গাউসের পার্থক্য, গাউসির ল্যাপ্লেস এবং মেক্সিকান হাট ওয়েভলেটের মধ্যে পার্থক্য কী?

Question

সিভিতে তিনটি কৌশল ব্যবহৃত হয়েছে যা একে অপরের সাথে খুব মিল বলে মনে হয় তবে সূক্ষ্ম পার্থক্য সহ:

• গাউসির ল্যাপ্লাসিয়ান:$\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• গাউসিয়ানদের পার্থক্য:$\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• রিকার সাথে :$\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

যেহেতু আমি এটি বর্তমানে বুঝতে পারি: ডিওজি হ'ল এলওজি অনুমানের। উভয়ই ব্লব সনাক্তকরণে ব্যবহৃত হয় এবং উভয়ই ব্যান্ড-পাস ফিল্টার হিসাবে প্রয়োজনীয়ভাবে সম্পাদন করে। মেক্সিকান হাট / রিকার তরঙ্গমিশ্রণের সাথে রূপান্তরটি খুব একই প্রভাব অর্জন করেছে বলে মনে হয়।

আমি একটি পালস সিগন্যালে তিনটি কৌশল প্রয়োগ করেছি (তাত্পর্যটি একইরকম হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় স্কেলিং সহ) এবং ফলাফলগুলি খুব ঘনিষ্ঠ হয়। প্রকৃতপক্ষে, এলওজি এবং রিকার প্রায় একই রকম দেখায়। আমি কেবলমাত্র আসল পার্থক্যটি লক্ষ্য করেছি ডগের সাথে, আমার কাছে লোজি এবং রিকারের জন্য টিউন করার জন্য 2 টি ফ্রি প্যারামিটার ছিল ( এবং ) বনাম 1। আমি এটিও পেয়েছিলাম যে তরঙ্গটিটি সবচেয়ে সহজ / দ্রুততম ছিল, কারণ এটি কোনও একক সমাবর্তন (কোনও কর্নেলের এফটি দিয়ে ফুরিয়ার স্পেসে গুণনের মাধ্যমে করা) বনাম 2-এর জন্য, এবং এলওজি-র জন্য একটি কনভলিউশন প্লাস একটি ল্যাপ্লেসিয়ান দিয়ে করা যেতে পারে। σ $\sigma_1$$\sigma_1$

• প্রতিটি প্রযুক্তির তুলনামূলক সুবিধা / অসুবিধাগুলি কী কী?
• বিভিন্ন ব্যবহারের কেস রয়েছে যেখানে একজন অপরটিকে ছাড়িয়ে যায়?

আমারও স্বজ্ঞাত ধারণা রয়েছে যে পৃথক নমুনাগুলির উপর, এলওজি এবং রিকার একই ক্রিয়ায় অধঃপতিত হয়, যেহেতু কার্নেল হিসাবে ।[ - 1 , 2 , - 1$\nabla^2$

$$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$$

গাউসিতে সেই অপারেশন প্রয়োগ করা রিকার / হাট তরঙ্গলেটের উত্থান দেয়। তদতিরিক্ত, যেহেতু এলওজি এবং ডওজি তাপ বিস্তারের সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত, তাই আমি মনে করি যে আমি উভয়কেই পর্যাপ্ত প্যারামিটারের সাথে মিলিয়ে ফেলতে পারি।

(আমি এখনও এই জিনিসগুলির সাথে আমার পা ভিজিয়ে নিচ্ছি এগুলির কোনওটি সংশোধন / স্পষ্ট নির্দ্বিধায়!)

Answer 1

গাউসির ল্যাপ্লেস

গসিয়ান এর Laplace (লগ) ইমেজ হিসেবে লেখা যেতে পারে$f$

$$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$$

সঙ্গে গসিয়ান কার্নেল ও সংবর্তন। অর্থাৎ গাউসিয়ান কার্নেল দ্বারা ছড়িয়ে দেওয়া চিত্রটির ল্যাপ্লেসটি গাউসিয়ান কর্নেলের ল্যাপ্লেসের সাথে মিলিত চিত্রটির সাথে সমান। এই সমঝোতাটিকে আরও 2 ডি ক্ষেত্রে বিস্তৃত করা যেতে পারে$g$$*$

$$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$$

সুতরাং, গাউসিয়ান কার্নেলের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভসের সাথে ইনপুট চিত্রের দুটি কনভোলিউশন যুক্ত হিসাবে এটি গণনা করা সম্ভব (3 ডি তে এটি 3 টি কনভোলিউশন ইত্যাদি)। এটি আকর্ষণীয় কারণ গাউসিয়ান কার্নেল পৃথক পৃথক, যেমন এর ডেরাইভেটিভগুলিও রয়েছে। এটাই,

$$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$$

এর অর্থ যে 2 ডি কনভোলিউশনের পরিবর্তে আমরা দুটি 1 ডি কনভোলিউশন ব্যবহার করে একই জিনিসটি গুণতে পারি। এটি প্রচুর গণনা সংরক্ষণ করে। ক্ষুদ্রতম বিবেচ্য গাউসিয়ান কার্নেলের জন্য আপনার প্রতিটি মাত্রার সাথে 5 টি নমুনা থাকবে। একটি 2 ডি কনভ্যুশনের 25 টি গুণ এবং সংযোজন প্রয়োজন, দুটি 1 ডি কনভোলশনের জন্য 10 প্রয়োজন।

সুতরাং, এলওজি চারটি 1 ডি কনভোলিউশন ব্যবহার করে গণনা করা যায়। নিজেই এলওজি কার্নেলটি পৃথক নয়।

$\nabla^2$

রিকার ওয়েভলেট বা মেক্সিকান টুপি অপারেটর স্কেলিং এবং নরমালাইজেশন পর্যন্ত, লো এর সাথে অভিন্ন ।

গাউসিয়ানদের পার্থক্য

$f$

$$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$$

সুতরাং, ঠিক যেমন এলওজি-র সাথে, ডোগিকে একক নন-বিচ্ছেদযোগ্য 2 ডি কনভোলিউশন বা দুটি পৃথক পৃথক কনভোলিউশনের যোগফল (এই ক্ষেত্রে পার্থক্য) হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটিকে দেখে, দেখে মনে হচ্ছে এলওজি-র উপরে ডোগিকে ব্যবহার করার মতো কোনও গণ্য সুবিধা নেই। তবে, ডিজি একটি টিউনযোগ্য ব্যান্ড-পাস ফিল্টার, এলওজি একইভাবে সুরযুক্ত নয়, এবং এটি ডেরিভেটিভ অপারেটর হিসাবে দেখা উচিত। স্কোর-স্পেস সেটিংয়ে ডওজিও প্রাকৃতিকভাবে উপস্থিত হয়, যেখানে চিত্রটি অনেকগুলি স্কেলগুলিতে ফিল্টার করা হয় (বিভিন্ন সিগমাসহ গৌসিয়ানরা), পরবর্তী স্কেলের মধ্যে পার্থক্যটি একটি ডগ হয়।

ডিওজি কার্নেলের সাথে একটি পৃথকীকরণ রয়েছে যা পৃথকযোগ্য, গণনা ব্যয়কে অর্ধেক করে কমাতে পারে, যদিও এটি সীমাবদ্ধতা আইসোট্রপিক নয়, ফলে ফিল্টারটির ঘূর্ণন নির্ভরতা বাড়ে।

আমি একবার (নিজের জন্য) এলওজি এবং ডজির সমতুল্যতা প্রদর্শন করেছিলাম, এমন কোনও ডোগির জন্য যেখানে দুটি গাউসীয় কার্নেলের মধ্যে সিগমার পার্থক্য অসীম স্বল্প (স্কেলিং পর্যন্ত)। আমার এর রেকর্ড নেই, তবে এটি দেখাতে অসুবিধা হয়নি।

এই ফিল্টারগুলি গণনা করার অন্যান্য রূপ

লরেন্টের উত্তরে পুনরাবৃত্ত ফিল্টারিংয়ের কথা উল্লেখ করা হয়েছে এবং ওপি ফুরিয়ার ডোমেনে গণনার উল্লেখ করেছে। এই ধারণাগুলি এলওজি এবং ডওজি উভয়ের জন্যই প্রযোজ্য।

গসিয়ান এবং তার ডেরাইভেটিভস একটি কার্যকারণ এবং অ্যান্টি-কার্যকারণ IIR ফিল্টার ব্যবহারের নির্ণিত করা যেতে পারে। সুতরাং উপরে উল্লিখিত সমস্ত 1 ডি কনভোলিউশনগুলি সিগমা স্থির সময়ের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে এটি কেবল বৃহত্তর সিগমাসের জন্য দক্ষ।

তেমনি, ফুরিয়ার ডোমেনে কোনও কনভলিউশন গণনা করা যায়, তাই ডওজি এবং লোজি 2 ডি কার্নেল উভয়ই ফুরিয়ার ডোমেনে রূপান্তরিত হতে পারে (বা সেখানে গণনা করা যাবে) এবং গুণ দ্বারা প্রয়োগ করা যেতে পারে।

উপসংহারে

এই দুটি পদ্ধতির গণ্য জটিলতায় কোনও উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই। ডোগ ব্যবহার করে লোজি আনুমানিক করার জন্য আমার কাছে এখনও কোনও ভাল কারণ খুঁজে পাওয়া যায়নি।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর! আমি এটি নতুন উত্তর হিসাবে আপডেট করতে যাচ্ছি, লরেন্টের উত্তরটি ভুল বা অসম্পূর্ণ নয়, তবে আপনি এক বছরের পুরানো উত্তর প্রশ্নের উত্তরে দ্বিতীয় দৃষ্টিকোণ যুক্ত করতে সময় নিয়েছিলেন।

— DeusXMachina

"ছাল" স্কেলে ডোজ এবং এলওজি মিলিত হয়

— লরেন্ট ডুভাল

Answer 2

রিকার ওয়েভলেট, (আইসোট্রপিক) মার ওয়েভলেট, মেক্সিকান টুপি বা গাউসিয়ানদের ল্যাপ্লাসিয়ান একই ধারণা সম্পর্কিত: ক্রমাগত গ্রহণযোগ্য ওয়েভলেট (কিছু শর্ত সন্তুষ্ট করে)। Ditionতিহ্যগতভাবে, রিকার তরঙ্গটি 1D সংস্করণ। মার ভ্যাবলেট বা মেক্সিকান টুপি 2D চিত্রের ক্ষয়গুলির প্রসঙ্গে দেওয়া নাম, আপনি উদাহরণস্বরূপ মাল্টিস্কেল জ্যামিতিক উপস্থাপনাগুলির উপর একটি প্যানোরামা বিভাগের অন্তর্নির্মিত স্থানিক, দিকনির্দেশক এবং ফ্রিকোয়েন্সি নির্বাচন , সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, 2011, এল জ্যাক এট বিবেচনা করতে পারেন অল। গাউসির ল্যাপ্লেসিয়ান হ'ল বহুমাত্রিক সাধারণীকরণ।

যাইহোক, অনুশীলনে, লোকেরা বিভিন্ন স্তরে বিভিন্ন ধরণের বিচক্ষণতা গ্রহণ করে।

$3\times 3$$3\times 3$

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ $5\times 5$

$\sigma_1$$\sigma_2$

উদাহরণস্বরূপ, কিছু ল্যাপলাসিয়ান পিরামিডগুলিতে অন্যান্য অনুপাত ব্যবহার করা হয়েছে, যা ডজিকে আরও জেনেরিক ব্যান্ডপাস ফিল্টার বা এজ ডিটেক্টরগুলিতে পরিণত করে।

শেষ রেফারেন্স: জেনারালাইজড স্কেল-স্পেস ইন্টারেস্ট পয়েন্টস , টি। লিন্ডবার্গ, 2015 ব্যবহার করে চিত্রের মিল ।

Comments

খুব আলোকিত, ধন্যবাদ! সুতরাং এটি দ্রুত গাউসিয়ান স্মুথিংয়ের মতো শোনাচ্ছে যে ডজির গণ্য সুবিধা রয়েছে যে এটি সরাসরি স্থানিক ডোমেনে করা যেতে পারে, তাই আমি কল্পনা করি, যেমন, সিসিডি / ইন্টিগ্রেটেড কম্পিউটার ভিশনের জন্য অন-চিপ সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণ। এছাড়াও, একটি প্যানোরামা সামগ্রিকভাবে দুর্দান্ত পড়ার মতো দেখাচ্ছে, ধন্যবাদ!

— DeusXMachina

দ্রুত সান্নিধ্যের সাথে, আপনি প্রকৃতপক্ষে

— লরেন্ট ডুভাল

অনুপাত 1.6 কোথা থেকে আসে? আপনি যদি গণিতটি লেখেন তবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সিউমার (স্কেলিং অবধি) সিগমায় অসীম পার্থক্যের সাথে গাউসের দ্বিতীয় উত্পন্নকরণ এবং গাউসের পার্থক্যের মধ্যে একটি সঠিক সমতা রয়েছে।

— ক্রিস লুয়েংগো

১৯৮০ সালের মার্চ এবং হিলড্রেথের পরিশিষ্ট বি থেকে তারা ব্যান্ডউইদথ এবং সংবেদনশীলতার মধ্যে ট্রেড অফ দিয়ে মেরিট কার্ভের উপর ভিত্তি করে প্রস্থের অনুপাতের ভিন্নতার সাথে একে "সেরা ইঞ্জিনিয়ারিং অনুমান" বলে আখ্যায়িত করেছেন। আমি ডেলফ্টের লোকেরা অতীতে একই নামের সাথে কিছু কাজ করেছি। কাকতালীয়?

— লরেন্ট ডুভাল

@ লরেন্টডুওয়াল: আমি ডেলফটে পিএইচডি করেছি। আফাইক, আমার নামটি সহ অন্য কোনও লোক নেই। সংবেদনশীলতা এবং ব্যান্ডউইথের উপর ভিত্তি করে আপনি কীভাবে একটি (বিষয়গত) সর্বোত্তম অর্জন করতে পারেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি। অনুপাতটি খুব কম হলে, প্রতিক্রিয়া খুব কম, সম্ভবত অন্য যে কোনও কিছুর চেয়ে বিবেচ্য শব্দের উপর বেশি নির্ভরশীল; যদি অনুপাতটি খুব বেশি হয় তবে এটি কোনও আকর্ষণীয় ফিল্টার নয়। বোধ হয়। ধন্যবাদ!

— ক্রিস লুয়েংগো