ঘন স্প্লাইন আন্তঃপলনটি কখন একটি ইন্টারপোলটিং বহুভুক্তের চেয়ে ভাল?

Question

নিম্নলিখিত প্লটটি একটি পাঠ্য বইয়ের একটি উদাহরণের সামান্য প্রকরণ। লেখক এই উদাহরণটি উদাহরণস্বরূপ ব্যবহার করেছেন যে সমান ব্যবধানযুক্ত নমুনাগুলির উপর একটি ইন্টারপোলটিং বহুবর্ষটি ইন্টারপোলটিং ব্যবধানের শেষের নিকটে বড় দোলনা থাকে। অবশ্যই কিউবিক স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন পুরো বিরতিতে একটি ভাল অনুমান দেয়। বছরের পর বছর ধরে, আমি ভেবেছিলাম যে এখানে উচ্চারণের কারণে সমান দূরত্বে থাকা নমুনাগুলির চেয়ে বহুগুণীয় বিরক্তি এড়ানো উচিত here

যাইহোক, আমি সম্প্রতি ব্যান্ডলিমিটেড সিগন্যালের অনেকগুলি উদাহরণ পেয়েছি যেখানে হাই-অর্ডার ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়াল কিউবিক-স্প্লাইন ইন্টারপোলেশনের চেয়ে কম আনুমানিক ত্রুটি দেয়। সাধারণত একটি ইন্টারপোলটিং বহুভুজ পুরো ইন্টারপোলটিং ব্যবধানের চেয়ে বেশি নির্ভুল যখন নমুনার হার পর্যাপ্ত পরিমাণে বেশি থাকে। যখন সংকেতগুলির Nyquist ফ্রিকোয়েন্সি থেকে কমপক্ষে 3 গুণ বেশি নমুনাগুলি একটি নমুনা হারের সাথে সমানভাবে ব্যবধানে থাকে তখন এটি ধরা পড়ে to তদতিরিক্ত, কিউবিক স্প্লাইন অন্তরঙ্গ উপর সুবিধা (নমুনা হার) / (Nyquist ফ্রিকোয়েন্সি) বৃদ্ধি হিসাবে উন্নত।

উদাহরণ হিসাবে, আমি 2 Hz এর Nyquist ফ্রিকোয়েন্সি সহ সাইন ওয়েভের জন্য একটি ইন্টারপোলটিং বহুবর্ষের সাথে কিউবিক-স্প্লাইন আন্তঃবিভাজন এবং 6.5 হার্জের নমুনা হারের সাথে তুলনা করি। নমুনা পয়েন্টগুলির মধ্যে, ইন্টারপোলটিং বহুভুজটি প্রকৃত সংকেতের মতো দেখতে একই রকম লাগে।

---

নীচে আমি দুটি অনুমানের মধ্যে ত্রুটিটি তুলনা করি। প্রথম উদাহরণ হিসাবে, বহুবর্ষীয় অন্তরোলন নমুনার ব্যবধানের শুরু এবং শেষের নিকটে সবচেয়ে খারাপ আচরণ করে। যাইহোক, আন্তঃপোল্টিং বহুপদী পুরো নমুনা ব্যবধানের উপর একটি ঘন স্প্লিনের চেয়ে কম ত্রুটি রয়েছে। একটি ছোট ব্যবধানে এক্সট্রাপোলটিং করার সময় ইন্টারপোলটিং বহুভুজটিতেও ত্রুটি কম থাকে। আমি কি একটি সুপরিচিত সত্য আবিষ্কার করেছি? যদি তা হয় তবে আমি এটি সম্পর্কে কোথায় পড়তে পারি?

Comments

আপনি কি কোনও সূত্র বা ডেটা অনুমান করছেন? আপনার মত একটি সূত্র দেওয়া, আপনি সর্বদা আরও উন্নত স্প্লাইন ব্যবহার করতে পারেন যেখানে উচ্চতর অর্ডার ডেরাইভেটিভগুলিও বিবেচনায় নেওয়া হয়। আপনি কিউবিক স্প্লাইন একটি নির্দিষ্ট "শক্তি" ফাংশন ন্যূনতম করে তা পরীক্ষা করে দেখুন। উইকিপিডিয়া en.wikedia.org/wiki/Spline_interpolation দেখুন । সুতরাং একটি নির্দিষ্ট অর্থে, বক্রতা হ্রাস, আপনি আরও ভাল করতে পারবেন না। একটি বিকল্প ব্যাখ্যা হ'ল কিউবিক স্প্লাইটিং ফিটিংয়ের জন্য / ব্যবহৃত হয়েছিল; মোটামুটি নয় "ফিটিং" অপটিমাইজড হওয়ার জন্য একটি নির্দিষ্ট মেট্রিককে বোঝায়।

— রাজাররা 19

@ আরোগার্স, আমি ভাবছিলাম একটি ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়ালটি আরও ভাল পদ্ধতির হতে পারে যখন কেউ পরিমাপক নমুনাগুলি থেকে ফাংশনটি অনুমান করতে চায় এবং সিগন্যালের ব্যান্ডউইথটি নমুনা হারের 1/6 এর চেয়ে কম বলে জানা যায়। এটি

— টেড এর্সেক

@ টেডারসেক: একটি গুণগত বিবেচনা: তাদের প্রকৃতির দ্বারা, বহুপদী ফাংশনগুলি অন্যদিকে পরিবর্তিত হয় $\pm \infty$ অ্যাবসিসা ভেরিয়েবল হিসাবে $\to \infty$। বহুবর্ষীয় ক্রম বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে এই প্রভাবটি আরও তীব্র হয়। মনে রাখবেন যে আপনার প্রথম উদাহরণে, সংক্ষেপিত হওয়ার সংকেতটি বিরতি বিরতির বিরতিতে শূন্যে ক্ষয় হচ্ছে; এটি ইন্টারপোল্যান্টের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের সাথে বেমানান। দ্বিতীয় প্লটটির একটি খাড়া opeাল এবং নূভেরো মানগুলি বিরতির কিনারার কাছাকাছি রয়েছে, সুতরাং আপনি আরও ভাল আনুমানিক পেতে পারেন। এখানে খুব তাত্ত্বিক নয়, কেবল একটি পর্যবেক্ষণ।

— জেসন আর

@ টেডারসেক টেড এরস্কের মন্তব্যকে সম্বোধন করার পক্ষে ব্যবহারিক হিসাবে; আপনি কি যৌক্তিক বহুপদী প্রায় অনুমান করার চেষ্টা করেছেন? বিটিডাব্লু: আমার কাছে এক বছর আগে থেকে একটি বক্র সূত্র অনুমানের প্রোগ্রামের ফ্রি অনুলিপি রয়েছে যা সত্যিই বেশ ভাল করে। প্রোগ্রামটি বিটা থেকে পেমেন্টে চলে গেছে তাই আমার কাছে বর্তমান সংস্করণ নেই।

— এজেগাররা

@ জেসনআর আমি আপনাকে আমার শেষ মন্তব্যটি সম্বোধন করেছিলাম। বিষয়ে ফিরে যান, যাই হোক, আছে en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials যা polynomials মধ্যে অভিন্ন ত্রুটি (মিনিট / সর্বোচ্চ) apporximations প্রদান আপনি ফাংশন জানি। তবে আপনি যদি ফাংশনটি জানেন তবে আপনি সর্বদা একটি "মিলে যাওয়া ফিল্টার" সংশ্লেষ করতে পারেন।

— রানার্স

Answer 1

যে ঘটনাটি আলোচিত তা হ'ল রঞ্জের ঘটনা ।

এর সর্বোচ্চ পরম মান $n$এর ডেরাইভেটিভ $\sin(\omega t)$ হয় $\omega^n$। জন্য Runge এর ফাংশন $\frac{1}{25t^2+1}$ এর সর্বোচ্চ পরম মান $n$ম (সম) ডেরাইভেটিভ হয় $5^nn!,$ কোথায় $n!$বর্ণনামূলক বোঝায়। এটি অনেক দ্রুত বৃদ্ধি। ডেরিভেটিভসগুলি বৃদ্ধি করে খুব দ্রুত বাড়লে কেবলমাত্র$n$, তবে এটি সম্ভব যে ইন্টারপোলেশন ক্রমটি প্রবৃদ্ধি ক্রম বাড়ানোর সাথে সাথে পৃথকীকরণের ত্রুটিটি বিভক্ত হয়ে যায়। সূচকীয়$n$এখনও খুব দ্রুত হয় না। এক নজরে দেখুন: জেমস এফ। এপ্সারসন, দ্য রঞ্জ উদাহরণ , আমেরিকান গণিত মাসিক , খণ্ড 94, 1987, পিপি 329-341।

যদি কোনও ফাংশনটিতে কেবল অবিচ্ছিন্ন ডেরিভেটিভ থাকে তবে প্রতিযোগিতামূলক পদ্ধতির টুকরা অনুসারে বহুভুজের স্প্লাইন ইন্টারপোলেশন সর্বদা রূপান্তরিত হয় যদি এর প্রাথমিক ডেরিভেটিভগুলির একটি ছোট নির্দিষ্ট সংখ্যার আগ্রহের ব্যবধানের সাথে আবদ্ধ থাকে, উদাহরণ হিসাবে লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি দেখুন ।

যদি উভয় পদ্ধতি একত্রিত হয়, তবে (নন-পিসওয়াইজ) বহুভিত্তিক ইন্টারপোলেশনটিতে উচ্চতর বহুবর্ষীয় ডিগ্রির সুবিধা রয়েছে যদি অনেকগুলি নমুনা ব্যবহার করা হয়, এবং আপনি যেমন সাইন উদাহরণটিতে দেখেছিলেন তেমন একটি আরও ভাল অনুমানের ব্যবস্থা করতে পারে। আপনি এলএন ট্রেফেথনেও আগ্রহী হতে পারেন, সমান দুরত্বের পয়েন্টগুলিতে বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গকরণের দুটি ফলাফল , জার্নাল অফ অ্যাপ্রোসিমেশন থিওরি ভলিউম 65, সংখ্যা 3, 1991, পৃষ্ঠা 247-260। উদ্ধৃতি:

জটিল ... $e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$ ত্রুটি কমে যায় $0$ যেমন $n \to \infty$ যদি এবং কেবল যদি $\alpha$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যে কমপক্ষে ছয় পয়েন্ট সরবরাহ করতে যথেষ্ট ছোট।

আপনার কাছে তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের 6.5 নমুনা রয়েছে।