ডিএফটি ভেক্টরটিতে জটিল কনজুগেট প্রতিসাম্য সংরক্ষণের জন্য ম্যাট্রিক্সকে প্রাকোডিংয়ের শর্তাদি

Question

ধরা যাক একটি দৈর্ঘ্য N সহ একটি ডিএফটি ভেক্টর which রয়েছে, যা এর মাঝারি বিন্দুর চারপাশে জটিল কনজুগেট প্রতিসাম্য উপস্থাপন করে, যেমন, , এবং আরও। এবং$\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$যথাক্রমে ডিসি এবং নাইকুইস্ট ফ্রিকোয়েন্সি, তাই আসল সংখ্যা। বাকি উপাদানগুলি জটিল।

এখন, ধরুন একটি ম্যাট্রিক্স , যার আকার , যা ভেক্টর এক্সকে বহুগুণ করে$\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

প্রশ্ন হচ্ছে:

কোন পরিস্থিতিতে ম্যাট্রিক্স ম্যাথবিএফ for এর জন্য, ফলাফল প্রাপ্ত ভেক্টর point ম্যাথবিএফ ? এর মধ্য বিন্দুর চারপাশে জটিল কনজুগেট প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করা হয়?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

এই প্রশ্নের অনুপ্রেরণা একটি প্রিডোডার ম্যাট্রিক্স ম্যাথবিএফ with নিয়ে আসার চেষ্টা করছে যা ফলস্বরূপ (প্রাক সমতুল্য) প্রতীক যার আইএফএফটি আসল in$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

সম্পাদনা করুন:

ধন্যবাদ @ ম্যাটল এবং @ নিরেন এই প্রশ্নটি সম্পর্কে অসুবিধাটি হ'ল প্রয়োজনীয় শর্তাদি সন্ধান করা। ম্যাট এর উত্তর সত্যিই যথেষ্ট। এটি নিম্নলিখিত পরিবর্তনগুলি করার জন্যও যথেষ্ট:

প্রথম সারি এবং প্রথম কলামটি শূন্য হওয়ার দরকার নেই। পরিবর্তে, তারা অ-শূন্য হতে পারে, যতক্ষণ না এর মানগুলি মাঝারি বিন্দুর চারপাশে একটি জটিল কনজুগেট প্রতিসাম্য উপস্থাপন করে, এর প্রথম মানটি আসল এবং এর তম মানেরটি প্রতীকের মতোই আসল। একই -th র্থ কলাম, জন্য বলা যেতে পারে$(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$ -ম সারির এবং মূল তির্যক ।

দ্বিতীয়ত, উপরের বাম কোণে এবং নীচের ডান কোণে ম্যাট্রিক্সের মধ্যে একই চিঠিপত্রটি উপরের ডান কোণ এবং নীচের বাম কোণে, অর্থাৎ, একটি বেছে নিয়েছিল ম্যাট্রিক্স থেকে শুরু হয়ে থেকে , বাম থেকে ডানে উল্টান, downর্ধ্বমুখী ফ্লিপ করুন এবং সংযোগটি নিন, তারপরে নীচের বাম কোণে রেখে দিন। ম্যাটল্যাবে, এটি হবে:$(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

এই কাঠামোটি ডিএফটি ম্যাট্রিক্সের কাঠামোর অনুরূপ। এটি কি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হবে?

সম্পাদনা করুন (2):

নিম্নলিখিত কোডটি কোনও বাস্তব-মূল্যবান ম্যাট্রিক্স জন্য এই জাতীয় বৈধ অপারেটর প্রয়োগ করে :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

সম্পাদনা করুন (3):

এটি interesting note নোট করাও যথেষ্ট আকর্ষণীয় যথেষ্ট উপস্থাপন করে। এটি এ থেকে আসে যে:$\mathbf{T}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ যেখানে the হল DFT ম্যাট্রিক্স।$\mathbf{W}$

যেহেতু । এই সমীকরণটি হয়ে যায়:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

অবশেষে, যেহেতু real প্রকৃত মূল্যবান, তবে provided full পুরো পদমর্যাদার, sufficient যথেষ্ট।$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

Comments

আমি আরও বিশদে যাওয়ার আগে আমি তার উপর ঘুমাব, তবে কেবল আপনাকে বিবেচনা করার জন্য: যদিও তির্যক ম্যাট্রিক্সের সীমাবদ্ধতা $\mathbf{T}$ প্রয়োজনীয় নয়, এটি সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই করা যায়, কারণ সমস্ত সম্ভাব্য ভেক্টর $\mathbf{Y}$উত্পন্ন করা যেতে পারে। তুমি কি একমত?

— ম্যাট এল।

অবশ্যই, আমি এটির সাথে একমত

— igorauad

Answer 1

আমি আপনার ম্যাট্রিক্স এন্ট্রি মনে হয় $\bf{T}$ মান্য করা আবশ্যক $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$। এটি বলছে যে সারি এন্ট্রিগুলি$N-n+1$সারি n এর সহগ হিসাবে একই তবে যেখানে সহগগুলি সংহত এবং বিপরীত হয়। ভিতরে প্যাটার্ন$\bf{T}$ জন্য $N=4$ হয়

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

আমি নিশ্চিত কেউ আরও ভাল এবং আরও সুনির্দিষ্ট উত্তর নিয়ে আসবে।

Comments

ডিসি উপাদান সম্পর্কে কি? এর ডিসি উপাদান$\mathbf{Y}$ প্রথম সারির অভ্যন্তরীণ পণ্য $\mathbf{T}$ (জটিল) ভেক্টর সহ $\mathbf{X}$। এটি কীভাবে আসল মূল্যবান হতে চলেছে?

— ম্যাট এল।

আমি ওপি একটি ব্যায়াম ঐ দুই সারি সামগ্রী হিসেবে যে বাম কাশি । তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না আপনি কীভাবে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে কেবল একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স কাজ করবে (এটি বলছেন না যে আপনি ভুল)

— নায়ারেন

আমি সত্যিই ভুল হতে পারে। যখন আমার আরও সময় হবে আমি আবার এটি নিয়ে চিন্তা করব ... আসুন এটি এটিকে দেওয়া যাক: একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স (কনজুগেট প্রতিসাম্য সহ) যে কোনও ক্ষেত্রে কাজ করবে।

— ম্যাট এল।

Answer 2

আমি যদি ভুল না করি তবে এর একমাত্র সমাধান $\mathbf{T}$ যা ভেক্টর থেকে স্বতন্ত্র $\mathbf{X}$ একটি তির্যক (জটিল) ম্যাট্রিক্স, যেখানে তির্যক জটিল কনজুগেটের প্রতিসাম্যকে সন্তুষ্ট করে।

সম্পাদনা: ঠিক আছে, আমার ভুল ছিল। তির্যক ঠিক আছে, তবে এটি প্রয়োজনীয় নয়। জরায়ু$\mathbf{T}$ নিম্নলিখিত সাধারণ কাঠামো অবশ্যই থাকতে হবে: উপাদানসমূহ $t_{11}$ এবং $t_{N/2+1,N/2+1}$অবশ্যই সত্যিকারের মূল্যবান হতে হবে (তারা ডিসি এবং নাইকুইস্টের সাথে সম্পর্কিত)। ছাড়াও$t_{11}$প্রথম সারি এবং কলামে কেবল শূন্য রয়েছে। উপাদান জন্য$t_{22}$ প্রতি $t_{N/2,N/2}$ একটি সালিশ বেছে নিয়েছে $(N/2-1)\times (N/2-1)$ম্যাট্রিক্স। তারপরে এই আরবিট্রে ম্যাট্রিক্সটি ব্যবহার করে সমস্ত সারি অদলবদল করে একটি নতুন ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন (প্রথম সারিটি সর্বশেষটি হয়ে যায়, দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় শেষটি হয়ে যায় ইত্যাদি), সারিগুলি বাম থেকে ডানে উল্টিয়ে এবং সংযোগ দিয়ে ug তারপরে মোট ম্যাট্রিক্সের নীচের ডানদিকে এই সাবম্যাট্রিক্সটি রাখুন$\mathbf{T}$। অন্যান্য সমস্ত উপাদান$\mathbf{T}$শূন্য হতে হবে। আমি সচেতন যে ভিজ্যুয়ালাইজেশন ছাড়াই বুঝতে এটি কিছুটা শক্ত, সুতরাং আমি যখন আরও সময় পাই তখন আমি এটির পরে যুক্ত করব।