এই মাইরি প্যাটার্নটি কেন এমন দেখাচ্ছে?

আমি মতলব-এ মোবিয়াস ট্রান্সফর্মেশনগুলি তৈরি করছিলাম এবং কিছু অদ্ভুত নিদর্শন প্রদর্শিত হতে শুরু করল। আমি নিশ্চিত নই যে এই ঘটনাটি বোঝার জন্য ফাইল টাইপ / অ্যালগরিদম সম্পর্কে গভীর জ্ঞান প্রয়োজন কিনা তবে আমি ভেবেছিলাম যে সম্ভবত একটি গাণিতিক ব্যাখ্যা থাকতে পারে। চিত্রটি জটিল বিমানটিকে চেকবোর্ডের মতো রঙিন করে এবং তারপরে জটিল কনজুগেটের পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপটি ঘুরিয়ে নিয়ে এটি প্রাপ্ত। প্রদত্ত জুম সহ চিত্রটির জন্য এখানে গণিতের শিউডোকোড রয়েছে : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

এবং এখানে $k=1$ , $k=50$ , এবং এর জন্য চিত্রগুলি $k=200$ । প্রতিটি ছবি রেজল্যুশন হল $1000\times 1000$ । সিগন্যাল প্রসেসিংয়ে আমার কোনও পটভূমি নেই তবে আমি জিনিস শিখতে আগ্রহী!

সম্পাদনা করুন:

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায় যে মাইর প্যাটার্নটি নির্দিষ্ট পয়েন্টে ছবির রেজোলিউশনের সাথে 'সিঙ্ক আপ' করে?
Moiré প্যাটার্ন পূর্বাভাস করা যেতে পারে?

image-processing aliasing pattern

— বি এইচ
সূত্র

আপনি যা দেখছেন তা আলিয়াস করছে। আপনি আপনার মনিটরের অনুমোদনের চেয়ে উচ্চতর ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলির সাথে একটি চিত্র চিত্রিত করার চেষ্টা করছেন, যাতে আপনি উপাধি পান। en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

এমবাজ, আমি কীভাবে এলিয়াসিং প্যাটার্নটি দেখতে দেখায় তার গাণিতিক ব্যাখ্যা খুঁজছি!

— বিএইচ

হ্যাঁ, মাইয়ের প্যাটার্নটি পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে। আপনি ফুরিয়ার রূপান্তর সঙ্গে পরিচিত?

— মার্কাস মুলার

এই পরিস্থিতিতে এটি ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট নয়!

— বিএইচ

এখনই বিছানায় যেতে হবে, আশা করি নীচে মোট গাণিতিক ব্যাখ্যা আপনাকে সহায়তা করবে - এমন একটি অনুমানের উপর ভিত্তি করে যে একটি গণনাযোগ্য অসীম সেটের কার্ডিনালিটি রয়েছে এমন কেউ কার্যত-বিশ্লেষণাত্মক ব্যাখ্যার চেয়ে বরং বিমূর্ত দৃষ্টিভঙ্গিতে আগ্রহী হতে পারে।

— মারকাস মুলার

স্যাম্পলিং উপপাদ্যটি আপনার বুঝতে হবে । সংক্ষেপে, প্রতিটি সংকেতকে আমরা স্পেকট্রাম বলে থাকি ¹ যা টাইম ডোমেন (এটি যদি কোনও সময় সংকেত হয়) বা স্থানিক ডোমেইন হিসাবে আসে (যেমন এটি চিত্র হয় Since দ্বিদ্বৈতবাদী, একটি সংকেত এবং এর রূপান্তর সমতুল্য; বাস্তবে, কেউ প্রায়শই ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটিকে ভিত্তি পরিবর্তনের হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারে We আমরা একে "ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে রূপান্তর" বলি, যেহেতু নিম্ন অধ্যাদেশগুলির জন্য ফুরিয়ার রূপান্তরের মানগুলি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত জিনিসগুলি বর্ণনা করে মূল (সময় বা স্থানিক) ডোমেন সিগন্যালে, উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি সামগ্রী উচ্চ অবস্থানের সাথে ফুরিয়ার রূপান্তর মান দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

সাধারণত, এই জাতীয় বর্ণালীর একটি নির্দিষ্ট সমর্থন থাকতে পারে ; সমর্থনটি হ'ল ন্যূনতম ব্যবধানের বাইরে বর্ণালী 0।

আপনি যদি এখন এমন একটি পর্যবেক্ষণ সিস্টেম ব্যবহার করেন যার ফ্রিকোয়েন্সি পুনরুত্পাদন করার ক্ষমতাটি বলা সমর্থনের চেয়ে ছোট অন্তরের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে (যা প্রায়শই অসীম হয়, যাইহোক, এবং সময় বা স্থানের সীমাবদ্ধ এক্সটেনশন রয়েছে এমন সংকেতের জন্য সর্বদা অসীম) সেই সিস্টেমের সাথে মূল সংকেতটি উপস্থাপন করতে পারে না।

এই ক্ষেত্রে, আপনার ছবিটির একটি নির্দিষ্ট রেজোলিউশন রয়েছে - যা শেষ পর্যন্ত আপনি কোনও নির্দিষ্ট, অ-অসীম ব্যবধানে পৃথক পয়েন্টগুলিতে আপনার ফাংশনের মূল্য নির্ধারণ করেন fact এই ব্যবধানের বিপরীতটি হল (স্থানিক) নমুনা হার।

সুতরাং, আপনার ছবিটি মূল সংকেতকে উপস্থাপন করতে পারে না - এটি কেবল গাণিতিকভাবেই অসম্ভব যে অন্তর্নিহিত ফাংশনটির পিক্সেলগুলিতে ম্যাপিংটি সত্যিকারের মূল ফাংশনের সমতুল্য, যেহেতু আমরা জানি যে এই ক্ষেত্রে, বিচ্ছিন্ন পয়েন্টগুলিতে আপনার মূল্যায়নের দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য মোট ফ্রিকোয়েন্সিগুলির পরিসীমা। ("নমুনা") স্যাম্পলিংয়ের অর্ধেক হার এবং সুতরাং, আপনার সিগন্যালের বর্ণালীটির যে অংশটি নমুনা হারের অর্ধেকের উপরে রয়েছে তার কিছুটা অবশ্যই ভুল হবে ।

যা ঘটেছিল তা হ'ল বর্ণালী এলিয়াস পায় - ফ্রিকোয়েন্সিতে প্রতিটি বর্ণালী উপাদান by দ্বারা "স্থানান্তরিত" হয়ে যায় , যাতে । বাস্তবে, এটি "কাঠামোর" দিকে নিয়ে যায় যেখানে সেখানে কিছু (এমন মনে হয়) হওয়া উচিত নয়। $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

আপনার ছবি থেকে "বৃহত" কাঠামোগুলি নিন যা আমি সবুজ রঙে এঁকেছি:

এখানে অবশ্যই নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি সামগ্রী রয়েছে বলে মনে হচ্ছে - তবে বাস্তবে এটি ফ্রিকোয়েন্সিগুলি content এ কেবল উচ্চ-ফ্রিকোয়সি বিষয়বস্তু যা কম ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে সংযুক্ত ছিল, যেহেতু এটি একটি খুব কাছাকাছি ছিল নমুনা হারের পূর্ণসংখ্যা একাধিক। $>\frac{f_\text{sample}}2$

সুতরাং, হ্যাঁ , নমুনা হারের প্রস্তাবিত ব্যান্ডউইদথের ফুরিয়ার রূপান্তরকে তুলনা করে যখন নমুনা তৈরি করা হয় তখন আপনি 2 ডি সংকেততে ঘটে যাওয়া শিল্পকর্মগুলির পূর্বাভাস দিতে পারেন।

¹ এটি অপারেটরদের ইগেন-বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করতে লিনিয়ার বীজগণিত হিসাবে বর্ণালী হিসাবে পৃথক হতে পারে।

— মার্কাস মোলার
সূত্র

Neato !! এই বিস্তারিত উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ। দেখে মনে হচ্ছে সবুজ বিটের প্রত্যেকটির আচরণ কিছুটা আলাদা এবং আমি অনুমান করছি এটি এর মানের উপর নির্ভর করে । আমি এই পুরো ফুরিয়ার রূপান্তর জিনিসটি পড়তে চাই!

n

$n$

— বিএইচ