স্কোয়ার সুপার-রুট ফাংশনটির জন্য কোন আনুমানিক কৌশলগুলি বিদ্যমান?

আমাকে এর বিপরীত , অর্থাৎ বর্গাকার সুপার-রুট (এসএসআরটি) ফাংশনটির একটি অনুমানের বাস্তবায়ন করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, মানে যে । আমি পাওয়ার সিরিজটি ব্যবহার করে আরও সোজা পদ্ধতির বিপরীতে আমার বিকল্পগুলি কী তা বোঝার পক্ষে আমি কোনও নির্দিষ্ট নির্ভুলতা / বিট-গভীরতায় আগ্রহী নই। $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

ললবার্ট ডাব্লু ফাংশন (যেমন ) এর দিক থেকে ওল্ফ্রাম আলফা একটি দুর্দান্ত প্রতীকী সমাধান দেয় । উইকিপিডিয়া একই সূত্র দেয় , পাশাপাশি এর সমতুল্য । গণনা [1] [2] সম্পর্কে যুক্তিসঙ্গত পরিমাণ রয়েছে এমন তথ্য দেওয়া হয়েছে , প্রযুক্তিগতভাবে এটি কিছু বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় সবকিছু $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ বিভিন্ন বিভিন্ন প্রয়োজনীয়তার জন্য । আমি কমপক্ষে দুটি বই সম্পর্কে জানি যা প্রায় সম্পর্কে বিস্তৃত বিবরণে যায় $\ln(x)$ [3] [4] , সুতরাং সেই দিক থেকে অনুকূলিত করার জন্য আরও প্রচুর জায়গা রয়েছে room

তবে আমার দুটি প্রশ্ন রয়েছে:

এই ফাংশনটির সাথে সুনির্দিষ্ট আনুমানিক কৌশলগুলি কোথাও প্রকাশিত হয়েছে?
এটি "স্কোয়ার সুপার-রুট" ছাড়াও অন্য কোনও নামে যায় যা রেফারেন্সগুলি অনুসন্ধান করা একটু সহজ করে দেয়?

উইকিপিডিয়া / গুগল আরও সাধারণ "টিট্রেশন" ফাংশনগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত কিছু রেফারেন্স তৈরি করেছে যার মধ্যে একটি বিশেষ কেস হিসাবে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে , তবে তাদের বেশিরভাগই সাধারণ ক্ষেত্রে অন্বেষণ / সংজ্ঞায়িত করতে বেশি আগ্রহী বলে মনে হয়। $\mathrm{ssrt}(x)$

নিরলস, আর; গনেট, জি ;; হরে, ডি; জেফ্রি, ডি ;; নথ, ডোনাল্ড (1996), "ল্যামবার্ট ডাব্লু ফাংশনে" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
গাণিতিক ফাংশনগুলির ডিজিটাল লাইব্রেরি । http://dlmf.nist.gov/4.13
ক্রেনশা, জ্যাক ডাব্লু। (2000), রিয়েল-টাইম প্রোগ্রামিংয়ের জন্য ম্যাথ টুলকিট।
হার্ট, জন এফ। (1978), কম্পিউটার আনুমানিকতা।
চ্যাপা-ব্লোনডো, এফ এবং মনির, এ। (2002) ল্যামবার্ট ডাব্লু ফাংশনটির সংখ্যাসমূহের মূল্যায়ন এবং ঘনিষ্ঠ 1/2 এর সাথে জেনারালাইজড গাউসিয়ান গোলমাল তৈরির জন্য প্রয়োগ। সিগন্যাল প্রসেসিং 50, 2160-2165 এ আইইইই লেনদেন। http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
মিনেরো, পল দ্রুত আনুমানিক ল্যামবার্ট ডাব্লু । http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

হালনাগাদ

গত কয়েক দিন ধরে আরো কিছু গবেষণা করছেন করার পর, আমি এখনও হাতে-কলমে "Crenshaw শৈলী" ধরনের খুঁজে পেলাম না চিকিত্সার আমি জন্য প্রত্যাশী হয়, কিন্তু আমি একটি নতুন খুঁজে পাইনি এখানে ডকুমেন্টিং মূল্য রেফারেন্স। তিন পৃষ্ঠায় , "ফাস্ট অ্যাসিক্সিমেশন" শিরোনামে একটি বিভাগ রয়েছে যা শব্দ উত্পন্নকরণের প্রসঙ্গে আনুমানিককরণ সম্পর্কে দুর্দান্ত বিশদে যায় । এক আকর্ষণীয় বিষয়টিকে বাদ দিয়ে, "গাওসুয়ান শব্দের সাথে ১/২" শব্দটির [সম্ভাব্যতা ঘনত্ব] হিস্টোগ্রামের মতো আকর্ষণীয়ভাবে দেখায় $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ বিষয়টিকে বাদ দিয়ে, " ঘনিষ্ঠ কেলেনজব এর উত্তরের হিস্টগ্রামের মিলছে বলে মনে হচ্ছেসিগন্যাল ক্লিপিং সনাক্তকরণ সম্পর্কে এই প্রশ্ন ।

উপরন্তু, লিঙ্কের মাধ্যমে দেয়া rwong মন্তব্য আসলে বাস্তবায়নের জন্য একটি বড় সম্পদ , এবং এটা এমনকি লেখকের বাসদ লাইসেন্সকৃত প্রকল্পের নামক লিঙ্ক fastapprox , যা বাস্তবায়ন অন্তর্ভুক্ত বর্ণনা করেছেন। $[6]$ $W(x)$

approximation

— ডাটাবেজিস্ট
সূত্র

machinedlearnings.com/2011/07/

— ব্রেকফাস্ট-approtimate

আমি মেটায় এটি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছি, কারণ মন্তব্য ক্ষেত্রগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়। অনুগ্রহ করে আমাদের কীভাবে এই প্রশ্নগুলি পরিচালনা করতে হবে দয়া করে পরামর্শ দিন: সংখ্যাসমুখে বিশ্লেষণের বিষয় কী প্রশ্ন রয়েছে?

@ ডেটাজেস্ট - মেটা প্রশ্ন থেকে প্রাথমিক উপসংহারটি হ'ল আপনি যদি ডিএসপি ডেটা প্রক্রিয়াকরণের জন্য এই সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণটি ব্যবহার করতে চান তবে তা বিষয়ভিত্তিক। যদি না হয়, তবে না। এটি কীভাবে ডিএসপির সাথে সম্পর্কিত?

— কেভিন ভার্মির

@ কেভিন এটি একটি অডিও প্রভাব বিকাশের প্রসঙ্গে উঠে এসেছে।

— ডেটাজিস্ট

যখনই ল্যামবার্ট ফাংশনটির জন্য আমার একটি রুটিন লেখার দরকার পড়ে, আমি সাধারণত এই কাগজে প্রদত্ত অনুমানগুলি ব্যবহার করি এবং তারপরে নিউটন-রাফসন, হ্যালি বা অন্য কোনও পুনরুক্তি পদ্ধতিতে পলিশ করি।

x^{x}

$x^x$

অন্ধকারের কয়েকটি সংখ্যার ছুরিকা পুনরাবৃত্তির পদ্ধতির জন্য নিম্নলিখিতটি পেয়েছিল:

আমরা y = f (x) সমাধানের সন্ধান করছি যেখানে y = y = x।

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

এর মান হ'ল উপরের সমীকরণের একটি স্থির বিন্দু, এবং অনুভূতভাবে এটি কয়েকটি মানের জন্য রূপান্তরিত বলে মনে হয় $y$ $x$ $x$

তারপরে আমি নিউটনের পুনরাবৃত্ত স্কোয়ার-রুটের অনুরূপ একটি পদ্ধতির চেষ্টা করেছি:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

where y* is supposed to represent a nonconverging but optimistic answer that maintains accuracy if you happen to guess an accurate initial value (in square root y² = x, it's y* = x/y).

This appears to converge, but very slowly at the low end of $x$ (near $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$ )

It also looks like a good initial guess is $y_0 = \ln(x)+1$ .

So I figured maybe there's a better-converging solution:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ for some value of $a$ that is a function of $x$ .

Then I found something interesting.

If I get a converging answer $y$ from the above approach for $y^y = x$ , and then compute $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ , it appears as though $y_2-y$ = approximately $\epsilon \times (-\ln(y))$ .... e.g. if we had a guess $y_1 = y + \epsilon$ for some unknown $\epsilon$ , and computed $y_2 = g(x,y_1)$ , then $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$ . (Just to clarify, I have no analysis to verify this, but the numbers just popped out of some numerical evaluation I performed.)

Solve for the linear terms in $y$ , and you get $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ ... use $\ln(y_1)$ in place of $\ln(y)$ and you get this iterative approximation:

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{\ln (x)}{y [n]}} + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

This appears to work very well, with the initial guess $y = 1+\ln(x)$ , and appears to converge within 4 or 5 iterations.

(Someone could probably show that this is equivalent to Newton-Raphson in some way, but I think it's beyond my capability.)

— Jason S
সূত্র