স্বতঃসংশ্লিষ্টতা কেন শূন্যে পৌঁছায়?

11

আমি জানি যে স্বতঃসংশোধনের ক্রিয়ায় শূন্য স্থানান্তর করা তার শক্তির সমান, তবুও, আমি বুঝতে চাই কেন শিখরটি শূন্যে রয়েছে।

autocorrelation

— itamarb
সূত্র

এখানে একটি দুর্দান্ত ব্যাখ্যা, উপভোগ করুন! ব্যক্তিগত.ম্যাথস.সুরি.এক.উক

— এসএস

10

আপনি কি এর পিছনে কোনও আনুষ্ঠানিক প্রমাণ বা অন্তর্দৃষ্টি খুঁজছেন? পরবর্তী ক্ষেত্রে: "নিজের চেয়ে ফাংশনের সাথে আর কিছুই এরকম হতে পারে না"। ল্যাগ এ Autocorrelation ব্যবস্থা একটি ফাংশন মধ্যে মিল এবং একই ফাংশন দ্বারা স্থানান্তরিত । মনে রাখবেন যদি পর্যাবৃত্ত হয়, কোন পূর্ণসংখ্যা একাধিক দ্বারা স্থানান্তরিত এবং কাকতালীয়ভাবে, তাই autocorrelation একটি ঝুঁটি আকৃতি আছে - কেন্দ্রীয় শিখর হিসাবে একই উচ্চতার সঙ্গে সঙ্গে যুগের পূর্ণসংখ্যা গুণিতক এ পীক সঙ্গে। $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— pichenettes
সূত্র

2

@ জেসনআর একটি সসীম-শক্তি সংকেত (যা ওপি সে সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে যেহেতু তিনি বলেছিলেন যে শূন্য দশকের স্বতঃসংশোধনের কাজটি শক্তি) তাই পর্যায়ক্রমিক হতে পারে না, এবং এই উত্তরটির অর্ধেকটি ওপি-র প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, তবে পর্যায়ক্রমিক স্বতঃসংশোধন ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেতের জন্য সংজ্ঞায়িত করে। ইন আমার উত্তর , আমি এই দুটি মামলা মধ্যে পার্থক্য করার চেষ্টা, এবং এছাড়াও উল্লেখ করেছে যে পর্যায়ক্রমিক সংকেত autocorrelation ফাংশন পর্যাবৃত্ত পীক হিসাবে গভীর করে পর্যায়ক্রমিক উপত্যকার থাকতে পারে নি।

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ: বরাবরের মতো, ভাল পয়েন্টগুলি।

— জেসন আর

এটি কোনও প্রমাণ নয়, এমনকি কোনও প্রমাণের কাছাকাছিও নয়। কেবল উত্তর যা আপনি কেবল জানেন সেই কারণে শব্দগুলি।

— জন স্মিথ

7

একটি এপিওরিওডিক বিচ্ছিন্ন-সময় সসীম-শক্তি সংকেতের স্বতঃসংশোধন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ যথাক্রমে বাস্তব সংকেত এবং জটিল সংকেতের জন্য। সহজেই প্রকাশের স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য নিজেকে সত্যিকারের সংকেতে সীমাবদ্ধ করে, আসুন আমরা সম্মতি

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ । স্থির দেরী

n

$n$ এবং প্রদত্ত

m

$m$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ সাধারণত ধনাত্মক বা negativeণাত্মক মান হবে। যদি এটি ঘটে থাকে তবে একটি নির্দিষ্ট বিলম্বের জন্য

n

$n$ ,

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ সকলের জন্য অব্যক্ত

m

$m$ , তারপরে যোগফলের সমস্ত পদ যুক্ত হয়ে যাবে (কোনও বাতিলকরণ নেই) এবং তাই

R_{x} [n]

$R_x[n]$ ইতিবাচক মান থাকার গ্যারান্টিযুক্ত। বস্তুত, সমষ্টি সর্ববৃহৎ সব যদি পীক হতে হবে

x [m - n]

$x[m-n]$ মধ্যে পীক সঙ্গে লাইন আপ

x [m]

$x[m]$ এবং উপত্যকার

x [m - n]

$x[m-n]$ মধ্যে উপত্যকার সঙ্গে লাইন আপ

x [m]

$x[m]$ । উদাহরণস্বরূপ,

x

$x$ যদি একটি অতি-নমুনাযুক্ত সিন্স ফাংশন হয় তবে বলুন,

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ এ পীক সঙ্গে

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ এবং উপত্যকার

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ , তারপর

R_{x} [n]

$R_x[n]$ থাকবে ম্যাক্সিমাএ

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (এবং একই টোকেনের সাথেমিনিমাহবে

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ যখন উপত্যকাগুলির সাথে শৃঙ্গগুলি লাইন হবে)। বিশ্বব্যাপীসর্বোচ্চ

R_{x} [n]

$R_x[n]$ বিলম্ব এ স্পষ্টত হয়

n = 0

$n = 0$ যখন সবচেয়ে লম্বা শিখর

x [m]

$x[m]$ এবং

x [m - n]

$x[m-n]$ কাকতালীয়ভাবে। প্রকৃতপক্ষে, এই উপসংহারটি কেবল এই সিন্স সিগন্যালের ক্ষেত্রেই নয়, যেকোনওক্ষেত্রে প্রযোজ্যসংকেত। এ ব্যবধান

n = 0

$n = 0$ , আমরা

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ এবং আমরা নিশ্চিত করা হয় যে শুধুমাত্র সমস্ত পীক এবং উপত্যকা একে অপরের সাথে আপ রেখাযুক্ত (কোন ব্যাপার যেখানে এই হল ঘটতে

x [m]

$x[m]$ ) তবে যে সর্বোচ্চ শিখরের এবং গভীরতম উপত্যকার উপযুক্তভাবে আপ রেখাযুক্ত হয়।

$u$ $v$

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$

λ

$\lambda$

u = λ v

$u = \lambda v$

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$

λ > 0

$\lambda > 0$

λ < 0

$\lambda < 0$

E_{u}

$\mathcal E_u$

E_{v}

$\mathcal E_v$

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$

n

$n$

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$

m

$m$

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$

n = 0

$n=0$

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$

λ = 1

$\lambda = 1$

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$

m

$m$

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n=0$ , অন্যান্য সমস্ত স্বতঃসংশ্লিষ্ট মান এই শিখরের চেয়ে ছোট।

$x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

3

ব্যবহার

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

যে সহজেই এটি প্রদর্শন করতে পারেন

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

$R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

1

এখানে একমাত্র সঠিক উত্তর। অনেক অনেক ধন্যবাদ, আমি নিজে এটিকে আবিষ্কার করতে পেরেছি।

— জন স্মিথ