একটি ergodic প্রক্রিয়া একটি ভাল উদাহরণ কি?

Question

আমি একটি এরগোডিক প্রক্রিয়াটির সহজ উদাহরণগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করছি। কোন প্রক্রিয়া এর বৈশিষ্ট্যগুলির একটি ভাল চিত্র হিসাবে আপনার মনে আসে?

একটি দ্রুত গবেষণা ( উইকিপিডিয়া , অন্য উত্তর ) মূলত নন-এর্গোডিক প্রক্রিয়ার উদাহরণ দেয়। এছাড়াও, আমি ভাবছি যে কোন আসল বিশ্বের ঘটনা নিজেকে এর্গোডিক প্রক্রিয়া হিসাবে মডেল করে তুলবে?

Answer 1

ধরুন আমি আপনাকে একটি ধারাবাহিক নম্বর দিচ্ছি এবং আমি আপনাকে বলি যে এগুলি এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়েছিল। এবং আপনি জানেন আমি আপনাকে ধোঁকা দেওয়ার চেষ্টা করছি না। নম্বরগুলি: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ ।

আমি এখন আপনাকে পরবর্তীটি ভবিষ্যদ্বাণী করার প্রস্তাব দিচ্ছি, বা কমপক্ষে যতটা সম্ভব সম্ভব হতে হবে। আপনি কোন নম্বরটি বেছে নেবেন?

[মনে]

[কম্পিউট]

• আমি বাজি ধরতে পারি পাঠকদের অধিকাংশ মধ্যে একটি সংখ্যা নির্বাচন করুন করার সম্ভাবনা বেশি $0$ এবং $6$ । সীমিত স্প্যানের কারণে।
• সম্ভবত একটি পূর্ণসংখ্যা কে প্রস্তাব দিতে পারে $\pi$ (এমনকি প্রথম সংখ্যাগুলির কথা চিন্তাও করে)?
• সম্ভবত $2$ , $3$ , বা $4$ । এমনকি $3$ ।

মূলত, আপনি ধরে নিচ্ছেন যে আমি কিছু অজানা নিয়ম সহ নম্বর সরবরাহ করেছি। এবং সম্ভবত, আপনি ভাবতে পারেন (বা হাইপোথিসিস তৈরি করুন) যে প্রদত্ত সংখ্যার ধারাবাহিকতা, যদি যথেষ্ট দীর্ঘ হয় তবে আপনাকে আমার যে নিয়মগুলি মনে আছে সেগুলি সম্পর্কে ভাল ধারণা প্রদান করতে পারে। আপনি যদি তা করেন, তবে আপনি অনুমান করে থাকেন যে আমার মানসিক প্রক্রিয়াটি হ'ল:

এমন একটি প্রক্রিয়া যাতে প্রতিটি ক্রম বা আকারের নমুনা সম্পূর্ণরূপে সমান প্রতিনিধিত্ব করে (কোনও পরিসংখ্যানগত প্যারামিটারের ক্ষেত্রে) ( মেরিয়াম-ওয়েবস্টার )

এখানে, আমার সিরিজটি একটি ইরগোডিক প্রক্রিয়া অনুসরণ করে তা নিশ্চিত হওয়ার কোনও উপায় নেই। 3432 হ'ল আমার কার্ড পিন, 3 টি ভুল (আমি উদ্দেশ্য 6, কিন্তু আমি আনাড়ি), 4, 3, 1 এবং 5 প্রথম সংখ্যা $\pi$ যা আমি প্রায়শই ব্যবহার করি। আমার পরবর্তী "নম্বর" সি (হেক্সাডেসিমাল) হত। আমি বিশ্বাস করি না যে এই প্রক্রিয়াটি উদীয়মান। প্রতিটি সংখ্যা বিভিন্ন আইন থেকে বেরিয়ে আসে। তবে সত্যি কথা, আমি জানি না। হতে পারে আমি কিছু উচ্চতর অর্ডার ফোর্সের অধীন যা আমাকে ধর্মীয় নিয়মের অধীনে চালিত করে।

সুতরাং, এরগডিসিটি প্রক্রিয়াটির নিয়মগুলিতে এক ধরণের "সরলতা" এর একটি অনুমান। স্টেশনারিটি বা স্পারসিটির মতো। $6$ মুখ দিয়ে নিয়মিত ডাই কাস্ট করুন । একটি সাধারণ মুদ্রা টস যদি বাইরের কোনও কিছুই ফলাফলকে প্রভাবিত করার চেষ্টা না করে (একটি অদৃশ্য প্রাণী যা মরে যায় এবং তার পছন্দমতো কিছু চেহারা দেখায়), আপনি সম্ভবত একটি অরগডিক প্রক্রিয়া তৈরি করতে পারেন।

আপনার অসীম সংখ্যার থাম্বগুলির সাথে একই সেকেন্ডে যথাযথভাবে টস করতে সক্ষম হওয়ার পরিবর্তে, আপনি প্রতি সেকেন্ডে একটি কয়েন টস করেন এবং বিশ্বাস করেন যে চূড়ান্ত ফলাফলটি একই।

ব্রাউনিয়ান গতিতে অহংকারিক বৈশিষ্ট্যও রয়েছে।

Comments

আমি আপনার উদাহরণের পরবর্তী নম্বরটি সত্যিই বলতে পারি না can't এটা হতে পারে বা 6 যেমন এটা হতে পারে যতটা 7 , 898,52 বা অন্য কোন সংখ্যা। প্রক্রিয়া সম্পর্কে আমার কোনও জ্ঞান নেই এবং সংখ্যাগুলি সময় মতো সমানভাবে ব্যবধানে থাকলেও ... প্রক্রিয়াটি যদি অরগডিক হয় বা না হয় তবে পর্যবেক্ষণ করে আমি সিদ্ধান্তে আসতে পারি না। এই 3 টি একই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা হলে কে জানে ? হতে পারে আপনি প্রতিবার একটি ডাই রোল এবং 6 টি বিভিন্ন সিরিজের মধ্যে একটি নম্বর নির্বাচন করুন ...$0$$6$$7$$898.52$$3$$6$

— এমএসএম

Answer 2

উইকিপিডিয়া নিবন্ধ থেকে:

কোনও স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি অহংকারী হিসাবে বলা হয় যদি এর পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রক্রিয়াটির একক, পর্যাপ্ত দীর্ঘ, এলোমেলো নমুনা থেকে বিয়োগ করা যায়।

অন্য কথায়: সময়-জমায়েত পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি বাস্তবায়ন-সংগৃহীত পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলির সমান।

সম্ভবত আমাদের একটি পদক্ষেপ ফিরে নেওয়া উচিত এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া কী তা নিয়ে কথা বলা শুরু করতে।

এটি একটি ঝড়ো দিন মনে করুন। আপনি বাড়িতে বসে উইন্ডোটি দেখুন। কখনও কখনও, আপনি দেখতে পান আপনার উইন্ডো দ্বারা প্রস্ফুটিত। আপনি আপনার হোয়াইটবোর্ড চিহ্নিতকারীগুলি পান এবং আপনার উইন্ডোতে একটি সমন্বিত সিস্টেম আঁকেন, যাতে আপনি এখন একাধিক পাতাগুলি পর্যবেক্ষণ করতে পারেন এবং তাদের তুলনা করতে পারেন:

সুতরাং, প্রতিটি পথ হ'ল "ঝড়ের দিনে লিফপথগুলি" স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির একটি উপলব্ধি ।

$y$$x$

$x$$y$$x$

Comments

চমৎকার দৃষ্টান্ত! যদি কেবলমাত্র একটি উপলব্ধি পরীক্ষা করে অন্য ফলাফল দেয়? তাহলে কি এরগডিক নয়? এবং এই ক্ষেত্রে সংজ্ঞাটি সময়-পোশাকের আকারের উপর নির্ভর করে না? হতে পারে এটি যথেষ্ট দীর্ঘ যা আমাকে বিভ্রান্ত করছে।

— bluenote10

Answer 3

নন-এর্গোডিক কেসটি বোঝার জন্য সাধারণত এটি আরও বেশি কঠিন (সে কারণেই লোকেরা প্রায়শই এই জাতীয় প্রক্রিয়াগুলির উদাহরণ সন্ধান করে)।

$X(t)$পুনরাবৃত্তি মুদ্রা উল্টানো উপস্থাপন। প্রতিটি সময়$t$, আমাদের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল আছে $X$ যে মধ্যে নির্বাচন করতে পারেন $0$ অথবা $1$। যদি এটি একটি ন্যায্য মুদ্রা হয়, তবে অন্তর্ভুক্ত মানে$\frac{1}{2}$ যেহেতু দুটি সম্ভাবনা সমৃদ্ধযোগ্য।

এখন আপনি যদি এই ট্রায়ালটি আবার প্রচুর পরিমাণে পছন্দ করেন $N$ এবং তারপরে সময় গড় গণনা করুন $m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$, তাহলে আপনি এটি দেখতে পারেন $m\to \frac{1}{2}$। সুতরাং, নকশা করা গড়টি সময় গড়ের সমান এবং প্রক্রিয়াটি অহংকারযুক্ত।

আপনার প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশ সম্পর্কে, আমরা সমস্যাগুলি সহজ করার জন্য অহংকার ব্যবহার করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, সংগ্রহের গড় গড় এবং সময়ের গড় সময়ের মধ্যে গণনা করা (বা সিমুলেট করা) কঠিন বা এমনকি অসম্ভব হতে পারে। তবে যেহেতু আমরা জানি (বা ধরে নিই) প্রক্রিয়াটি ইরগোডিক (যেমন তারা অভিন্ন) তাই আমরা কেবল একটি সহজ গণনা করি। উদাহরণস্বরূপ, আমি মন্টি কার্লো পদ্ধতিগুলি (যেমন আমরা একটি যোগাযোগ ব্যবস্থার ত্রুটি সম্পাদনের মডেল হিসাবে ব্যবহার করি) এর কথা ভাবতে পারি যেখানে আমরা সংক্রমণ-সংবর্ধনা শৃঙ্খলা অনুকরণ করি এবং এটি বেশ কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করি এবং ফলাফলগুলি নির্ধারণের জন্য গড় গড় করি সমষ্টিগত বৈশিষ্ট্য (ত্রুটির সম্ভাব্যতা ইত্যাদির মতো)