আমি কীভাবে একটি সিগন্যালের I এবং Q উপস্থাপনায় AWGN যুক্ত করব?

আমার একটি বেতার যোগাযোগ ব্যবস্থা রয়েছে যা আমি মতলবতে অনুকরণ করছি। আমি সংক্রমণ সংকেতের ধাপ সামান্য সামঞ্জস্য করার মাধ্যমে কিছু ওয়াটারমার্কিং করছি। আমার সিমুলেশনটি মূল আই (ইনফেজ) এবং কিউ (চতুর্ভুজ) এর মান নেয় এবং জলছবিতে যোগ করে। আমি তখন সংক্রমণের পরে ফলাফল বিট ত্রুটি হার অনুকরণ করতে হবে। আপাতত আমাকে সিগন্যালে বিভিন্ন ধরণের তাপ শব্দ যোগ করার দরকার।

যেহেতু আমার কাছে সিগন্যালটি তার I এবং Q চ্যানেল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করেছে তাই সরাসরি I এবং Q এ AWGN ( যুক্ত সাদা গাউসিয়ান শোরগোল) যুক্ত করা সবচেয়ে সহজ হবে । একটি চিন্তাধারা স্বাধীনভাবে উভয় চ্যানেলে শব্দের যোগ করার ছিল, তবে আমার অন্তর্নিহিততা আমাকে বলে যে এটি পুরো সিগন্যালে এটি যুক্ত করার মতো নয়।

সুতরাং যখন আমি এই ফর্মটিতে থাকি তখন কীভাবে আমি এতে শব্দ যোগ করতে পারি?

noise gaussian

— Kellenjb
সূত্র

আপনি যে নীতিমালা তৈরি করছেন সেই ব্যবস্থাপনার কিছু বিশদ যদি আপনি দিতে পারেন তবে সম্ভবত এটি আরও সহায়তার হতে পারে।

— রাজেশ দাচিরাজু

আমি ধরে নেব যে আপনি কেবল আমি এবং প্রশ্ন উভয়ের জন্যই শব্দ তৈরি করেছেন এবং তারপরে এগুলি যুক্ত করুন। দু'জনের মধ্যে কেন এই শব্দটি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হবে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না।

— এন্ডোলিথ

@ এন্ডোলিথ, শব্দের পার্থক্য কেবল মিক্সারে উপস্থিত হবে, তা ছাড়া তারা তাদের শব্দ সংকেতগুলি ভাগ করে নেবে।

— কর্টুক

আপনি কি বলছেন যে আপনি এটিকে চতুর্ভুজ মাল্টিপ্লেক্স সিগন্যালে যুক্ত করবেন?

— ফোনেন

@ ফোনন, মাল্টিপ্লেক্সেড বলতে কী বোঝ?

— কর্টুক

উত্তর:

হ্যাঁ, আপনি দুটি পদগুলির প্রতিটিতে আলাদা আলাদা ডাব্লুজিএন যোগ করতে পারেন , কারণ দুটি গাউসিয়ানার যোগফলটিও গাউসিয়ান এবং তাদের রূপগুলি যুক্ত হয় । এটির মূল সংকেতে ভেরিয়েন্সের AWGN যুক্ত করার মতো একই প্রভাব থাকবে । আপনার আগ্রহ থাকলে এখানে আরও কিছু ব্যাখ্যা দেওয়া হল's $\sigma^2$ $2\sigma^2$

বিশ্লেষণী সংকেত এর ইন-ফেজ এবং চতুর্ভুজ উপাদানগুলিতে লেখা যেতে পারে $x(t)=a(t)\sin\left(2\pi f t + \varphi(t)\right)$

x (t) = I (t) \sin (2 π f t) + Q (t) \cos (2 π f t)

$x(t)=I(t)\sin(2\pi ft) + Q(t)\cos(2\pi ft)$

যেখানে এবং । আপনি যদি নিজের আসল সিগন্যালে হিসাবে AWGN যুক্ত করতে চান তবে যেখানে $I(t)=a(t)\cos(\varphi(t))$ $Q(t)=a(t)\sin(\varphi(t))$ $x(t)+u(t)$ , তারপরে আপনি প্রতিটি পদগুলিতে AWGN যুক্ত করতে পারেন $u(t)\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

y_{1} (t) = [I (t) \sin (2 π f t) + v (t)] + [Q (t) \cos (2 π f t) + w (t)]

$y_1(t)=\left[I(t)\sin(2\pi ft) + v(t)\right] + \left[Q(t)\cos(2\pi ft) + w(t)\right]$

where $v(t), w(t)\sim\mathcal{N}(\mu/2,\sigma^2/2)$

Also note that because the in-phase and quadrature terms are additive, the AWGN can also be simply added to either of the two terms in the $IQ$ representation of $x(t)$ above. In otherwords,

y_{2} = I (t) \sin (2 π f t) + [Q (t) \cos (2 π f t) + u (t)]

$y_2=I(t)\sin(2\pi ft) + \left[Q(t)\cos(2\pi ft) + u(t)\right]$

y_{3} = [I (t) \sin (2 π f t) + u (t)] + Q (t) \cos (2 π f t)

$y_3=\left[I(t)\sin(2\pi ft) +u(t)\right]+ Q(t)\cos(2\pi ft)$

পরিসংখ্যানগতভাবে সমতুল্য , যদিও আমি ব্যবহার করতে পছন্দ করি কারণ কোন উপাদানটির সাথে শব্দটি যুক্ত হয়েছে সে সম্পর্কে আমার নজর রাখতে হবে না। $y_1$ $y_1$

— Lorem Ipsum
সূত্র

যেহেতু সিগন্যালটিতে শব্দ রয়েছে বলে মনে হয় যে শব্দের মূল চওড়া উভয় চ্যানেলে প্রদর্শিত হবে তবে মিশ্রণ প্রক্রিয়া দ্বারা প্রভাবিত। আমি ভাবব যে মিক্সিং প্রক্রিয়াটি শব্দটিকে আরও বেশি প্রভাবিত করবে তারপরে সংকেতকে বিভক্ত করে বিয়োগের যোগ করা হবে।

— কর্টুক

অবশ্যই, আপনি যদি সংকেতটি দিয়ে শুরুর দিকে শব্দ করে থাকেন এবং তারপরে এটির আইকিউ উপাদানগুলিতে বিভক্ত করেন তবে প্রত্যেকটির সাথে এটির সাথে শব্দের সংযোগ থাকবে। যাইহোক, ওপি এটি ম্যাটল্যাবে সিমুলেট করার কথা বলছে এবং তার আই এবং কি অংশগুলি আলাদাভাবে রয়েছে এবং কীভাবে মূল সংকেতটিতে শব্দ যুক্ত করার অনুকরণ করতে পারে তাতে কীভাবে শব্দ যুক্ত করতে হয় তা জানতে চাই wants

— Lorem Ipsum

প্রচুর বিবরণ সহ ভাল উত্তর, তবে মৌলিক প্রশ্নের সংক্ষিপ্তভাবে উত্তর দিতে ব্যর্থ - ওপি: আপনার স্বজ্ঞাততা উপেক্ষা করুন; কাল্পনিক অক্ষের সাথে ডাব্লুজিএন দিয়ে আসল অক্ষে ডাব্লুজিএন যুক্ত করার ফলে জটিল ডাব্লুএনএন ফলাফল হয়। 3 ডিবি দিয়ে স্কেল করতে মনে রাখবেন যেহেতু যোগফলের পার্থক্য অংশের তুলনায় দ্বিগুণ (stdv2 = 1.413 stdv1)

— মার্ক বর্গারডিং

@ যোদা, আপনি সমস্ত ডেটা পেয়েছেন, তবে আপনি উত্তরটি পাওয়ার আগে পাঠককে অনেক সমীকরণের মাধ্যমে পড়তে বাধ্য করেছেন। আমি কেবল আপনার সাহসী অংশটি প্রথমে রাখার পরামর্শ দিই, তারপরে সমর্থনকারী বিশদ সরবরাহ করুন।

— মার্ক বর্গারডিং

@ ইয়োদা, আমি এটি পড়ে ক্লান্ত হয়ে পড়েছিলাম। আপনার উত্তর খুব চমত্কার। সময় দেবার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

— কর্টুক

কেলেনজব রাজেশ ডি এবং এন্ডোলিথের প্রশ্নের জবাব দেয়নি এবং তার ঠিক কী প্রয়োজন তা নির্ধারণ করা সহজ নয়। তবে যেহেতু আমি যোদা এবং মোহাম্মদ প্রদত্ত উত্তরগুলির কিছু বিবরণের সাথে একমত নই, তাই আমি একটি পৃথক উত্তর পোস্ট করছি, যেখানে মার্ক বোর্গারডিংয়ের কাছে ক্ষমা চেয়ে, সমস্ত দরকারী স্টোর সমস্ত বোরিং সমীকরণের পরে খুব শেষে উপস্থিত হবে।

In a typical communication system, the incoming signal is a bandpass signal of bandwidth $2B$ at center frequency $f_c \gg B$ Hz and can be expressed as

r (t) = I (t) \cos (2 π f_{c} t) - Q (t) \sin (2 π f_{c} t)

$r(t) = I(t) \cos(2\pi f_c t) - Q(t) \sin(2\pi f_c t)$ where

I (t)

$I(t)$ and

Q (t)

$Q(t)$ are

B

$B$

r (t) = Re {[I (t) + j Q (t)] e^{j 2 π f_{c} t}}

$r(t) = \text{Re}\left\{ [I(t) + jQ(t)] e^{j2\pi f_c t}\right\}$ where

I (t) + j Q (t)

$I(t) + jQ(t)$ is the complex baseband signal.

A local oscillator in the receiver generates signals $2\cos(2\pi f_c t + \theta)$ and $-2\sin(2\pi f_c t + \theta)$ but we assume perfect synchronization for simplicity so that the phase error $\theta = 0$ . $I(t)$ and $Q(t)$ are recovered through two mixers (multipliers) and low-pass filters:

\begin{aligned} r (t) [2 \cos (2 π f_{c} t)] & = I (t) [2 \cos^{2} (2 π f_{c} t)] - Q (t) [2 \sin (2 π f_{c} t) \cos (2 π f_{c} t)] \\ = I (t) + [I (t) \cos (2 π (2 f_{c}) t) - Q (t) \sin (2 π (2 f_{c}) t)] \\ r (t) [- 2 \sin (2 π f_{c} t)] & = I (t) [- 2 \sin (2 π f_{c} t) \cos (2 π f_{c} t)] + Q (t) [2 \sin^{2} (2 π f_{c} t)] \\ = Q (t) + [- I (t) \sin (2 π (2 f_{c}) t) - Q (t) \cos (2 π (2 f_{c}) t)] \end{aligned}

$\begin{align*} r(t)[2\cos(2\pi f_c t)] &= I(t)[2\cos^2(2\pi f_c t)] - Q(t)[2\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)]\\ &= I(t) + \left [ I(t) \cos(2\pi (2f_c)t) - Q(t) \sin(2\pi (2f_c) t) \right ]\\ r(t)[-2\sin(2\pi f_c t)] &= I(t)[-2\sin(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_c t)] + Q(t)[2\sin^2(2\pi f_c t)]\\ &= Q(t) + \left [ - I(t) \sin(2\pi (2f_c)t) - Q(t) \cos(2\pi (2f_c) t) \right ] \end{align*}$ where the double frequency terms (in square brackets) are eliminated by the low-pass filters which we assume to have sufficient bandwidth to pass

I (t)

$I(t)$ and

Q (t)

$Q(t)$ without distortion.

Broadband noise is present in the front end of the receiver and the key questions that need to be answered are what happens in an actual receiver, and what must be done to simulate the reality.

In an actual system, the net result is that the outputs of the low-pass filters are $\begin{aligned} x (t) & = I (t) + N_{I} (t) \\ y (t) & = Q (t) + N_{Q} (t) \end{aligned}$ $\begin{align*} x(t) &= I(t) + N_I(t)\\ y(t) &= Q(t) + N_Q(t) \end{align*}$ where $N_I(t)$ and $N_Q(t)$ are independent zero-mean Gaussian random processes with common variance $σ^{2} = \frac{N_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | H (f) |^{2} d f$ $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^\infty \vert H(f) \vert^2 \mathrm df$ where $H(f)$ is the common transfer function of the low pass filters. In particular, for each $t_0$ , $N_I(t_0)$ and $N_Q(t_0)$ are independent zero-mean Gaussian random variables with variance $\sigma^2$ . However, $N_I(t_0)$ and $N_I(t_1)$ need not be independent. The SNR can be taken to be the ratio of the signal power in $I(t)$ and $Q(t)$ to the noise variance.
In a quadrature down-sampling system or in a MATLAB simulation wishing to capture every nuance, " $r(t) + ~$ noise" is sampled $M$ times each cycle of the RF carrier at $f_c$ Hz, and so the $m$ -th sample is $\begin{aligned} r [m] & = r (m / M f_{c}) + N [m] \\ = I (m / M f_{c}) \cos (2 π (m / M)) - Q (m / M f_{c}) \sin (2 π (m / M)) + N [m] \end{aligned}$ $\begin{align*} r[m] &= r(m/Mf_c) + N[m]\\ &= I(m/Mf_c)\cos(2\pi (m/M)) - Q(m/Mf_c)\sin(2\pi(m/M)) + N[m] \end{align*}$ where the $N[m]$ 's zero-mean Gaussian random variables with common variance whose value depends on the SNR. These can be tracked through the mixers and the low-pass filters during the detailed simulation.
I do not recommend adding noise between the mixer outputs and the low-pass filter units. While there is noise introduced at that stage, this is typically overwhelmed by the noise from the front end that is coming through the mixers.
In some systems, A/D conversion is done at the output of the low pass filters. If more filtering is to be done (e.g. matched filtering), the sampling will typically be at a higher rate than $B^{-1}$ or the inverse of the filter bandwidth. If noise is introduced at this stage, then for each $m$ , $N_I[m]$ and $N_Q[m]$ should be taken to be independent zero-mean Gaussian random variables, but whether $N_I[m]$ and $N_I[m+i]$ are independent or not requires a lot of thought and analysis, and details that are known to Kellenjb but not to us.

— Dilip Sarwate
সূত্র

Thanks, Dilip. Nice detailed, practically-focused answer.

— Jason R

-2

Kellenjb,

The noise in both the I and Q are not in fact going to be gaussian. In fact they are going to originate from the same original noise vector. This is because there was only one noise vector to begin with at the receiver. So what is happening, is your signal comes into the receiver, where AWGN is added of course. Soon afterwards though, the receiver is going to project that (signal + noise) onto a sin basis, and onto a cosine basis, thereby giving you your I and Q components.

So now the noise in either branch is no longer gaussian, but are in fact, the product of a sin basis times orignal noise vector, and product of cosine basis times original noise vector.

The way I would recommend to simulate this, (are you doing all of this in baseband?), is to simply construct a sin and cosine basis, and simply multiply against (signal+noise), where 'signal' is your original signal of course, and then of course take it down to baseband after that. In fact once you filter for taking it down to baseband, your noise vectors are going to be non-white, and non-gaussian.

Hope this helps! :)

— Spacey
সূত্র