স্বতঃসংশোধনের কাজটি কোনও স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে পুরোপুরি বর্ণনা করে?

স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির সম্পূর্ণ বিবরণ বলতে কী বোঝায়? ওয়েল, গাণিতিকভাবে, একটি সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি প্রক্রিয়া একটি সংগ্রহ র্যান্ডম ভেরিয়েবল, প্রতিটি সময় তাত্ক্ষণিক জন্য এক একটি ইন সূচক সেট , যেখানে সাধারণত সম্পূর্ণ আসল লাইন বা ধনাত্মক বাস্তব লাইন, এবং একটি সম্পূর্ণ বিবরণের অর্থ হ'ল প্রতিটি জন্য এবং সময়ের , আমরা এর (যৌথ) বিতরণগুলি জানি র্যান্ডম ভেরিয়েবল , , $\{X(t) : t \in {\mathbb T}\}$ $t$ $\mathbb T$ $\mathbb T$ $n \geq 1$ $n$ $t_1, t_2, \ldots, t_n \in \mathbb T$ $n$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $\ldots, X(t_n)$ । এটি একটি হল বিরাট তথ্যের পরিমাণ: আমরা এর সিডিএফ জানা প্রয়োজন প্রতিটি সময় তাত্ক্ষণিক জন্য , (দ্বি-মাত্রিক) যুগ্ম সিডিএফ এবং সময় instants সব পছন্দ জন্য এবং , (ত্রিমাত্রিক) এর CDFs , , এবং , ইত্যাদি ইত্যাদি ইত্যাদি $X(t)$ $t$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $t_1$ $t_2$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $X(t_3)$

তাই স্বাভাবিকভাবেই লোকেরা সহজ বর্ণনা এবং আরও নিয়ন্ত্রক মডেলগুলির সন্ধান করে। প্রক্রিয়াটি সময় উত্সের পরিবর্তনের জন্য অদৃশ্য হয়ে গেলে একটি সরলীকরণ হয়। এর অর্থ কী

প্রক্রিয়াটিতে সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির অভিন্ন সিডিএফ রয়েছে: সমস্ত । $F_{X(t_1)}(x) = F_{X(t_2)}(x)$ $t_1, t_2$
কোন দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল কিছু সময় নির্দিষ্ট পরিমাণ দ্বারা পৃথক হিসাবে একই যৌথ সিডিএফ আছে অন্য কোন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যুগল দ্বারা পৃথক একই সময় পরিমাণ। উদাহরণস্বরূপ, এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং সেকেন্ড দ্বারা পৃথক করা হয়েছে , যেমনটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং , এবং এভাবে $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau)$ $\tau$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau)$ $F_{X(t_1), X(t_1 + \tau)}(x,y) = F_{X(t_2), X(t_2 + \tau)}(x,y)$
যেকোনও তিনটি এলোমেলো ভেরিয়েবল , , ব্যবধানে এবং সাথে , মতো একই যৌথ সিডিএফ রয়েছে , যা এবং আলাদা করেছে, $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau_1)$ $X(t_1 + \tau_1 + \tau_2)$ $\tau_1$ $\tau_2$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau_1)$ $X(t_2 + \tau_1 + \tau_2)$ $\tau_1$ $\tau_2$
এবং সমস্ত বহুমাত্রিক সিডিএফ জন্য। উদাহরণস্বরূপ, বহুমাত্রিক মামলার বিবরণের জন্য পিটার কে এর উত্তর দেখুন।

কার্যকরভাবে, এলোমেলো প্রক্রিয়াটির সম্ভাব্য বিবরণগুলি সময় অক্ষের মূল বলতে পছন্দ করি তার উপর নির্ভর করে না: অল টাইম কিছু স্থির পরিমাণে থেকে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একই সম্ভাব্য বিবরণ দেয়। এই সম্পত্তিটিকে বলা হয় কঠোর-জ্ঞান স্টেশনারিটি এবং একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া যা এই সম্পত্তিটি উপভোগ করে তাকে কঠোরভাবে স্থিতিশীল এলোমেলো প্রক্রিয়া বা আরও সহজভাবে বলা যায় স্থির র্যান্ডম প্রক্রিয়া বলে। $t_1, t_2, \ldots, t_n$ $\tau$ $t_1 + \tau, t_2 + \tau, \ldots, t_n + \tau$

মনে রাখবেন যে কঠোরভাবে স্থিরতার জন্য সিডিএফের কোনও বিশেষ ফর্মের প্রয়োজন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, এটি বলে না যে সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি গাউসিয়ান।

বিশেষণটি কঠোরভাবে পরামর্শ দেয় যে স্থিরতার আলগা ফর্মটি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। তাহলে যুগ্ম সিডিএফ -order হিসাবে একই -order যৌথ এর সিডিএফ সব পছন্দ জন্য এবং , তারপর র্যান্ডম প্রক্রিয়া বলা হয় হতে কে অর্ডার দেওয়ার জন্য স্থিতিশীল এবং এটি অর্ডার স্টেশনারি এলোমেলো প্রক্রিয়া হিসাবে উল্লেখ করা হয় । নোট করুন যে একটি -অর্ডার স্টেশনারি এলোমেলো প্রক্রিয়া প্রতিটি জন্য অর্ডার করার জন্যও স্থির $N^{\text{th}}$ $X(t_1), X(t_2), \ldots, X(t_N)$ $N^{\text{th}}$ $X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \ldots, X(t_N +\tau)$ $t_1,t_2, \ldots, t_N$ $\tau$ $N$ $N^{\text{th}}$ $N^{\text{th}}$ $n$ $n < N$ । (এর কারণ যৌথ সিডিএফ -order মাত্রা হল সিডিএফ -order যেমন অফ আর্গুমেন্ট কাছে : একটি সাধারণীকরণ )। কঠোরভাবে স্থিতিশীল এলোমেলো প্রক্রিয়া হ'ল একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া যা সমস্ত আদেশ জন্য স্থিতিশীল । $n^{\text{th}}$ $N^{\text{th}}$ $N-n$ $\infty$ $F_X(x) = \lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)$ $N$

যদি কোনও র‌্যান্ডম প্রক্রিয়া (কমপক্ষে) অর্ডার জন্য স্থিতিশীল থাকে , তবে সমস্ত এর সমান বিতরণ হবে এবং সুতরাং, গড়টি উপস্থিত রয়েছে বলে ধরে নেওয়া, সবার জন্য একই । একইভাবে, সমস্ত জন্য একই , এবং প্রক্রিয়াটির শক্তি হিসাবে উল্লেখ করা হয় । সমস্ত শারীরিক প্রক্রিয়ার সসীম ক্ষমতা থাকে এবং তাই এটি ধরে নেওয়া সাধারণ যে কোন ক্ষেত্রে এবং বিশেষত পুরানো ইঞ্জিনিয়ারিং সাহিত্যে, প্রক্রিয়াটিকে দ্বিতীয়-আদেশ প্রক্রিয়া বলা হয় called নামের পছন্দটি দুর্ভাগ্যজনক কারণ এটি দ্বিতীয়-ক্রমের সাথে বিভ্রান্তিকে আমন্ত্রণ জানায় $1$ $X(t)$ $E[X(t)] = \mu$ $t$ $E[(X(t))^2]$ $t$ $E[(X(t))^2] < \infty$ stationarity (cf. stats.SE উপর আমার এই উত্তরের ), এবং তাই আমরা এখানে একটি প্রক্রিয়া, যার জন্য ডাকব সকলের জন্য সসীম হয় (থাকুক বা না থাকুক একটি স্থির -শক্তি প্রক্রিয়া হিসাবে একটি ধ্রুবক) এবং এই বিভ্রান্তি এড়ান। তবে আবার নোট করুন $E[(X(t))^2]$ $t$ $E[(X(t))^2]$

প্রথম-ক্রমের স্থিতিশীল প্রক্রিয়াটির সসীম শক্তি প্রক্রিয়া হওয়া উচিত নয় ।

একটি র্যান্ডম প্রক্রিয়া যা অর্ডার নিশ্চল হয় বিবেচনা করুন । এখন, যেহেতু এবং এর যৌথ বন্টন এবং এর যৌথ বিতরণ ফাংশন হিসাবে সমান , এবং মান শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে । এই প্রত্যাশাগুলি একটি নির্দিষ্ট শক্তি প্রক্রিয়ার জন্য সসীম এবং তাদের মূল্য প্রক্রিয়ার autocorrelation ফাংশন বলা হয়: একটি ফাংশন , সময় র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিচ্ছেদ এবং , এবং উপর নির্ভর করে না $2$ $X(t_1)$ $X(t_1 + \tau)$ $X(t_2)$ $X(t_2 + \tau)$ $E[X(t_1)X(t_1 + \tau)] = E[X(t_2)X(t_2 + \tau)]$ $\tau$ $R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ $\tau$ $X(t)$ $X(t+\tau)$ $t$ মোটেই এও নোট এবং তাই ফাংশনটি তার যুক্তিটির একটি এমনকি ফাংশন।

E [X (t) X (t + τ)] = E [X (t + τ) X (t)] = E [X (t + τ) X (t + τ - τ)] = R_{X} (- τ),

$E[X(t)X(t+\tau)] = E[X(t+\tau)X(t)] = E[X(t+\tau)X(t + \tau - \tau)] = R_X(-\tau),$

একটি সীমাবদ্ধ শক্তি দ্বিতীয়-আদেশের স্থির র্যান্ডম প্রক্রিয়াতে এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে

এর অর্থ একটি ধ্রুবক $E[X(t)]$

তার autocorrelation ফাংশন একটি ফাংশন , র্যান্ডম ভেরিয়েবল সময় বিচ্ছেদ এবং , এবং আছে মোটেও উপর নির্ভর করে না । $R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$ $\tau$ $X(t)$ $X(t+\tau)$ $t$

স্টেশনারিটির অনুমানটি কিছুটা হলেও এলোমেলো প্রক্রিয়াটির বর্ণনা সহজ করে দেয় তবে পরীক্ষামূলক তথ্য থেকে মডেল তৈরি করতে আগ্রহী প্রকৌশলী এবং পরিসংখ্যানবিদদের জন্য, এই সমস্ত সিডিএফ অনুমান করা একটি অনর্থক কাজ, বিশেষত যখন কেবলমাত্র একটি নমুনা পথের একটি অংশ থাকে (বা উপলব্ধি) যার উপর পরিমাপ করা যেতে পারে। দুটি পরিমাপ যা অপেক্ষাকৃত সহজ (কারণ ইঞ্জিনিয়ারের ইতিমধ্যে তার ওয়ার্কবেঞ্চে প্রয়োজনীয় যন্ত্রপাতি রয়েছে (বা তার সফ্টওয়্যার লাইব্রেরিতে ম্যাটল্যাব / পাইথন / অক্টাভ / সি ++ এ থাকা প্রোগ্রাম)) ডিসি মান এর এবং autocorrelation ফাংশন $x(t)$ $\frac 1T\int_0^T x(t)\,\mathrm dt$ $x(t)$ $R_x(\tau) = \frac 1T\int_0^T x(t)x(t+\tau)\,\mathrm dt$ (বা এর ফুরিয়ার রূপান্তর, পাওয়ার স্পেকট্রাম । এই পরিমাপকে গড়ের অনুমান হিসাবে এবং একটি সসীম-শক্তি প্রক্রিয়াটির স্বতঃসংশোধনের ক্রিয়া হিসাবে গ্রহণ করা আমাদের পক্ষে পরবর্তী আলোচনা করা একটি খুব দরকারী মডেলের দিকে নিয়ে যায়। $x(t)$

একটি নির্দিষ্ট শক্তি র্যান্ডম প্রক্রিয়া একটি বলা হয় ওয়াইড-ইন্দ্রিয়-নিশ্চল (ফলক) প্রক্রিয়া (এছাড়াও স্বাস্থ্যহীন নিশ্চল র্যান্ডম প্রক্রিয়া যার সৌভাগ্যবশত একই initialism ফলক আছে) যদি এটি একটি ধ্রুবক গড় এবং তার autocorrelation ফাংশন আছে কেবলমাত্র সময়ের পার্থক্য (বা ) এর উপর নির্ভর করে । $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$ $t_1 - t_2$ $t_2 - t_1$

নোট করুন যে সংজ্ঞাটি প্রক্রিয়াটি নিয়ে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সিডিএফ সম্পর্কে কিছুই বলে না ; এটি সম্পূর্ণরূপে এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রথম-ক্রম এবং দ্বিতীয়-ক্রমের মুহুর্তগুলিতে একটি বাধা । অবশ্যই, একটি নির্দিষ্ট শক্তি দ্বিতীয়-অর্ডার নিশ্চল (অথবা -order নিশ্চল (জন্য ) অথবা কঠোরভাবে নিশ্চল) র্যান্ডম প্রক্রিয়া হয় একটি ফলক প্রক্রিয়া, কিন্তু বিপরীতটি প্রয়োজন সত্য নাও হতে। $N^{\text{th}}$ $N>2$

কোনও ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়া কোনও অর্ডারের কাছে স্থির হওয়া প্রয়োজন।

উদাহরণস্বরূপ, এলোমেলো প্রক্রিয়া Consider Consider Consider যেখানে চারটি সমান সম্ভাব্য মানগুলি গ্রহণ করে এবং । (ভয় পাবেন না: এই এলোমেলো প্রক্রিয়াটির চারটি সম্ভাব্য নমুনা পাথগুলি কিউপিএসকে সিগন্যালের কেবলমাত্র চারটি সংকেত তরঙ্গরূপ)) নোট করুন যে প্রতিটি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা সাধারণভাবে চারটি সমান সম্ভাব্য মান এবং , সাধারণ এবং এটি দেখতে সহজ $\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$ $\Theta$ $0, \pi/2, \pi$ $3\pi/2$ $X(t)$ $\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$ $\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$ $X(t)$ $X(s)$ বিভিন্ন বিতরণ আছে, এবং তাই প্রক্রিয়া এমনকি প্রথম-আদেশ স্থিতিশীল নয়। অন্যদিকে, প্রত্যেক জন্য যখন সংক্ষেপে, প্রক্রিয়া শূন্য গড় আছে এবং তার autocorrelation ফাংশন শুধুমাত্র সময় পার্থক্য উপর নির্ভর করে , এবং তাই প্রক্রিয়া হয় ওয়াইড ইন্দ্রিয় নিশ্চল। তবে এটি প্রথম-আদেশের স্থিতিশীল নয় এবং তাই উচ্চতর আদেশে স্থিরও হতে পারে না।

E [X (t)] = \frac{1}{4} \cos (t) + \frac{1}{4} (- \sin (t)) + \frac{1}{4} (- \cos (t)) + \frac{1}{4} \sin (t) = 0

$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$

t

$t$

\begin{aligned} E [X (t) X (s)] & = \frac{1}{4} [\cos (t) \cos (s) + (- \cos (t)) (- \cos (s)) + \sin (t) \sin (s) + (- \sin (t)) (- \sin (s))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (t) \cos (s) + \sin (t) \sin (s)] \\ = \frac{1}{2} \cos (t - s) . \end{aligned}

$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$

t - s

$t-s$

এমনকি ফলক প্রসেস যে জন্য হয় দ্বিতীয়-অর্ডার নিশ্চল (অথবা কঠোরভাবে নিশ্চল) র্যান্ডম প্রক্রিয়া, সামান্য নির্দিষ্ট ফরম সম্পর্কে বলা যেতে পারে ডিস্ট্রিবিউশন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। সংক্ষেপে,

একটি ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়া অগত্যা স্থিতিশীল নয় (কোনও আদেশে), এবং ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়াটির গড় এবং স্বতঃসংশোধন কার্য প্রক্রিয়াটির সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানগত বিবরণ দেওয়ার জন্য যথেষ্ট নয় ।

পরিশেষে, ধরুন যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে গাউসিয়ান প্রক্রিয়া হিসাবে ধরে নেওয়া হয় (কোনও যুক্তিযুক্ত আত্মবিশ্বাসের সাথে এটি "প্রমাণ করা" তুচ্ছ কাজ নয়)। এর অর্থ এই যে প্রত্যেকের জন্য , একটি গসিয়ান দৈব চলক এবং সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য এবং পছন্দ সময় instants , , , র্যান্ডম ভেরিয়েবল , , হয় যৌথভাবে গসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল। এখন একটি যৌথ গাউসিয়ান ঘনত্বের কার্য সম্পূর্ণরূপে $t$ $X(t)$ $n \geq 2$ $n$ $t_1$ $t_2$ $\ldots, t_n$ $N$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $\ldots, X(t_n)$ এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির উপায়, দ্বারা নির্ধারিত, এবং এই ক্ষেত্রে, গড় ফাংশন জেনে (এটি প্রশস্ত-বোধের জন্য প্রয়োজনীয় হিসাবে ধ্রুবক হওয়া প্রয়োজন নয় -স্টেশনারিটি) এবং স্বতঃসংশোধন ফাংশন সমস্ত টি-টি (এটি বিস্তৃত অর্থে-স্টেশনারিটির জন্য প্রয়োজনীয় উপর নির্ভর করবে না ) প্রক্রিয়াটির পরিসংখ্যান সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করার জন্য যথেষ্ট। $\mu_X(t) = E[X(t)]$ $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$ $t_1, t_2$ $t_1-t_2$

গাউসিয়ান প্রক্রিয়া যদি ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়া হয় তবে এটি কঠোরভাবে স্থির গাউসীয় প্রক্রিয়াও। সৌভাগ্যক্রমে ইঞ্জিনিয়ার এবং সংকেত প্রসেসরের ক্ষেত্রে, অনেক শারীরিক শব্দ প্রসেসগুলি ডাব্লুএসএস গাউসিয়ান প্রসেস (এবং তাই কঠোরভাবে স্থিতিশীল প্রক্রিয়া) হিসাবে মডেল করা যায়, যাতে স্বতঃসংশোধনের ক্রিয়াকলাপের পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণ সহজেই সমস্ত যৌথ বিতরণ সরবরাহ করে। যেহেতু প্রক্রিয়াগুলি লিনিয়ার সিস্টেমগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় তাদের গাউসীয় চরিত্রটি ধরে রাখে এবং আউটপুট ফাংশনটি হিসাবে ইনপুট স্বতঃসিদ্ধকরণ ফাংশন সম্পর্কিত

R_{y} = h * \tilde{h} * R_{X}

$R_y = h*\tilde{h}*R_X$ যাতে আউটপুট পরিসংখ্যানগুলিও সহজে নির্ধারণ করা যায়, সাধারণভাবে ডাব্লুএসএস প্রক্রিয়া এবং বিশেষত ডাব্লুএসএস গাউসিয়ান প্রক্রিয়াগুলি ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে অত্যন্ত গুরুত্ব দেয়।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

আপনি কি দয়া করে সেই অর্থে "হোয়াইট নয়েজ" সম্পর্কে মন্তব্য করতে পারেন? সংজ্ঞা অনুসারে এ স্বতঃসংশোধন এলোমেলো পরিবর্তনগুলির বৈকল্পিক। এর অর্থ কি এডাব্লুজিএন (অ্যাডেটিভ হোয়াইট গাউসিয়ান নয়েস) এর অসীম বৈকল্পিকতা আছে? আমি এটি জিজ্ঞাসা করি কারণ সাধারণত লোকেরা লিখেন , ভুল? এটি কি ? ধন্যবাদ।

τ = 0

$\tau = 0$

n (t) N (0, N_{0} / 2)

$n(t) ~ N(0, {N}_{0} / 2)$

n (t) N (0, δ (0) N_{0} / 2)

$n(t) ~ N(0, \delta(0) {N}_{0} / 2)$

— রয়ি

@ ড্রাজিক দয়া করে একটি পৃথক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করুন।

— দিলীপ সরোতে

স্টেশনারি প্রক্রিয়াগুলির সংজ্ঞায় এটি একটি দুর্দান্ত মিনি-কোর্স। আমি এর মতো কোনও কিছুই দেখিনি - এত পদ্ধতিগতভাবে এবং পরিষ্কারভাবে laid সম্প্রদায় উইকি?

— আবাল্টার

@ দিলিপ সরওয়াতে আমার অজ্ঞতার জন্য ক্ষমা করুন। উদাহরণ হিসাবে। E [X (t)] = 0 সমস্ত টিয়ের জন্য কেন? আপনি কি অহংকার ধরেছেন? প্রত্যাশিত মানটি গণনা করার জন্য কীভাবে আপনি থটির সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন থেকে এক্স (টি) এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি পেয়েছেন? E [এক্স (টি) এক্স (গুলি)] = ই [কোস (টি + থেইটা) * কোস (এস + থিতা)] ঠিক? এই অভিব্যক্তিটি সরল করতে এবং আপনি যা লিখেছেন তাতে আপনি কী পদক্ষেপ নিয়েছেন? ধন্যবাদ

— ভিএমএমএফ

@ ভিএমএমএফ-তে নেই কোনও অহংকার ব্যবহার। একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল কারণ একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং এটি সমান সম্ভাবনা values এবং মান গ্রহণ করে । এরগো, । মান , , এবং সমান সম্ভাবনা সহ । তাই,

X (t) = \cos (t + Θ)

$X(t)=\cos(t+\Theta)$

Θ

$\Theta$

\pm \cos (t)

$\pm\cos(t)$

\pm \sin (t)

$\pm\sin(t)$

\frac{1}{4}

$\frac 14$

E [X (t)] = 0

$E[X(t)]=0$

X (t) X (s)

$X(t)X(s)$

\cos (t) \cos (s)

$\cos(t)\cos(s)$

(- \cos (t)) (- \cos (s)) = \cos (t) \cos (s)

$(-\cos(t))(-\cos(s))=\cos(t)\cos(s)$

\sin (t) \sin (s)

$\sin(t)\sin(s)$

(- \sin (t)) (- \sin (s)) = \sin (t) \sin (s)

$(-\sin(t))(-\sin(s))=\sin(t)\sin(s)$

\frac{1}{4}

$\frac 14$

E [X (t) (X (s)] = \frac{1}{2} (\cos (t) \cos (s) + \sin (t) \sin (s)) = \frac{1}{2} \cos (t - s)

$E[X(t)(X(s)]=\frac 12\big(\cos(t)\cos(s)+\sin(t)\sin(s)\big) = \frac 12\cos(t-s)$ । সুতরাং,

— দিলীপ সরোতে