সুসংহত নমুনার জন্য কোয়ান্টাইজেশন গোলমাল - পর্বের গোলমাল?

Question

আপডেট: এই পোস্টের নীচে যুক্ত চিন্তাগুলি দেখুন।

---

সাধারণ নমুনা শর্তের নীচে বর্ণিত দ্বারা সীমাবদ্ধ নয় (নমুনা ঘড়ির সাথে সংকেত সংকেত), কোয়ান্টাইজেশন গোলমাল প্রায়শই এক কোয়ান্টাইজেশন স্তরের উপর অভিন্ন বিতরণ হিসাবে অনুমান করা হয়। একটি জটিল সিগন্যালের নমুনা তৈরি করতে যখন দুটি এডিসি আই এবং কিউ পাথের সাথে একত্রিত হয়, তখন কোয়ান্টাইজেশন গোলমালের নীচে সিমুলেটেড হিসাবে প্রশস্ততা এবং ধাপের শব্দ উভয় উপাদান থাকে। যেমনটি দেখানো হয়েছে, আই এবং কি উপাদানগুলি প্রশস্ততা এবং পর্যায়ে সমানভাবে অবদান রাখে যেমন এই সংকেতটি যখন 45 ডিগ্রি কোণে হয় এবং যখন সংকেত অক্ষে থাকে তখন অভিন্ন হয় this প্রতিটি আই এবং কিউয়ের পরিমাণ নির্বিঘ্নিত হওয়ার কারণে এটি প্রত্যাশা করা হয়েছে যাতে তারা উভয়ই আউটপুট ফলাফলের ক্ষেত্রে অবদান রাখলে বিতরণগুলি মীমাংসিত হবে।

প্রশ্ন করা হচ্ছে যে প্রশ্নটি যদি সুসংগত নমুনার ক্ষেত্রে পর্যায়ের শোরের এই বিতরণে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন হয় (ধরুন স্যাম্পলিং ক্লকটি নিজেই ফেজ শব্দের সাথে রয়েছে যা কোনও ফ্যাক্টর নয়)? বিশেষত আমি বুঝতে চেষ্টা করছি যে সুসংগত নমুনা কোয়ান্টাইজেশন সম্পর্কিত পর্যায়ের শব্দকে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে কিনা। এটি সরাসরি ক্লক সংকেত উত্পাদনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে, যেখানে সুসংহততা সহজেই বজায় রাখা হবে।

উভয় আসল সংকেত (একটি এডিসি) বা জটিল সংকেত বিবেচনা করুন (দুটি এডিসির; একটি আমার এবং একটিতে একসাথে একটি জটিল জটিল নমুনা বর্ণনা করে) for আসল সংকেতের ক্ষেত্রে, ইনপুটটি একটি সম্পূর্ণ স্কেল সাইন-ওয়েভ এবং পর্যায়টির মেয়াদ বিশ্লেষণী সংকেত থেকে উদ্ভূত হয়; সাইনোসয়েডাল টোনটির শূন্য ক্রসিংয়ের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত জিটারটি সত্যিকারের সংকেতের জন্য ফলাফল পর্বের শব্দের উদাহরণ হতে পারে। জটিল সংকেতগুলির ক্ষেত্রে, ইনপুটটি একটি সম্পূর্ণ স্কেল , যেখানে আসল এবং কল্পিত উপাদানগুলি প্রতিটি পূর্ণ স্তরে সাইন-ওয়েভ হবে।$Ae^{j \omega t}$

এটি এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত যেখানে সুসংগত নমুনাটি ভালভাবে বর্ণিত হয়েছে, তবে পর্যায়ের শব্দটির বিশেষভাবে উল্লেখ করা হয়নি:

সুসংহত নমুনা এবং কোয়ান্টাইজেশন নয়েজ বিতরণ

প্রেরিত এএম এবং প্রধান মন্ত্রীর শব্দগুলির উপাদানগুলি আরও স্পষ্টভাবে বর্ণনা করার জন্য, প্রদত্ত নমুনা তাত্ক্ষণিক সময়ে অবিচ্ছিন্ন সময়ে একটি জটিল ভেক্টর দেখানো জটিল পরিমিতকরণের ক্ষেত্রে, এবং লিনিয়ার ধরে ধরে সম্পর্কিত কোয়ান্টাইটিসড নমুনাকে একটি লাল বিন্দু হিসাবে নীচের গ্রাফিকটি আমি যুক্ত করেছি below সংকেতের আসল এবং কল্পিত অংশগুলির পরিমাণ নির্ধারণের স্তরের অভিন্ন বিতরণ।

উত্সাহিত প্রশস্ততা ত্রুটি এবং পর্যায়ের ত্রুটি চিত্রিত করার জন্য উপরের গ্রাফিকটিতে কোয়ান্টাইজেশন যেখানে অবস্থিত সেখানে জুম করা:

এইভাবে একটি নির্বিচার সংকেত দেওয়া হয়

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

কোয়ানাইটিজড সিগন্যাল দ্বারা প্রদত্ত নিকটতম দূরত্ব বিন্দু

$$s_k = i_k+ j q_k$$

কোথায় $i_k$ এবং $q_k$ প্রতিটি অনুযায়ী ম্যাপযুক্ত পরিমাণযুক্ত I এবং Q স্তরের প্রতিনিধিত্ব করুন:

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

কোথায় $\lfloor (\cdot) \rfloor$মেঝে ফাংশন প্রতিনিধিত্ব করে , এবং$\Delta$ একটি পৃথক মানদণ্ড স্তর উপস্থাপন করে।

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

প্রশস্ততা ত্রুটি হয় $|s(t_k)|-|s_k|$ কোথায় $t_k$ এই সময় যে $s(t)$ উত্পাদনের জন্য নমুনা তৈরি করা হয়েছিল $s_k$।

পর্যায় ত্রুটি হয় $\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$ যেখানে * জটিল সংযোগের প্রতিনিধিত্ব করে।

এই পোস্টের জন্য প্রশ্নটি হল যখন স্যাম্পলিং ক্লকটি ইনপুট সিগন্যালের সাথে (একটি পূর্ণসংখ্যার একাধিক) সংমিশ্রণ হয় তখন পর্যায়ের উপাদানটির প্রকৃতি কী?

সহায়তার জন্য, আমি এবং প্রশ্নপত্রে 6 বিট কোয়ান্টাইজেশন সহ জটিল কোয়ান্টাইজেশন কেসটির প্রশস্ততা এবং পর্বের ত্রুটির কিছু সিমুলেটেড বিতরণ করছি these এই অনুকরণগুলির জন্য এটি অনুমান করা হয় যে প্রকৃত সংকেত "সত্য" সমানভাবে কোয়ান্টিমাইজেশনে যে কোনও জায়গায় থাকার সম্ভাবনা রয়েছে উপরের চিত্রটিতে গ্রিড হিসাবে প্রদর্শিত ক্ষেত্রটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। লক্ষ করুন যখন সংকেতটি কোয়ারডেন্টগুলির মধ্যে একটির সাথে থাকে (আমি সমস্ত বা সমস্ত কিউই হয়), সত্যিকারের সংকেত সহ একক এডিসি ক্ষেত্রে প্রত্যাশা যেমন প্রত্যাশা করা হয়েছে তেমনই সমান। কিন্তু যখন 45 ° কোণে সংকেত থাকে তখন বিতরণটি ত্রিভুজ হয়। এটি বোঝা যায় কারণ এই ক্ষেত্রে সংকেতগুলির সমান I এবং Q অবদান রয়েছে যা প্রত্যেকে অনিয়ন্ত্রিত ইউনিফর্ম বিতরণ; সুতরাং দুটি বিতরণ ত্রিভুজাকার হিসাবে একত্রিত হয়।

সিগন্যাল ভেক্টরকে 0 to এ ঘোরানোর পরে, প্রত্যাশা অনুযায়ী প্রস্থ এবং কোণ হিস্টোগ্রামগুলি অনেক বেশি অভিন্ন:

---

আপডেট: যেহেতু আমরা এখনও নির্দিষ্ট প্রশ্নের দিকে একটি জবাব প্রয়োজন (নীচে অলির উত্তরটি গোলমালের বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে ভাল ব্যাখ্যা দিয়েছে যা ত্রিভুজাকার এবং অভিন্ন শব্দের ঘনত্বগুলি সম্পর্কে আমার আপডেটের দিকে পরিচালিত করেছিল, তবে পর্বের শব্দটির বৈশিষ্ট্যগুলি অধীনে সামঞ্জস্যপূর্ণ নমুনার শর্তগুলি এখনও অধরা), আমি নিম্নলিখিত চিন্তাগুলি পেশ করি যা একটি প্রকৃত উত্তর বা আরও অগ্রগতি জাগাতে পারে (নোটগুলি নোটগুলি সম্ভবত অনেকগুলি বিপথগামী তবে উত্তরটি প্রাপ্ত করার স্বার্থে যা আমার কাছে এখনও নেই):

নোট করুন যে সুসংগত নমুনা শর্তে, নমুনা হার ইনপুট ফ্রিকোয়েন্সি (এবং পাশাপাশি পর্যায়ে লক) এর পূর্ণসংখ্যা একাধিক। এর অর্থ হ'ল একটি জটিল সংকেত এবং স্যাম্পলিংয়ের জন্য আমরা জটিল প্লেনের মাধ্যমে একবার ঘুরতে থাকি বা আসল সংকেত এবং নমুনা (একক এডিসি) জন্য সাইনোসয়েডের একটি চক্রের একটি পূর্ণসংখ্যার নমুনার সংখ্যার নমুনা সর্বদা থাকবে means

এবং বর্ণিত হিসাবে আমরা কেসটি ধরে নিচ্ছি যখন স্যাম্পলিং ক্লকটি নিজেই অনেক উন্নত হয় তাই অবদান হিসাবে বিবেচিত হয় না। সুতরাং নমুনাগুলি ঠিক একই জায়গায়, প্রতিটি সময় অবতরণ করবে।

আসল সিগন্যালের ক্ষেত্রে বিবেচনা করে, আমরা যদি কেবলমাত্র পর্বের শব্দ নির্ধারণের ক্ষেত্রে শূন্য ক্রসিংয়ের সাথে উদ্বিগ্ন থাকতাম তবে সুসংগত নমুনার ফলাফলটি কেবল বিলম্বের ক্ষেত্রে একটি স্থির তবে ধারাবাহিক শিফট হয়ে উঠত (যদিও উত্থান এবং পতনশীল প্রান্তগুলিতে বিভিন্ন বিলম্ব হতে পারে যখন সমন্বয়টি একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হয়)। স্পষ্টতই জটিল স্যাম্পলিংয়ের ক্ষেত্রে আমরা প্রতিটি নমুনায় পর্যায়ের গোলমালের সাথে উদ্বিগ্ন এবং আমি সন্দেহ করি যে এটি আসল কেসের ক্ষেত্রেও একই হবে (আমার সন্দেহ "সত্য" থেকে কোনও তাত্ক্ষণিক কোনও নমুনার সময় বিলম্ব হবে) পর্যায়ের শোরগোল উপাদান তবে আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়ি যদি আমি দ্বিগুণ গণনা করি যা প্রশস্ততা পার্থক্যটিও কি ...) আমার যদি সময় থাকে তবে আমি এটিকে অনুকরণ করব কারণ সমস্ত বিকৃতি একটির উপর পুনরাবৃত্তি প্যাটার্ন দেওয়া ইনপুট সংকেতের পূর্ণসংখ্যার সুরেলাতে প্রদর্শিত হবে সাইকেল, এবং পর্যায়ে বনাম প্রশস্ততার পরীক্ষা মৌলিক বনাম সুরেলা সম্পর্কিত আপেক্ষিক পর্যায়ে হবে - সিমুলেশন বা গণনার মাধ্যমে দেখতে কী আকর্ষণীয় হবে যদি এই সুরেলা (যা একটি সংকেতটির জন্য জটিল জটিল উভয় পক্ষের) থাকে তবে যোগফল হবে? মৌলিক বা পর্যায়ক্রমে চতুষ্কোণে এবং এভাবে সমস্ত পর্যায়ের শব্দ, সমস্ত প্রশস্ত প্রশস্ত শব্দ বা উভয়ের সংমিশ্রণ হিসাবে দেখানো হয়। (এমনকি একাধিক নমুনার এবং বিজোড় পার্থক্যের ফলে এটি সম্ভবত প্রভাব ফেলতে পারে)।

জটিল ক্ষেত্রে, অলির গ্রাফিক যা প্রচুর পরিমাণে নমুনা দিয়ে করা হয়েছিল, যদি তিনি দেখানো প্রতিটি পরিমাণযুক্ত নমুনার সাথে সম্পর্কিত "সত্য" -এর নমুনার অবস্থানটি দেখান তবে আরও অন্তর্দৃষ্টি যুক্ত করতে পারে। আবার আমি দেখতে পেলাম আকর্ষণীয় পার্থক্যের সম্ভাবনা যদি সেখানে বিজোড় বা এমনকি বেশ কয়েকটি নমুনা থাকে (তার গ্রাফিকটি সমান ছিল এবং আমি প্রতিসাম্যটি পর্যবেক্ষণ করি তবে ফলাফলটি প্রশস্ততা শব্দের বিপরীতে পর্বের দিকে কী ঘটতে পারে তা থেকে আরও দেখতে পাচ্ছি না)। আমার কাছে যা স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে তা হ'ল আসল এবং জটিল উভয় ক্ষেত্রেই শব্দের উপাদানগুলি কেবলমাত্র মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সিটির পূর্ণসংখ্যার সুরেলাতে উপস্থিত থাকবে যখন নমুনাটি সুসংগত হয়। সুতরাং যদিও আমি সন্দেহ করি যে পর্যায়ে শব্দটি এখনও উপস্থিত থাকতে পারে তবে এটি পূর্ণসংখ্যার সুরেলাতে এর অবস্থানটি পরবর্তীকালের ফিল্টারিং দ্বারা নির্মূল করার পক্ষে অনেক বেশি উপযুক্ত।

(দ্রষ্টব্য: উচ্চ বর্ণালী বিশুদ্ধতার রেফারেন্স ক্লক সংকেত প্রজন্মের ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য))

Comments

আমি আশা করি আপনি আসল প্রশ্নটি কী তা সম্পর্কে আরও গাণিতিকভাবে সুস্পষ্ট হতে পারতেন।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

আমাকে কীভাবে এটি করা উচিত তা ভাবতে দিন; আমি যেটি বর্ণনা করতে চাইছি তা হ'ল কোয়ান্টাইজেশন শব্দের প্রশস্ততা এবং ধাপের উপাদানগুলিতে (এএম এবং পিএম) বিভক্ত হতে পারে। যখন আমরা একটি স্বেচ্ছাসেবী সাইনোসয়েডাল সুরের পরিমাণ নির্ধারণ করি, যেটি স্যাম্পলিং ঘড়ির সাথে সম্পর্কহীন বা অসম্পূর্ণ নয়, নমুনাযুক্ত ফলাফলের মূল তরঙ্গাকার দ্বারা প্রতিষ্ঠিত "সত্য" থেকে প্রশস্ততা ত্রুটি এবং পর্যায়ের ত্রুটি উভয়ই থাকবে। আমি সন্দেহ করি যে সুসংগত নমুনা দেওয়ার ক্ষেত্রে পর্যায়ে ত্রুটি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস বা বাদ দেওয়া হয়েছে ($f_s = N f_{sig}$) কোথায় $f_s$ নমুনা হার এবং $f_sig$সিগন্যাল রেট।

— ড্যান বোশেন

আমি আরবিজে রাজি। ফেজ-বনাম-প্রশস্ততা বিতরণ বলতে কী বোঝ? আমি একটি গণিত বিশ্বাস করি। সমস্যা সম্পর্কে মডেল এটি সমাধানে সহায়তা করবে। এছাড়াও, আরও সুনির্দিষ্ট হতে পারে, আপনি প্রশস্ততা শব্দের প্রশস্ততা এবং পর্যায়ে কীভাবে ক্ষয় করবেন?

— ম্যাক্সিমিলিয়ান ম্যাথé

এটি পাঠ্যের মধ্যে যেমন ইচ্ছাকৃত সংকেত সম্পর্কিত বা গাণিতিক বিবরণ দ্বারা উল্লিখিত বিশেষত সাইনোসয়েডাল সংকেত সম্পর্কিত? কেসটি কেবলমাত্র সাইনোসয়েডাল সিগন্যাল বিবেচনা করে থাকলে কেসটি সহজতর করা হয়, তবে এটি বাস্তব বিশ্বের সংকেতের আচরণকে প্রতিফলিত করতে পারে না। সাইনোসয়েডাল সিগন্যালের জন্য উপযুক্ত ক্ষেত্রে, কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটি পর্যায়ক্রমিক এবং পর্যায়ক্রমিক পর্যায়ের ত্রুটিতে অনুবাদ করে। এই ধরণের পারস্পরিক সম্পর্ক কোনও হিস্টোগ্রামে প্রদর্শিত হবে না, তবে "পর্বের উপাদানটির প্রকৃতি" বর্ণনা করার ক্ষেত্রে এটি সম্ভবত গুরুত্বপূর্ণ (এটির দ্বারা আপনি পর্বের ত্রুটির অর্থ সঠিক?)।

— হিপস

আমি ক্লাস সিগন্যাল তৈরির জন্য এটি পরিষ্কার করার জন্য প্রশ্নটিও আপডেট করেছি, আপনি যদি আপনার শেষ অনুচ্ছেদটি সিঙ্কে রাখতে চান (আপনি প্রস্তাব করেছিলেন এটি পরিমাপের জন্য ছিল)।

— ড্যান বোসচেন

Answer 1

আমার সম্পর্কে সন্দেহ আছে (সম্পাদনা করুন: এটি পরে প্রশ্ন থেকে সরানো হয়েছিল):

এই এএম এবং প্রাইম শব্দের উপাদানগুলির বিতরণ যতক্ষণ না ইনপুট সংকেতটি নমুনা ঘড়ির সাথে সম্পর্কযুক্ত থাকে ততক্ষণ সমান হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে

সংকেতটি বিবেচনা করুন:

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ এবং এর পরিমাণ: $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

এর একটি কোয়ান্টাইজেশন পদক্ষেপের জন্য $1/N$ আই এবং কিউ উভয় উপাদান (আপনার কাছে রয়েছে) $N = 5$ আপনার চিত্রে)।

চিত্র ১. সংকেতের বিভিন্ন অংশ কোয়ান্টাইটেড করা হয়েছে তা দেখতে সিগন্যালের ট্রেস (নীল রেখা) এবং এর পরিমাণ নির্ধারণ (কালো বিন্দাগুলি) এবং তাদের মধ্যে একটি মরফিং $N=5$। "মরফিং" কেবলমাত্র অতিরিক্ত প্যারামেট্রিক প্লটের একটি সেট$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$ এ $a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটির কারণে পর্যায়ে ত্রুটিটি হ'ল:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

মোড়ানো পর্বগুলি বিয়োগ করা ঝুঁকিপূর্ণ তবে এটি এই ক্ষেত্রে কার্যকর হয়।

চিত্র ২. $\operatorname{phase\_error}(t)$ জন্য $N = 5$।

এটি একটি টুকরা অনুসারে লিনিয়ার ফাংশন। সমস্ত লাইন বিভাগগুলি শূন্য স্তর অতিক্রম করে তবে অন্যান্য বিভিন্ন স্তরে শেষ হয়। এর অর্থ, বিবেচনা করা$t$ একটি অভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে, এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন $\operatorname{phase\_error}(t),$শূন্যের নিকটে মানগুলি উপস্থাপন করা হয়। সুতরাং$\operatorname{phase\_error}(t)$ অভিন্ন বিতরণ থাকতে পারে না।

আসল প্রশ্নটি বিবেচনা করে, যথেষ্ট পরিমাণে ডুমুর 1 এর দিকে তাকিয়ে $N$এবং জটিল সাইনোসয়েডের এমন একটি ফ্রিকোয়েন্সি যে প্রতিটি নমুনা ব্যবধানের সময় সংকেতটি বেশ কয়েকটি মানদণ্ডের গণ্ডির অতীত ঘুরে বেড়ায়, নমুনাগুলির মধ্যে কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটিগুলি কার্যকরভাবে সিউডোরডম সংখ্যার একটি নির্দিষ্ট ক্রম যা সংখ্যার তত্ত্বের কোয়ার্ক থেকে আসে। ত্রুটিগুলি ফ্রিকোয়েন্সি এবং তার উপর নির্ভর করে$N,$এবং প্রাথমিক পর্যায়েও যদি ফ্রিকোয়েন্সিটি নমুনা সংক্রান্ত ফ্রিকোয়েন্সিটির একাধিকের সংখ্যার সমষ্টি হয়, তবে এই ক্ষেত্রে কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটি একটি পুনরাবৃত্তি ক্রম যা সমস্ত সম্ভাব্য পরিমাণ ত্রুটি মানগুলি ধারণ করে না। বৃহত্তর সীমাতে$N$আই এবং কিউ ত্রুটির বিতরণগুলি অভিন্ন এবং পর্যায় এবং প্রস্থের ত্রুটিগুলি সিগন্যাল পর্যায়ে নির্ভরশীল এমন বিতরণগুলি থেকে আগত সিউডোর্যান্ডম সংখ্যা। আয়তক্ষেত্রাকার কোয়ান্টাইজেশন গ্রিডের একটি অরিয়েন্টেশন রয়েছে কারণ পর্বে নির্ভরতা রয়েছে।

বৃহত্তর সীমাতে $N,$পর্যায়ে ত্রুটি এবং প্রস্থের ত্রুটি জটিল ত্রুটির লম্ব উপাদান। দৈর্ঘ্যের ত্রুটি অসীম পরিমাণে পদক্ষেপের সাথে আনুপাতিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, এবং পর্যায়ের ত্রুটি আনুপাতিকভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে$\arcsin$কোয়ান্টাইজেশন পদক্ষেপ। সিগন্যাল পর্যায়ে$\alpha$ প্রস্থের ত্রুটি কৌণিক দিকে রয়েছে $\alpha$ এবং পর্যায় ত্রুটি কৌণিক দিকে হয় $\alpha + \pi/2$। জটিল কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটিটি আই এবং কি অক্ষের পাশাপাশি একটি কোয়ান্টাইজেশন স্টেপ বর্গক্ষেত্রে সমানভাবে বিতরণ করা হয়, স্থানাঙ্কের কোণগুলিতে কোয়ান্টাইজেশন পদক্ষেপের সাথে আনুপাতিকভাবে প্রকাশ করা হয়:

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

এই স্থানাঙ্কগুলির আবর্তন বা আনুপাতিক পর্যায়ে ত্রুটি এবং আনুপাতিক মাত্রার ত্রুটি অক্ষগুলির সমপরিমাণ প্রক্ষেপণ নোডগুলির সাথে একই ফ্ল্যাট-শীর্ষ টুকরা-ভিত্তিক লিনিয়ার সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন উভয়ের জন্য দেয়:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

চিত্র ৩. সংকেত কোণটি দিয়ে সমানুপাতিক পর্যায়ে ত্রুটি এবং আনুপাতিক মাত্রার ত্রুটির ভাগ করা অংশ-ভিত্তিক লিনিয়ার ফ্ল্যাট-টপ প্রোপিবিলিটি ডেনসিটি ফাংশন (পিডিএফ) এর নোড $\alpha$। এ$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$পিডিএফটি আয়তক্ষেত্রাকার। কিছু নোড এছাড়াও মার্জ করে$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$ সবচেয়ে খারাপের ক্ষেত্রে ত্রিভুজাকার পিডিএফ দেওয়া -$N$ অ্যাসিপটোটিক অনুমান 1) এর সর্বোচ্চ পরম ত্রুটি ত্রুটি $\sqrt{2}/2$ কোয়ান্টাইজেশন পদক্ষেপ এবং 2) এর সর্বোচ্চ পরম পর্বের ত্রুটি $\sqrt{2}/2$ বার $\arcsin$ কোয়ান্টাইজেশন পদক্ষেপ।

মধ্যবর্তী পর্যায়গুলিতে পিডিএফ উদাহরণস্বরূপ এটি দেখতে:

চিত্র 4. এ শেয়ার করা পিডিএফ $\alpha = \pi/8.$

ড্যানের পরামর্শ অনুসারে পিডিএফটি আয়তক্ষেত্রাকার পিডিএফ এর আই এবং কিউ ত্রুটির দৈর্ঘ্য এবং ধাপের ত্রুটি অক্ষের উপরে অনুমান করা একটি আয়তক্ষেত্রাকারও একটি সমান্তরাল । প্রস্তাবিত পিডিএফগুলির একটির প্রস্থ$|\cos(\alpha)|$, এবং অন্যটির প্রস্থ হয় $|\sin(\alpha)|$। তাদের সম্মিলিত ভেরিয়েন্স হয়$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$ ইউনিফর্ম ওভার $\alpha$।

প্রাথমিক পর্যায়ে কিছু "সিউডলকি" সংমিশ্রণ থাকতে পারে এবং জটিল সাইনোসয়েডের কম্পাঙ্কের একটি যৌক্তিক সংখ্যা অনুপাত এবং স্যাম্পলিং ফ্রিকোয়েন্সি যা পুনরাবৃত্তির ক্রমের সমস্ত নমুনার জন্য কেবল একটি ছোট ত্রুটি দেয়। চিত্র 1-এ দেখা ত্রুটির প্রতিসাম্যগুলির কারণে সর্বাধিক পরম ত্রুটি অর্থে এই ফ্রিকোয়েন্সিগুলি একটি সুবিধার সাথে রয়েছে যার জন্য বৃত্তে পরিদর্শন করা পয়েন্টগুলির সংখ্যা 2 এর একাধিক, কারণ ভাগ্যের (নিম্ন ত্রুটি) এ প্রয়োজনীয় পয়েন্ট মাত্র অর্ধেক। বাকী পয়েন্টগুলিতে ত্রুটিটি হ'ল সাইন ফ্লিপ সহ তারা প্রথমটি কী হয় তার সদৃশ। কমপক্ষে 6, 4 এবং 12 এর গুণকগুলির আরও বেশি সুবিধা রয়েছে। আমি এখানে সঠিক নিয়মটি কী তা নিশ্চিত নই, কারণ এটি কোনও কিছুর একাধিক হওয়া বলে মনে হয় না। এটা ' মডুলো পাটিগণিতের সাথে মিলিত গ্রিডের প্রতিসাম্য সম্পর্কে কিছু। তবুও, সিউডোরডম ত্রুটিগুলি নির্বিচারক, সুতরাং একটি বিস্তৃত অনুসন্ধান সেরা ব্যবস্থা প্রকাশ করে। মূল-গড়-বর্গক্ষেত্র (আরএমএস) নিখুঁত ত্রুটি অর্থে সেরা ব্যবস্থা সন্ধান করা সবচেয়ে সহজ:

চিত্র 5 শীর্ষ) বর্গাকার পরিমাণ নির্ধারণের গ্রিড ব্যবহার করে বিভিন্ন অসিলেটর বিট গভীরতার জন্য জটিল আইকিউ অসিলেটরে সর্বনিম্ন সম্ভব আরএমএস পরম কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটি । সিউডলকি ব্যবস্থাটির জন্য বিস্তৃত অনুসন্ধানের উত্স কোড উত্তরটির শেষে রয়েছে। নীচে) বিশদ, তুলনার জন্য দেখাচ্ছে (হালকা নীল)$N\to\infty$ আরএমএসের পরম কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটির অসম্পূর্ণ অনুমান, $\sqrt{1/6}/N,$ জন্য $N=2^k-1,$ কোথায় $k+1$ অসিলেটর বিটের সংখ্যা।

সর্বাধিক বিশিষ্ট ত্রুটির ফ্রিকোয়েন্সিটির প্রশস্ততা আরএমএস পরম ত্রুটির চেয়ে বেশি কখনও নয়। একটি 8-বিট দোলক জন্য, একটি বিশেষ ভাল পছন্দ এই হয়$12$ পয়েন্টগুলি প্রায় ইউনিট বৃত্তে অবস্থিত:

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

ক্রমবর্ধমান কৌণিক ক্রমে জটিল বিমানে এই পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যায় এমন একটি জটিল জটিল সাইনোসয়েডের কেবল 5 তম সুরেলা বিকৃতি রয়েছে এবং এটিতে $-91.5$ মৌলিকটির সাথে ডিবি তুলনা করুন, যেমন উত্তরের শেষে অক্টাভে উত্স কোড দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছে।

কম আরএমএসের পরম কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটিটি পেতে, ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে আনুমানিক পর্যায়ে যেমন বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যেতে হয় না $[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$ একটি ফ্রিকোয়েন্সি জন্য $1/12$নমুনা ফ্রিকোয়েন্সি বার। উদাহরণস্বরূপ ফ্রিকোয়েন্সি$5/12$ স্যাম্পলিং ফ্রিকোয়েন্সি একই পয়েন্টগুলির মধ্যে দিয়ে যাবে তবে একটি ভিন্ন ক্রমে: $[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$। আমি মনে করি এটি এটি যেমন কাজ করে তেমনি 5 এবং 12 টি কপিরাইম ।

সম্ভাব্য নিখুঁত বিন্যাস সম্পর্কে, ত্রুটিটি বিন্দুগুলির একেবারে শূন্য হতে পারে যদি সাইনোসয়েডের ফ্রিকোয়েন্সি নমুনা ফ্রিক্যোয়েন্সিটির এক চতুর্থাংশ হয় (ধাপের বৃদ্ধি) $\pi/2$প্রতি নমুনা)। বর্গক্ষেত্র গ্রিডে, অন্য কোনও নিখুঁত ব্যবস্থা নেই । ষড়ভুজ গ্রিডে বা একটি বর্গাকার আয়তক্ষেত্রাকার গ্রিডে I বা Q অক্ষরের একটি দিয়ে একটি উপাদান দ্বারা প্রসারিত$\sqrt{3}$ (যার দ্বারা এটি মধুচক্র গ্রিডে প্রতিটি দ্বিতীয় সারির সমান), এর এক ধাপ বৃদ্ধি $\pi/3$প্রতি নমুনা নিখুঁতভাবে কাজ করবে। এই জাতীয় স্কেলিং অ্যানালগ ডোমেনে করা যেতে পারে। এটি গ্রিডের প্রতিসম অক্ষের সংখ্যা বাড়িয়ে তোলে, যার ফলে সিউডলকি ব্যবস্থাতে বেশিরভাগ অনুকূল পরিবর্তন ঘটে:

চিত্র various. বিভিন্ন অসিলেটর বিট গভীরতার জন্য জটিল আইকিউ অসিলেটরটিতে সর্বনিম্ন সম্ভব আরএমএস নিখুঁত কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটিগুলি , যাকে দিয়ে ছোট ছোট একটি দিয়ে আয়তক্ষেত্রাকার কোয়ান্টাইজেশন গ্রিড ব্যবহার করে$\sqrt{3}$।

উল্লেখযোগ্যভাবে, বৃত্তের 30 টি পয়েন্ট সহ 8-বিট দোলকের জন্য, সর্বনিম্নতম আরএমএস পরম ত্রুটিটি বর্গাকার গ্রিডে -51.3 ডিবি এবং অ বর্গাকার আয়তক্ষেত্রাকার গ্রিডে -62.5 ডিবি, যেখানে সর্বনিম্ন-আরএমএস-পরম-ত্রুটি সিউডোলাকি ক্রমটিতে ত্রুটি রয়েছে:

চিত্র 7. আইকিউ বিমানের ত্রুটির মান 8 বিট সিউডোলকি অনুক্রম 30 এর দৈর্ঘ্যের 30 এর একটি উপাদান দ্বারা প্রসারিত কোয়ান্টাইজেশন গ্রিডে পাওয়া প্রতিসাম অক্ষগুলির সুবিধা গ্রহণ করুন $\sqrt{3}$অনুভূমিকভাবে। পয়েন্টগুলি মাত্র তিনটি সিউডলকি জটিল সংখ্যা থেকে আসে, প্রতিসাম অক্ষের চারপাশে উল্টে যায়।

আইকিউ ক্লক সিগন্যালের সাথে আমার কোন ব্যবহারিক অভিজ্ঞতা নেই, তাই আমি নিশ্চিত যে জিনিসগুলি কী তা বোঝায় না। ডিজিটাল-থেকে-অ্যানালগ রূপান্তরকারী (ডিএসি) ব্যবহার করে ক্লক সিগন্যাল জেনারেশনের মাধ্যমে, আমি সন্দেহ করব যে ভাল সিউডলকি ব্যবস্থা না ব্যবহার করা গেলে, উচ্চতর সাথে সুরেলা শব্দের বর্ণালী হওয়ার চেয়ে কম সাদা আওয়াজ মেঝে রাখাই ভাল is স্পাইকগুলি যা কোয়ান্টাইজেশন ত্রুটির পুনরাবৃত্তি ক্রম থেকে আসে ( কোটারেন্ট স্যাম্পলিং এবং কোয়ান্টাইজেশন নয়েসের বিতরণ দেখুন )। এই বর্ণালী স্পাইকগুলি যেমন সাদা শব্দের পাশাপাশি পরজীবী ক্যাপাসিট্যান্সের মাধ্যমে ফাঁস হতে পারে এবং সিস্টেমের অন্যান্য অংশগুলিতে অযাচিত প্রভাব ফেলতে পারে বা ডিভাইসের বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় সামঞ্জস্যতা (ইএমসি) প্রভাবিত করে। সাদৃশ্য হিসাবে, স্প্রেড স্পেকট্রাম প্রযুক্তি বর্ণাল স্পাইকগুলি একটি নিম্ন-শিখর শব্দ তলে পরিণত করে EMC কে উন্নত করে।

সি ++ তে বিস্তৃত সিউডলকি ব্যবস্থা সম্পর্কিত অনুসন্ধানের সূত্র অনুসরণ করে। আপনি এটির জন্য কমপক্ষে 16-বিট অসিলেটরগুলির জন্য সেরা ব্যবস্থা সন্ধান করতে রাতারাতি চালাতে পারেন$1 \le M \le 100$।

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

এর সাথে পাওয়া প্রথম উদাহরণ ক্রম বর্ণনা করে নমুনা আউটপুট IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

সন্ধান পাওয়া দ্বিতীয় উদাহরণ ক্রম বর্ণনা করে নমুনা আউটপুট IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

প্রথম উদাহরণ ক্রম পরীক্ষার জন্য অক্টাভা কোড:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

দ্বিতীয় উদাহরণ ক্রম পরীক্ষার জন্য অক্টাভা কোড:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))

Comments

খুব সুন্দর. দৈর্ঘ্যের প্রতিটি অক্ষর I এবং Q সমান হিসাবে সমান; আমি ভাবছি যদি আমরা দুটি অভিন্ন বিতরণের একটি সমঝোতা দেখতে পাচ্ছি- আপনি কি আপনার ফলাফলের একটি হিস্টোগ্রাম নেওয়ার চেষ্টা করেছেন? আমি এই যাচাইকৃত যুক্তি দিয়েও ধরে নিব যে আমি ব্যবহার করছি যে জটিল সংকেতের জন্য প্রশস্ততা বিতরণটিও ত্রিভুজ হতে পারে? যখন স্যাম্পলিং ঘড়িটি উপযুক্ত হয় তখন কী ঘটতে পারে সে সম্পর্কে আপনার কোনও অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে?

— ড্যান বোশেন

আমি তবে প্রশ্নটি আপডেট করব যা এটি অভিন্ন নয়!

— ড্যান বোসচেন

আমার আপডেটটি দেখুন - আমি ত্রিভুজাকৃতির বিতরণগুলির সাথে আমার সন্দেহকে সিমুলেটেড এবং নিশ্চিত করেছি। আমার কাছে মনে হয় বিতরণটি কোণ অনুসারে ইউনিফর্ম এবং ত্রিভুজাকার মধ্যে পরিবর্তিত হবে (ব্যাখ্যাটির জন্য আমার আপডেট দেখুন); সুতরাং যদি আমাদের কোণটি সমানভাবে বিতরণ করা হয় তবে আমাদের অবশ্যই সামগ্রিকভাবে একটি বৃত্তাকার বিতরণ শেষ করতে হবে।

— ড্যান বোশেন

নিবন্ধন করুন যদি আমরা ইউনিট বৃত্তের অবস্থানগুলিকে সামঞ্জস্যপূর্ণ নমুনা হিসাবে সীমাবদ্ধ রাখি তবে কী হবে (বিশেষত ফেজ ত্রুটির উপাদানগুলির ক্ষেত্রে) কী হবে তা সম্পর্কে আপনার আরও অন্তর্দৃষ্টি আছে; একটি একক জটিল স্বরের ঘূর্ণন হারের একটি নির্দিষ্ট একাধিক অর্থ? অবশ্যই স্যাম্পলিংয়ের হার বাড়ার সাথে সাথে আপনি যা দেখিয়েছেন তার কাছে এটি পৌঁছে যাবে। তবে আমরা কীভাবে গণিতের সাথে সেই হারের তুলনায় পর্বের উপাদানগুলি বর্ণনা করতে পারি যখন আমরা পছন্দগুলি উপযুক্ত হওয়ার সীমাবদ্ধ করি?

— ড্যান বোশেন

এই চিবানো, এবং উত্তর কোথায় হতে পারে সে সম্পর্কে আরও নির্দেশ দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। অনুপাতটি যদি কোনও সমান পূর্ণসংখ্যক হয় তবে প্যাটার্নটি প্রতি চক্র প্রতি দুবার পুনরাবৃত্তি করবে এবং তারপরে 2 এর উচ্চতর শক্তি দ্বারা বিভাজ্য এমন বহুগুণগুলির জন্য দ্রুত গুণিত হয়। মডুলো সংখ্যা তত্ত্ব থেকে নির্ধারিত সেই

— নিদর্শনটিই