাংশন সত্য হতে পারে জন্য, নিম্নলিখিত হবে যে প্রযোজ্য: $T_{\rm sampling} = 1/f_{\rm sampling} = 1$

\begin{aligned} X [k] & = \frac{1}{T_{s a m p l i n g}} \cdot \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{T_{s a m p l i n g}}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}

$\begin{align} X[k] &= \frac{1}{T_{\rm sampling}} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq k \leq N\\ x[n] &= \frac{T_{\rm sampling}}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad\textrm{where}\quad 1 \leq n \leq N \end{align}$

লিঙ্কগুলি দেখুন:

লিঙ্ক 1 (ডাঃ Seis দ্বারা ম্যাট Szelistowski মন্তব্য দেখুন)
লিংক 2 (ডঃ সিইসের বনাম রিক রসনের উত্তর দেখুন)
লিঙ্ক 3 (ম্যাট দ্বারা মন্তব্য দেখুন (বার্তা: 7/16) এবং পোরিয়ার মন্তব্য (14/16)
লিঙ্ক 4 (পৃষ্ঠা 10 দেখুন, স্লাইড [1,1] দেখুন)
লিঙ্ক 5 (পৃষ্ঠা 8-9 দেখুন) [মনে হচ্ছে তিনি ফুট এবং ইফফটের জন্য বিপরীত কনভেনশন ব্যবহার করছেন]।

এটা কি সত্য?

আমি বিশেষত স্পষ্ট হয়েছি কারণ আমি উইকিপিডিয়ায় কোনও ডিএফটি বা ডিটিএফটি সমীকরণ খুঁজে পাই না যার মধ্যে নমুনার সময়কাল অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

matlab fft ifft

— kando
সূত্র

2

বিটিডাব্লু, কান্ডো ঠিক যেমন এটি বলছে (ম্যাটল্যাব সহ):

কিন্তু আমি যে ম্যাটল্যাব এই hardwired সম্মেলন ডিসি বিন # 1 মধ্যে (অথবা ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানের প্রশস্ততা লাগাতে বলার আছে

বিন মধ্যে

)ড্রাইভ আমাকে যৌনসঙ্গম nutz !!!!

\begin{aligned} X [k] & = \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j 2 π (k - 1) (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j 2 π (k - 1) (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}

$\begin{align} X[k] &= \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (k-1)(n-1)}{N}}, \quad\textrm{where}\quad 1\le k\le N\\ x[n] &= \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j 2 \pi (k-1)(n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \le n\le N \end{align}$

k

$k$

k + 1

$k+1$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

6

1 / এন দ্বারা ফরোয়ার্ড এফএফটি স্কেল করা হবে কি না তার উপর নির্ভর করে আপনি আরও বিশ্লেষণের জন্য কোন ফলাফলটি চান: শক্তি (পার্সেভালের পরিচয় সংরক্ষণ করা), বা প্রশস্ততা (উচ্চতা বা ভোল্টগুলি পরিমাপ করা ইত্যাদি)।

আপনি যদি শক্তিটি পরিমাপ বা বিশ্লেষণ করতে চান তবে 1 / N দ্বারা স্কেল করবেন না এবং একই প্রশস্ততার দীর্ঘতর সাইনোসয়েড একটি দীর্ঘ এফএফটি ফলাফল আনবে, এটি দীর্ঘ সংকেতের বৃহত শক্তির সাথে আনুপাতিক।

কিছুটা সাধারণভাবে, যদি আপনি প্রশস্ততাগুলি পরিমাপ বা বিশ্লেষণ করতে চান তবে একটি সংক্ষিপ্ত সংকেত হিসাবে একই এফএফটি ফলাফলের জন্য আরও দীর্ঘতর সাইনোসয়েড (সঠিকভাবে একই প্রশস্ততায় আরও মোট শক্তি সহ) পেতে, আপনাকে নীচের অংশটি স্কেল করতে হবে দৈর্ঘ্যের আনুপাতিক অনুপাত দ্বারা FFT সমষ্টি। অনুপাতটি রেফারেন্স-লেন্থ / এন হতে পারে যা কখনও কখনও 1 / এন হয় যদি আপনি পরবর্তী বিশ্লেষণে ব্যবহার করার জন্য সময় অন্তর মাত্রা সহ যেকোন মাত্রা বা ইউনিটের জন্য সিস্টেম ইনপুট লাভ ১.০ হয়। আপনাকে আনুপাতিকভাবে কমিয়ে আনতে হবে কারণ একটি ডিএফটি হ'ল সমষ্টি: আপনি যত বেশি অনুরূপ আইটেম যোগ করবেন তত বড় ফলাফল।

So. শক্তি বা প্রশস্ততা। আপনি কোনটি চান?

এখন আপনি যদি ফরওয়ার্ড এফএফটি স্কেল করে থাকেন তবে আপনার বিপরীতটি স্কেল করা উচিত নয় যাতে আইএফএফটি (এফএফটি (এক্স)) == এক্স। বা বিপরীতে না।

স্কেলিংয়ের জন্য 1 / বর্গক্ষেত্র (এন) আমার কাছে মনে হয় হয় যখন কোনওটির প্রমাণের জন্য একটি আনুষ্ঠানিক প্রতিসাম্য প্রয়োজন হয় বা যখন কোনও ধরণের হার্ডওয়্যার পাইপলাইন তৈরি করতে হয় যেখানে ডিএফটি-র জন্য লেটেন্সি এবং / অথবা সংখ্যার গণিত ইউনিট / গেট থাকে এবং আইডিএফটি জন্য অভিন্ন হতে হবে। তবে আপনি কোনও সাধারণ ধরণের ইঞ্জিনিয়ারিং বিশ্লেষণের জন্য শক্তি বা প্রশস্ততার কোনও ভাল সরাসরি পরিমাপ পাবেন না।

— hotpaw2
সূত্র

1 / N

$1/N$

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt N$

1 / N

$1/N$

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt N$

অতিরিক্তভাবে, "ঠিক একই প্রশস্ত প্রশস্ততার সাথে আরও শক্তি দিয়ে" বলার সময় ... আপনি বরং "ফ্রিকোয়েন্সি" বলতে চাইবেন না?

— LCsa

7

$1/\sqrt{N}$ $1/N$ $1$

মন্তব্যটি

ডেটাতে নমুনার সংখ্যা দ্বারা% fft অবশ্যই নরমাল করতে হবে।
এই কনভেনশনটি সফ্টওয়্যার বিকাশকারী (ম্যাথ ওয়ার্কস) দ্বারা সেট করা হয়েছিল।

ভূল. কেউই বলে না যে আপনাকে অবশ্যই এফএফটির ফলাফলটি স্বাভাবিক করতে হবে । আপনি যদি চান তবে আপনি এটি করতে নির্দ্বিধায়।

$T$ $T$

\begin{matrix} (1) & X (\frac{2 π k}{N T}) \approx T \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n T) e^{- j 2 π k n / N}, 0 \leq k < N \end{matrix}

$X\left(\frac{2\pi k}{NT}\right)\approx T\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-j2\pi kn/N},\quad 0\le k< N\tag{1}$

$T$ $N$ $x(t)$ $X(\omega)$ $(1)$ $N$ $x(t)$ $T$ $x(t)$ $t\in [0,NT]$ । অবিচ্ছিন্ন সময় ফুরিয়ার রূপান্তর আনুমানিক জন্য DFT ব্যবহার সম্পর্কে আরও বিশদ এই উত্তর পাওয়া যাবে ।

— ম্যাট এল।
সূত্র

2

ডাউনটা কিসের জন্য? অনুগ্রহ করে মন্তব্য করুন.

— ম্যাট এল।

1

আমি সাধারণত গোপন ব্যালটে ভোট দিয়েছি, তবে এবার ব্যতিক্রম করব। ডিএফটি-র সাথে কী করা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে অবশ্যই অন্যদের চেয়ে "আরও ভাল" কনভেনশন রয়েছে। (তবে কোনও কনভেনশন সব পরিস্থিতিতেই অন্যদের চেয়ে ভাল নয় ))

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

5

বিশেষত যেহেতু এটি কনভেনশন সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন তাই আমি ম্যাটল্যাবের হাস্যকর কনভেনশনটিকে আরও শক্তিশালী করব না এবং কেবলমাত্র সঠিক এবং সঠিক সম্মেলন বা সম্মেলনের মাধ্যমে উত্তর দেব । অর্থাত্ ডিএফটি-র জন্য ম্যাটল্যাবের সূচকগুলি সঠিক এবং যথাযথ নয়, তবে তিনটি সাধারণ স্কেলিং কনভেনশনগুলির মধ্যে কোনটি সম্পর্কে আমি প্রায় বেশ অজ্ঞানী ic

$0 \le n < N$ $0 \le k < N$ $x[n]$ $N$ $X[k]$ $N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \quad\quad \forall \ n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \quad\quad \forall \ k \in \mathbb{Z}$

$x[n]$ $X[k]$

h [n] ⊛ x [n] ≜ \sum_{i = 0}^{N - 1} h [i] x [n - i] = \sum_{i = 0}^{N - 1} x [i] h [n - i]

$h[n] \circledast x[n] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} h[i] x[n-i] = \sum_{i=0}^{N-1} x[i] h[n-i]$

W [k] ⊛ X [k] ≜ \sum_{i = 0}^{N - 1} W [i] X [k - i] = \sum_{i = 0}^{N - 1} X [i] W [k - i]

$W[k] \circledast X[k] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} W[i] X[k-i] = \sum_{i=0}^{N-1} X[i] W[k-i]$

সুতরাং একের অধীনে একটি সম্মেলনের একমাত্র সুবিধা (উভয় সম্মেলন বৈধ বলে ধরে নেওয়া) কিছু তাত্ত্বিকতার প্রকাশের সরলতার বিষয়ে হতে পারে।

ডিএফটি-র জন্য সবচেয়ে সাধারণ স্কেলিং কনভেনশন:

\begin{aligned} D F T {x [n]} & ≜ X [k] ≜ \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ i D F T {X [k]} & ≜ x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

"সময় ডোমেন" এ বিজ্ঞপ্তি সমঝোতা সংক্রান্ত সরলতার সুবিধা রয়েছে

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = H[k] \cdot X[k]$

তবে আপনি যদি একটি "ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন" এ কনভোলভ করছেন তবে আপনাকে চিন্তিত হওয়ার একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর রয়েছে :

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = \frac{1}{N} \cdot w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{N} \cdot w[n] \cdot x[n]$

পার্সেভালের উপপাদ্যটি সম্পর্কেও চিন্তিত হওয়ার জন্য একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর রয়েছে।

\sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

এবং দ্বৈত উপপাদ্য:

D F T {X [n]} = N \cdot x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = N \cdot x[-k]$

i D F T {x [k]} = \frac{1}{N} \cdot X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = \frac{1}{N} \cdot X[-n]$

ডিএফটি-র জন্য অন্যান্য সাধারণ স্কেলিং সম্মেলন:

\begin{aligned} i D F T {X [k]} & ≜ x [n] ≜ \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \\ D F T {x [n]} & ≜ X [k] = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] \triangleq \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

$e^{j \omega_k n} \triangleq e^{j (2\pi k/N) n}$ $X[k]$ $x[n]$ $k$ $N$ $A$ $\Big|X[k]\Big| = \Big|X[-k]\Big| = \Big|X[N-k]\Big| = \frac{A}{2}$

এটিতে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে বিজ্ঞপ্তি সমঝোতা সংক্রান্ত আরও সরলতা রয়েছে

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = w[n] \cdot x[n]$

আপনি যদি সময় ডোমেনে কনভলভ করে থাকেন তবে আপনাকে চিন্তিত করতে হবে এমন একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর রয়েছে :

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = \frac{1}{N} \cdot H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{N} \cdot H[k] \cdot X[k]$

পার্সেভালের উপপাদ্যটি সম্পর্কেও চিন্তিত হওয়ার জন্য একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর রয়েছে।

\frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

এবং দ্বৈত উপপাদ্য:

D F T {X [n]} = \frac{1}{N} \cdot x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = \frac{1}{N} \cdot x[-k]$

i D F T {x [k]} = N \cdot X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = N \cdot X[-n]$

ঐকিক DFT জন্য স্কেলিং সম্মেলন জুড়ে তার বিপরীত এবং সংরক্ষণ শক্তি স্কেলিং মধ্যে অভিন্ন রুপান্তর বা বিপরীত রুপান্তর:

\begin{aligned} D F T {x [n]} & ≜ X [k] ≜ \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ i D F T {X [k]} & ≜ x [n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

পারেন মধ্যে সংবর্তন সময় ডোমেইন বা ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে সম্পর্কে চিন্তা করতে একই স্কেলিং ফ্যাক্টর আছে:

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot H[k] \cdot X[k]$

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot w[n] \cdot x[n]$

তবে পার্সেভালের উপপাদ্যের বিষয়ে চিন্তা করার কোনও স্কেলিং ফ্যাক্টর নেই।

\sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

দ্বৈত উপপাদ্যও নয়:

D F T {X [n]} = x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = x[-k]$

i D F T {x [k]} = X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = X[-n]$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

ডিএফটি কনভেনশন সম্পর্কে কথা বলার সময়, এটি কেবলমাত্র স্কেলিংয়ের কারণগুলির সম্পর্কে হয়, সূচীকরণ-ই-ইস্যু সম্পর্কে নয়। আপনি যদি ভেবেছিলেন যে আমি সূচকটি উল্লেখ করছি যখন আমি বলেছিলাম যে এটি সাধারণ ডিএসপি কনভেনশন, তবে এটি একটি ভুল বোঝাবুঝি ছিল। অবশ্যই আমি স্কেলিং উল্লেখ করেছি; সূচকটি সম্পূর্ণ অপ্রাসঙ্গিক, কারণ এটি ডিএফটি (এবং স্কেলিং) এর সংজ্ঞার সাথে কিছুই করার নেই ।

— ম্যাট এল।

এটি ম্যাটল্যাবে max(abs(X))কোনও ফ্যাশনাল শিখরটি কোথায় রয়েছে তা অনুসন্ধান করার জন্য আপনি ফাংশনটি ব্যবহার করেন এবং আপনি 1প্রত্যাবর্তিত সূচকটি থেকে বিয়োগ করতে ভুলে যান এবং আপনি এটিতে গণিত করতে পারবেন না এটি কোনও "অ-ইস্যু" নয় fucking এটি একটি সমস্যা। এবং যে একটি দু: খিত। সূচক উত্সের স্কেলিংয়ের মতো "ডিএফটি-র সংজ্ঞা " এর সাথে অনেক কিছুই রয়েছে । এটি কি বুককিপিং প্রয়োজন বা না তা করা দরকার।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

আমি হতে পারতাম, তবে এবার তা নয় :) তবে তবুও, আপনি যে সূচির সাথে যুক্ত হন তার সাথে আমি একমত নই, তবে আমি এটি ব্যক্তিগত বলেই প্রশংসা করি। আবার, কোনও ডাউনভোট নেই কারণ আপনি উত্তরটি দেওয়ার সময়টির প্রশংসা করি।

— ম্যাট এল।