পরিমিত শব্দটি বোঝার জন্য কোন গাণিতিক সরঞ্জাম বিদ্যমান?

ধরুন আমাদের কাছে একটি সিগন্যাল যা গাউশিয়ান সাদা শব্দ নিয়ে গঠিত। যদি আমরা এই সংকেতটিকে দ্বারা গুণিত করে মডিউল করি , ফলস্বরূপ সংকেতটিতে এখনও একটি সাদা পাওয়ার বর্ণালী রয়েছে, তবে স্পষ্টভাবে শব্দটি এখন সময়ের সাথে "গুচ্ছ" " এই একটি উদাহরণ cyclostationary প্রক্রিয়া । $n$ $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

ধরুন যে আমরা এখন একটি ফ্রিকোয়েন্সিতে এই সংকেত demodulate সাইন এবং কোসাইন স্থানীয় অসিলেটর মিশিয়ে, আমি এবং Q সংকেত বিরচন দ্বারা: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

নির্লজ্জভাবে পর্যবেক্ষণ করে যে পাওয়ার স্পেকট্রাম চেয়ে অনেক বেশি সময়ের ব্যবধানে গ্রহণ করা ) সাদা, আমরা আশা যে এবং উভয়ই একই প্রশস্ততার সাদা গাউসিয়ান শব্দ ধারণ contain যাইহোক, আসলে যা ঘটে তা হ'ল চতুর্ভুজটি টাইমসারিজের অংশগুলি উচ্চতর পরিবর্তনের সাথে নমুনা করে নমুনা , যখন , নব্বই ডিগ্রি ছাড়িয়ে নীচের বৈকল্পিক অংশগুলিকে নমুনা দেয়: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

শব্দের সংশোধন

ফলাফলটি হ'ল আমার মধ্যে শব্দ বর্ণালী ঘনত্ব চেয়ে গুণ। $\sqrt{3}$ $Q$

স্পষ্টতই পাওয়ার স্পেকট্রামের বাইরে কিছু থাকতে হবে যা মডিউল শব্দের বিবরণে উপকারী। আমার ক্ষেত্রের সাহিত্যে উপরের প্রক্রিয়াটি বর্ণনা করে এমন অনেকগুলি অ্যাক্সেসযোগ্য কাগজপত্র রয়েছে তবে আমি কীভাবে সিগন্যাল প্রসেসিং / ইই সম্প্রদায়গুলি দ্বারা এটি আরও সাধারণভাবে বিবেচিত হয় তা শিখতে চাই।

সাইক্লোস্টেশনারী গোলমাল বুঝতে এবং পরিচালনা করার জন্য কিছু কার্যকর গাণিতিক সরঞ্জাম কী কী? সাহিত্যের যে কোনও উল্লেখও প্রশংসিত হবে।

তথ্যসূত্র:

নীবাউর এট আল, "ননস্টেশনারি শট শব্দ এবং ইন্টারফেরোমিটারগুলির সংবেদনশীলতার উপর এর প্রভাব"। Phys। রেভ। এ 43, 5022–5029 ।

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
সূত্র

অর্ডার ফলাফল আপনি দেখাতে পাওয়ার জন্য, আপনার demodulator একই ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা downconvert আবশ্যক

, শুধু

।

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— জেসন আর

@ জেসন আর, আহ, আমি দেখতে পাচ্ছি যে আমি আসল

মড্যুলেশনটিতে ভুল করেছি । এটি পইসন শব্দ থেকে গাউশিয়ান শব্দে পরিবর্তিত হওয়ার ভুলের কারণে।

2 ω

$2\omega$

— নিবোট

আপনি এখানে যা খুঁজছেন তা আমি নিশ্চিতভাবে জানি না। গোলমাল সাধারণত তার পাওয়ার বর্ণালী ঘনত্বের মাধ্যমে বর্ণনা করা হয় বা এর সমতুল্যভাবে এর স্বতঃসংশোধন ফাংশন; একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া এবং এর পিএসডি এর স্বতঃসংশোধন ফাংশন একটি ফুরিয়ার রূপান্তর জুটি। সাদা শব্দের উদাহরণস্বরূপ, একটি আবেগপূর্ণ স্বতঃসংশোধন রয়েছে; এটি ফুরিয়ার ডোমেনে ফ্ল্যাট পাওয়ার স্পেকট্রামে রূপান্তরিত করে।

আপনার উদাহরণ (কিছুটা অযৌক্তিক অবস্থায়) এমন কোনও যোগাযোগের সাথে সাদৃশ্য যা এর ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সিতে ক্যারিয়ার-মডুলেটেড সাদা শোরগোল পর্যবেক্ষণ করে $2 \omega$ । উদাহরণটি গ্রহণকারী যথেষ্ট ভাগ্যবান, কারণ এটির একটি দোলক রয়েছে যা ট্রান্সমিটারের সাথে সুসংগত; মডিউলেটার এবং ডেমোডুলেটারে উত্পন্ন সাইনোসয়েডগুলির মধ্যে কোনও পর্বের অফসেট নেই, যা বেসব্যান্ডে "নিখুঁত" ডাউন রূপান্তর হওয়ার সম্ভাবনার সুযোগ দেয়। এটি নিজে থেকে অযৌক্তিক নয়; সুসংগত যোগাযোগ রিসিভারের জন্য অসংখ্য কাঠামো রয়েছে। যাইহোক, শব্দটি সাধারণত যোগাযোগের চ্যানেলের একটি অ্যাডিটিভ উপাদান হিসাবে মডেল করা হয় যা রিসিভারটি পুনরুদ্ধার করতে চায় এমন সংশোধিত সংকেতের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয়; ট্রান্সমিটারের পক্ষে এটির পরিবর্তিত আউটপুট সিগন্যালের অংশ হিসাবে শব্দটি প্রকৃতপক্ষে প্রেরণ করা বিরল।

উপায়টি অতিক্রম করে, যদিও, আপনার উদাহরণের পিছনে গণিতের একটি দৃষ্টিভঙ্গি আপনার পর্যবেক্ষণকে ব্যাখ্যা করতে পারে। আপনি বর্ণিত ফলাফলগুলি পেতে (কমপক্ষে মূল প্রশ্নে), মডিউলেটার এবং ডেমোডুলেটারের দোলক রয়েছে যা অভিন্ন রেফারেন্স ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ে কাজ করে। মডিউলেটার নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

রিসিভারটি নীচে রূপান্তরিত আই এবং কি সংকেত উত্পন্ন করে:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

কিছু ত্রিকোণমিতিক পরিচয় এবং আরও কিছু করতে সাহায্য করতে পারে : $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

এখন আমরা ডাউন রূপান্তরিত সংকেত জুটিটি আবার লিখতে পারি:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

ইনপুট শব্দটি শূন্য-গড়, সুতরাং এবং ও শূন্য-গড়। এর অর্থ হ'ল তাদের রূপগুলি হ'ল: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

$I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

The expectations are taken over the random process $n(t)$ 's time variable $t$ . Since the functions are deterministic and periodic, this is really just equivalent to the mean-squared value of each sinusoidal function over one period; for the values shown here, you get a ratio of $\sqrt 3$ , as you noted. The fact that you get more noise power in the I channel is an artifact of noise being modulated coherently (i.e. in phase) with the demodulator's own sinusoidal reference. Based on the underlying mathematics, this result is to be expected. As I stated before, however, this type of situation is not typical.

Although you didn't directly ask about it, I wanted to note that this type of operation (modulation by a sinusoidal carrier followed by demodulation of an identical or nearly-identical reproduction of the carrier) is a fundamental building block in communication systems. A real communication receiver, however, would include an additional step after the carrier demodulation: a lowpass filter to remove the I and Q signal components at frequency $4 \omega$ . If we eliminate the double-carrier-frequency components, the ratio of I energy to Q energy looks like:

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver: signal that is placed in the in-phase (I) channel is carried into the receiver's I signal with no leakage into the quadrature (Q) signal.

Edit: I wanted to address your comments below. For a quadrature receiver, the carrier frequency would in most cases be at the center of the transmitted signal bandwidth, so instead of being bandlimited to the carrier frequency $\omega\$ , a typical communications signal would be bandpass over the interval $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ , where $B$ is its modulated bandwidth. A quadrature receiver aims to downconvert the signal to baseband as an initial step; this can be done by treating the I and Q channels as the real and imaginary components of a complex-valued signal for subsequent analysis steps.

With regard to your comment on the second-order statistics of the cyclostationary $x(t)$ , you have an error. The cyclostationary nature of the signal is captured in its autocorrelation function. Let the function be $R(t, \tau)$ :

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Because of the whiteness of the original noise process $n(t)$ , the expectation (and therefore the entire right-hand side of the equation) is zero for all nonzero values of $\tau$ .

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

The autocorrelation is no longer just a simple impulse at zero lag; instead, it is time-variant and periodic because of the sinusoidal scaling factor. This causes the phenomenon that you originally observed, in that there are periods of "high variance" in $x(t)$ and other periods where the variance is lower. The "high variance" periods are selected by demodulating by a sinusoid that is coherent with the one used to modulate it, which stands to reason.

— Jason R
সূত্র

Re: "This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver..." -- this is true only if the original signal is band-limited to frequencies less than the carrier frequency, right?

— nibot

Re: "Noise is typically described via its power spectral density, or equivalently its autocorrelation function". This cyclostationary noise (

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$ ) is spectrally white and has a

δ (t)

$\delta(t)$ autocorrelation function, just like regular (stationary) Gaussian noise. I am looking for a description that encapsulates its cyclostationary nature.

— nibot

I edited the answer to talk about your two comments.

— Jason R

@Jason, good post. I am trying to understand however, the part where you talk about the cyclostationarity process. I am having a hard time understanding why 't' here is a function of R... - after the expectation operator, there is no 't' (time) variable anymore... only a function of tau.

— Spacey

@Jason nevermind, I just realized 't' must be there since the statistics change with time, (albeit cyclically), and so therefore the autocorr function will also be a function of time and delay... but what I do not understand in this case is how you got the delta*sin^2 ... does this warrant an actual question for me to post?

— Spacey