কেন এফএফটি "মিরর" হয়?

আপনি যদি সাধারণ সিগন্যালের কোনও এফএফটি প্লট করেন তবে:

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

1Hz সাইনোসয়েড + ডিসি

1Hz

উপরের এফএফটি

FFT

আমি বুঝতে পারি যে প্রথম বিনের সংখ্যাটি সিগন্যালে "কত ডিসি" রয়েছে।

y(1)  %DC
  > 101.0000

দ্বিতীয় বিনের সংখ্যাটি "পুরো সিগন্যালের উপর কত 1-চক্র" সেখানে হওয়া উচিত:

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

তবে এটি 101 নয়! এটি প্রায় 50.5।

ফুট উচ্চতার সংকেতের শেষে আরও একটি এন্ট্রি রয়েছে, সমান পরিমাণে:

y(101)
  > 50.2971

সুতরাং আবার 50.5।

আমার প্রশ্ন, এফএফটি কেন এমনভাবে মিরর করা হয়? কেন এটি কেবলমাত্র 101 তে নয় y(2)(যার অর্থ অবশ্যই আপনার সিগন্যালের সমস্ত 101 টি বিনের মধ্যে 1 হার্জ সাইনোসয়েড রয়েছে?)

এটি করা কি সঠিক হবে:

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

এফএফটি ভেক্টরের দ্বিতীয়ার্ধে ফ্লিপ করুন এবং অ্যাড-ইন করুন

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

আমি এখন ভেবেছি, ডানদিকে মিরর করা অংশটি সঠিকভাবে যুক্ত করা হয়েছে, আমাকে পছন্দসই "এফএফটির সমস্ত 101 টি বিনটিতে 1Hz সিনোসয়েড রয়েছে"

>> z(2)

ans =

  100.5943

dft

— bobobobo
সূত্র

একটি অনুরূপ প্রশ্নের এখানে উত্তর দেওয়া হয়েছে: dsp.stackex

— بدل.

তবে এটি বিশেষত সিগন্যালের প্রতিসাম্য (আমার বিশ্বাস এটি এটিকে হারমেটিয়ান প্রতিসম বলে?) সম্পর্কে।

— bobobobo

খাঁটি আসল সংকেতগুলির জন্য এফ (কে) = কনজ (এফ (এনকে)), এ কারণেই খাঁটি আসল সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তরটি প্রতিসম হয়।

— ওয়েবমোনস্টার

নিজেকে জিজ্ঞাসা করুন: আপনার সিগন্যাল 1 + কোস (2 * পাই পাই ) হলে কী ফলাফল আশা করবেন ... এবং 1 + আই কোস (2 * পাই টি) ... এবং 1 + আমি পাপ (2 * পাই * টি) ...

— পিকনেটস

কারণ একটি ফুরিয়ার রূপান্তর জটিল সংযোজনগুলিতে একটি সংকেতকে ভেঙে দেয় এবং একটি সাইন ওয়েভ হ'ল 2 জটিল ক্ষতিকারক যোগফল । dsp.stackexchange.com/a/449/29

— এন্ডোলিথ

উত্তর:

ফুরিয়ার রূপান্তর প্রকৃতির কারণ প্রকৃত সংকেতগুলি ফুরিয়ার রূপান্তরটির আসল এবং নেতিবাচক অর্ধে "মিরর" হয় " ফুরিয়ার রূপান্তরটি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে-

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

মূলত এটি জটিল সাইনোসয়েডগুলির একগুচ্ছ সংকেতকে সংযুক্ত করে, প্রতিটি তার নিজস্ব ফ্রিকোয়েন্সি সহ। তাহলে এই জটিল সাইনোসয়েডগুলি দেখতে কেমন? নীচের ছবিতে একটি জটিল সিনোসয়েড চিত্রিত হয়েছে।

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

"কর্কস্ক্রু" হ'ল সময়টিতে ঘোরানো জটিল সাইনোসয়েড, অন্য দুটি সাইনোসাইড যা এটি অনুসরণ করে তা জটিল সাইনোসয়েডের উত্তোলিত আসল এবং কাল্পনিক উপাদান। চমকপ্রদ পাঠক লক্ষ করবেন যে আসল এবং কাল্পনিক উপাদানগুলি হুবহু একই, কেবল সেগুলি একে অপরের সাথে 90 ডিগ্রি ( )। কারণ তারা পর্যায়টি থেকে 90 ডিগ্রি বেশি তারা অরথোগোনাল এবং সেই ফ্রিকোয়েন্সিতে সংকেতের যে কোনও উপাদানকে "ধরতে" পারে। $\frac{\pi}{2}$

ক্ষতিকারক এবং কোসাইন / সাইন এর মধ্যে সম্পর্কটি ইউলারের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে-

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

H (f) = \int h (t) e^{- j 2 π f t} d t = \int h (t) (c o s (2 π f t) - j * s i n (2 π f t)) d t

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$

H (- f) = \int h (t) (c o s (2 π (- f) t) - j * s i n (2 π (- f) t)) d t = \int h (t) (c o s (2 π f t) + j * s i n (2 π f t)) d t

$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$

Positiveণাত্মক ফ্রিকোয়েন্সি সংস্করণকে ধনাত্মক ফ্রিকোয়েন্সি সংস্করণের সাথে তুলনা করলে বোঝা যায় যে সাইনটি উল্টানো অবস্থায় কোসাইন একই রয়েছে। তারা এখনও একে অপরের সাথে 90 ডিগ্রি পর্যায়ের বাইরে, যদিও তাদের (negativeণাত্মক) ফ্রিকোয়েন্সিতে কোনও সংকেত উপাদান ধরতে দেয়।

যেহেতু উভয় ধনাত্মক এবং নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি সাইনোসয়েডগুলি 90 ডিগ্রি পর্যায়ের বাইরে এবং একই মাত্রা রয়েছে, তারা উভয়ই একই সংকেতটিতে সত্য সংকেতগুলিতে প্রতিক্রিয়া জানাবে। বা বরং, তাদের প্রতিক্রিয়াটির পরিমাণ একই হবে তবে পারস্পরিক সম্পর্কের পর্বটি আলাদা হবে।

সম্পাদনা: বিশেষত, negativeণাত্মক ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কটি হ'ল আসল সংকেতের জন্য ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্ক সম্পর্কিত (উল্টানো কাল্পনিক সাইন উপাদানগুলির কারণে) j গাণিতিক ভাষায়, এটি, দিলীপ যেমন নির্দেশ করেছেন, নিম্নলিখিতটি-

$H(-f) = [H(f)]^*$

এটি সম্পর্কে চিন্তা করার আরেকটি উপায়:

কালিয়ার উপাদানগুলি কেবলমাত্র..আজমানী! এগুলি একটি সরঞ্জাম, যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ব্যবহার করার চেয়ে খুব সহজ না হলে অতিরিক্ত বিমানের নিয়োগের জিনিসগুলিতে জিনিসগুলি দেখার অনুমতি দেয় এবং অনেকগুলি ডিজিটাল (এবং এনালগ) সংকেত প্রক্রিয়াকরণ সম্ভব করে তোলে!

$^\dagger$

$^\dagger$ $5i$

— জিম ক্লে
সূত্র

ভাল উত্তর - একটি সামান্য নিটপিক যদিও, আমি বোর্ডে নেই "কারণ তারা একই রকম, যে কোনওটির সাথে একটির সংযুক্তি হয়, অন্যটিও ঠিক একই মাত্রা এবং 90 ডিগ্রি পর্বের শিফ্টের সাথে মিলবে" " আপনি কী বলতে চাইছেন তা আমি জানি, তবে (যেমন আপনি জানেন), একটি সাইন একটি সাইন (স্কোর 1) এর সাথে সম্পর্কিত, তবে মোটেও কোনও কোসাইন দিয়ে সম্পর্কযুক্ত হবে না, (স্কোর 0)। এগুলি একই সংকেত, তবে পুরোপুরি বিভিন্ন ধাপে।

— স্পেসি

তুমি ঠিক বলছো. আরও একটি গুরুতর সমস্যা আছে। আমি পরে এটি ঠিক করব।

— জিম ক্লে

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলির সাধারণ তত্ত্বটি না দিয়ে আপনি যদি ডিএফটি সম্পর্কে (যদিও এটি শিরোনামে এফএফটি বলে) সম্পর্কে যে প্রশ্নটি রয়েছে সে সম্পর্কে আরও উত্তর দেওয়ার জন্য আপনার উত্তরটি সম্পাদনা করতে পারলে ভাল লাগবে।

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে আমার লক্ষ্যটি প্রশ্নকর্তাকে বুঝতে সহায়তা করা এবং আমি মনে করি যে আমার পদ্ধতির পক্ষে এটি সর্বোত্তম। বিচ্ছিন্ন গণিত করার জন্য আমি আপনার উত্তরটিকে সমর্থন করেছি।

— জিম ক্লে

H (- f) = [H (f)]^{*}

$H(-f) = [H(f)]^*$

| H (- f) | = | H (f) |

$|H(-f)| = |H(f)|$

x (t)

$x(t)$ এটি একটি আসল মূল্যবান সিগন্যাল এবং এটিই "মিররিং" যা ওপি জিজ্ঞাসা করেছিল। অন্য কথায়, আমি আপনাকে অনুরোধ করছি যে আপনি আপনার উত্তরটি সম্পাদিত সত্যই জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য (যেমন আমি আমার আগের মন্তব্যে অনুরোধ করেছি)।

— দিলীপ সরোতে

$N$ $101$ $N$ $N$ $2^k$ $4^k$ যাতে এফএফটি এর মাধ্যমে ডিএফটি গণনার গতি বাড়ানো যায়।

$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$ $N$ $\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

এক্স [মি] = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{মি}{এন}))}^{এন}, মি = 0, 1, ..., এন - 1

$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$

j = \sqrt{- 1}

$j = \sqrt{-1}$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

x

$\mathbf x$

X [0] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n]

$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$

N

$N$

\exp (- j π) = - 1

$\exp(-j\pi) = -1$

এক্স [\frac{এন}{2}] = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{এন / 2}{এন}))}^{এন} = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] (- 1)^{এন}

$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$

N

$N$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

m

$m$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$

সুতরাং,

\begin{aligned} এক্স [মি] & = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{মি}{এন}))}^{এন} \\ এক্স [এন - মি] & = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{এন - মি}{এন}))}^{এন} \\ = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (- ঞ 2 π + + ঞ 2 π \frac{মি}{এন}))}^{এন} \\ = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] {(মেপুঃ (ঞ 2 π \frac{মি}{এন}))}^{এন} \\ = {(এক্স [মি])}^{*} \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$

X [N - m] = {(X [m])}^{*}

$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$

m = N / 2

$m = N/2$

N

$N$

X [N / 2] = {(X [N / 2])}^{*}

$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$

X [N / 2]

$X[N/2]$

$m$ $(N-m)$

ম্যাটলবি লোকেরা এটি অনুবাদ করতে হবে যে ম্যাটল্যাব অ্যারেগুলি থেকে গণনা করা হয়েছে for $1$

আপনার প্রকৃত ডেটা ঘুরিয়ে, আপনার এর একটি ডিসি মান $\mathbf x$ $1$ $1$

এক্স [এন] = 1 + + পাপ (2 π (0.01 এন)), 0 \leq এন \leq 100

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$

x [0] = x [100] = 1

$x[0] = x[100] = 1$

101

$101$

মধ্যে অমিল

এক্স [মি] = Σ_{এন = 0}^{100} (1 + + পাপ (2 π (\frac{এন}{100}))) {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{মি}{101}))}^{এন}

$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$

100

$100$

101

$101$

X [m]

$X[m]$

2 \leq m \leq 99

$2 \leq m \leq 99$ t

100

$100$

t = 0, 0.01, 0.02, \dots, 0.99

$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$

এক্স [এন] = 1 + + পাপ (2 π (0.01 এন)), 0 \leq এন \leq 99।

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$

এক্স [মি] = Σ_{এন = 0}^{99} (1 + + পাপ (2 π (\frac{এন}{100}))) {(মেপুঃ (- ঞ 2 π \frac{মি}{100}))}^{এন},

$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$

X = (100, - 50 j, 0, 0, \dots, 0, 50 j)

$\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$

0 \leq n \leq 99

$0 \leq n \leq 99$

\begin{aligned} এক্স [এন] & = \frac{1}{100} Σ_{মি = 0}^{99} এক্স [মি] {(মেপুঃ (ঞ 2 π \frac{এন}{100}))}^{মি} \\ = \frac{1}{100} [100 - 50 ঞ মেপুঃ {(ঞ 2 π \frac{এন}{100})}^{1} + + 50 ঞ {(মেপুঃ (ঞ 2 π \frac{এন}{100}))}^{99}] \\ = 1 + + \frac{1}{2 ঞ} [মেপুঃ (ঞ 2 π \frac{এন}{100}) - মেপুঃ (ঞ 2 π \frac{- এন}{100})] \\ = 1 + + পাপ (2 π (0.01 এন)) \end{aligned}

$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

সুতরাং, এফএফটি থেকে কোনও সংকেত পর্যায়ক্রমিক কিনা তা বলা সম্ভব ?

— displayname

@ ডিসপ্লে নাম এটি একটি পৃথক প্রশ্ন যা তার নিজের জিজ্ঞাসা করা উচিত (এবং সম্ভবত ইতিমধ্যে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে এবং উত্তর দেওয়া হয়েছে)।

— দিলীপ সরোতে

আমি যখন সাবধানতার সাথে কনজুগেটের প্রতিসাম্য বিন্দুগুলি বের করে আছি [তাদের মধ্যে 0 + 0i লিখে] এবং ifft ব্যবহার করে টাইম ডোমেন সিগন্যালটি পুনর্গঠন করি তখন পুনর্নির্মাণের সময় ডোমেন সিগন্যালের মাত্রা অর্ধেক হয়ে গেছে। এটি প্রাকৃতিক নাকি এটি একটি সরঞ্জাম সরঞ্জাম? আমি এফএফটি আউটপুট স্বাভাবিককরণ এবং আইএফএফটির পরে এর বিপরীতে যত্ন নিই।

— রাজ

নোট করুন যে কোনও এফএফটি ফলাফল মিরর করা হয় (কনজুগেট প্রতিসম হিসাবে) কেবলমাত্র যদি ইনপুট ডেটাটি সত্য হয়।

কঠোরভাবে সত্যিকারের ইনপুট ডেটার জন্য, এফএফটি ফলাফলের দুটি সংযুক্ত মিরর চিত্রগুলি কোনও জটিল সাইনোসয়েডের কাল্পনিক অংশগুলি বাতিল করে দেয় এবং এইভাবে একটি কঠোরভাবে বাস্তব সাইনোসয়েডের সমষ্টি হয় (ক্ষুদ্র সংখ্যার বৃত্তাকার গোলমাল বাদে), সুতরাং আপনাকে কঠোরভাবে উপস্থাপনের সাথে ছেড়ে যায় আসল সাইন ওয়েভস

যদি এফএফটি ফলাফলটি মেলানো না হয়, তবে এটি এমন একটি তরঙ্গরূপের প্রতিনিধিত্ব করবে যার জটিল মান (শূন্য-না-কাল্পনিক উপাদান) ছিল, সত্যিকারের কোনও মূল্যবান নয়।

— hotpaw2
সূত্র