কোনও চিত্রের আকার পরিবর্তন কীভাবে অভ্যন্তরীণ ক্যামেরা ম্যাট্রিক্সকে প্রভাবিত করে?

18

আমার কাছে একটি ক্যামেরা ম্যাট্রিক্স রয়েছে (আমি অভ্যন্তরীণ এবং বহিরাগত উভয় পরামিতি জানি) আকারের চিত্র HxW এর জন্য পরিচিত। (আমি এই ম্যাট্রিক্সটি আমার প্রয়োজন কয়েকটি গণনার জন্য ব্যবহার করি)।

আমি একটি ছোট চিত্র ব্যবহার করতে চাই, বলুন: $\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$ (মূল অর্ধেক) একই সম্পর্ক রাখার জন্য, ম্যাট্রিক্সে আমার কী পরিবর্তন করা দরকার?

আমার কাছে, $K$ আন্তঃসৌনিক পরামিতি হিসাবে, ( $R$ , $T$ আবর্তন এবং অনুবাদ)

চাকার অংশবিশেষ = কে \cdot [আর টি]

$\text{cam} = K \cdot [R T]$

কে = (\begin{matrix} {একটি}_{এক্স} & 0 & {তোমার দর্শন লগ করা}_{0} \\ 0 & {একটি}_{Y} & {বনাম}_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$

3 * 3, আমি গুন বিষয়ে চিন্তা , , , এবং 0.5 (ফ্যাক্টর ইমেজ মাপ পরিবর্তন করা হয়েছে) দ্বারা, কিন্তু আমি নিশ্চিত নই। $K$ $a_x$ $a_y$ $u_0$ $v_0$

— matlabit
সূত্র

13

দ্রষ্টব্য: আপনি পুনরায় আকারিত চিত্রটিতে কী স্থানাঙ্ক ব্যবহার করেন তা নির্ভর করে। আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি শূন্য-ভিত্তিক সিস্টেমটি ব্যবহার করছেন (যেমন C, এর বিপরীতে Matlab) এবং 0 টি 0 তে রূপান্তরিত হয়েছে Also এছাড়াও, আমি ধরে নিচ্ছি যে স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে আপনার কোনও স্কিউ নেই। আপনার যদি স্কিউ থাকে তবে এটিও বহুগুণে বৃদ্ধি করা উচিত

সংক্ষিপ্ত উত্তর : ধরে নিচ্ছেন যে আপনি একটি সমন্বিত সিস্টেম ব্যবহার করছেন যা $u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$ , হ্যাঁ, আপনি সংখ্যাবৃদ্ধি করা উচিত $a_x,a_y,u_0,v_0$ 0.5 দ্বারা।

বিশদ উত্তর যে ক্রিয়াটি বিশ্বের একটি বিন্দু $P$ কে ক্যামেরার স্থানাঙ্কে $(x,y,z,1)->(u,v,S)$ এ রূপান্তর করে :

(\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

যেখানে $(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$ , যেহেতু স্থানাঙ্কগুলি একজাতীয়।

সংক্ষেপে এটি হিসাবে লেখা যেতে পারে $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
যেখানে $M$ উপরে উল্লিখিত দুটি ম্যাট্রিক্সের পণ্য এবং $m_i$ ম্যাট্রিক্স $M$ এর প্রথম সারির। (পণ্যটি স্কেলার পণ্য)।

চিত্রটি পুনরায় আকার দেওয়ার বিষয়ে ভাবা যেতে পারে:

u^{'} = u / 2, v^{'} = v / 2

$u'=u/2, v'=v/2$

এইভাবে

u^{'} = (1 / 2) \frac{M_{1} P}{M_{3} P} v^{'} = (1 / 2) \frac{M_{2} P}{M_{3} P}

$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে রূপান্তর করা আমাদের দেয়:

(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

যার সমান

(\begin{array}{ccc} 0.5 a_{x} & 0 & 0.5 u_{0} \\ 0 & 0.5 a_{y} & 0.5 v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

For additional information, refer to Forsyth, chapter 3 - Geometric camera calibration.

— Andrey Rubshtein
সূত্র

Thanks a lot for the explanation !!! I'm just no so sure what you mean by zero-based system , I'm using matlab, do I need any other adjustments ?

— matlabit

@matlabit, If you are using Matlab, you should use the transformation with

u^{'} = (u - 1) / 2 + 1, v^{'} = (v - 1) / 2 + 1

$u' = (u-1)/2 + 1 , v' = (v-1)/2 + 1$ , since it has one-based indexing (First element is 1, not 0). Try to compute the relevant matrix in this case. If you do not need sub-pixel accuracy, you can just ignore it and use the formula I gave you.

— Andrey Rubshtein

8

Andrey mentioned that his solution assumes 0 is transformed to 0. If you are using pixel coordinates this is likely not true when you re-size the image. The only assumption you really need to make is that your image transformation can be represented by a 3x3 matrix (as Andrey demonstrated). To update your camera matrix you can just premultiply it by the matrix representing your image transformation.

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

As an example, say you need to change the resolution of an image by a factor $2^n$ and you are using 0 indexed pixel coordinates. Your coordinates are transformed by the relationships

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

this can be represented by the matrix

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

so your final camera matrix would be

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

— Hammer
সূত্র

Could you please elaborate why you add .5 and then subtract .5? Does 0.5 apply only to scaling w/ a factor

2^{n}

$2^n$ ? If not, how does one compute that sub-pixel number?

— Gurumonster

1

I think the point is that the center of pixel "0, 0" is not really at "0, 0" (=top left corner of the pixel) but at "0.5, 0.5". So you have to account for that offset before and after the transformation, and the factor is always 0.5, no matter the scaling factor.

— Jan Rüegg

Yup thats exactly right

— Hammer