একটি অসমमित বার্নোল্লি ম্যাট্রিক্স কি আরআইপি সন্তুষ্ট করে?

সংজ্ঞা দাও $n\times N$ সেন্সিং ম্যাট্রিক্স $A$ দ্বারা $A_{ij} = 0$ সম্ভাবনা সহ $p$ , এবং $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ সম্ভাবনা সহ $1-p$ । নেই $A$ সীমাবদ্ধ আইসোমেট্রি সম্পত্তি সন্তুষ্ট করবেন ?

রেফারেন্সের জন্য, প্রতিলিপি ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত কাগজে উত্তর দেওয়া হয়:

আরজি বড়ানীউক, এমএ ডেভেনপোর্ট, আরএ দেভোর এবং এমবি ওয়াকিন, "এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের জন্য সীমিত আইসোমেট্রি সম্পত্তির একটি সহজ প্রমাণ," কনস্ট্রাকটিভ আনুমানিকতা, ২৮ (৩) পিপি। ২৩৩-২63৩, ডিসেম্বর ২০০৮। ( পিডিএফ )

compressive-sensing

— অলিভিয়া
সূত্র

এটি একটি পয়েন্টার হতে পারে: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি পরিশোধিত এবং আমি এর কোনও OA অনুলিপিটি খুঁজে পাইনি)। আমি কাগজটি বিস্তারিতভাবে জানি না, তবে একটি তাত্ক্ষণিক দৃষ্টিভঙ্গি থেকে আমি যা দেখতে পাচ্ছি তা হ'ল তারা যা সাধারণ হিসাবে বিবেচনা করবেন না যতটা আপনি চেয়েছেন; তারা p = 1/2 বিবেচনা করে। এছাড়াও, আমি জানি না যে তারা এই জাতীয় ম্যাট্রিকগুলির আরআইপি সম্পর্কে কতটা নিখুঁত।

— থমাস আরিল্ডসেন

এটি একটি ইঙ্গিতও হতে পারে: rauhut.ins.uni-bonn.de/ রাউহুটস্লাইডসলিনজ.পিডিএফ (পৃষ্ঠা 98)। দুর্ভাগ্যক্রমে, দেখে মনে হচ্ছে যা তিনি বার্নৌলির এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি ডাকছেন তা এলোমেলোভাবে +/- 1 - 0/1 নয় (আমি এই র‌্যাডম্যাচারকে কল করব)।

— থমাস আরিল্ডসেন

পরিসংখ্যান সম্পর্কিত অভিন্ন পোস্টে (এখন মুছে ফেলা) আমি যে মন্তব্য করেছি তার সংক্ষিপ্ত বিবরণ আমাকে পুনরায় বলার অনুমতি দিন : এই প্রশ্নটি আরও সুনির্দিষ্ট করে তুলতে এবং আপনাকে ঠিক কী আগ্রহী এবং আপনি কী রূপান্তর করতে সংগ্রাম করছেন তা নির্দেশ করতে এটি সহায়তা করবে। @ থমাসের মন্তব্য প্রাসঙ্গিক; আপনি আগ্রহী এমন স্পারসিটির কোন ডিগ্রী (অর্থাত্ ক্রম) চান তা আমরা জানি না R এমনকি আমরা যদি র‌্যাডম্যাচারের কার্যকারিতা বিবেচনা করি তবে উত্তরটি কোনও ইউনিফর্মের মধ্যে পরিষ্কারভাবে নেই (মধ্যে

p

$p$ ) জ্ঞান, যাক

p

$p$ থাকা

1

$1$ (বা, যথেষ্ট নিকটবর্তী) যাতে একটি সাবম্যাট্রিক্স সমস্ত লোকের (উচ্চ সম্ভাবনা থাকে) থাকে। (অবিরত)

— কার্ডিনাল

একটি ক্রম নির্বাচন করে

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$ একটি কাজ হিসাবে

n

$n$ , এটি কারও জন্য সত্য হয়ে উঠবে

p

$p$ যে কোনও আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য। অন্যদিকে, স্থির জন্য

p

$p$ , যদি, আমরা নির্মাণ যাতে পরিবর্তন

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ সম্ভাবনা সহ

p

$p$ এবং

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$ সম্ভাবনা সহ

(1 - p)

$(1-p)$ , তারপরে উত্তরটি স্পষ্টভাবে হ্যাঁ , কারণ এটি শূন্য-গড় সাবগুশিয়ান এলোমেলো ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত আরও অনেক সাধারণ তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে।

— কার্ডিনাল

ধন্যবাদ @ কার্ডিনাল, ম্যাট্রিক্স

A

$A$ শূন্য-গড়িত নয়, তবে সাবগুশিয়ান র্যান্ডম ম্যাট্রিক্সের তত্ত্বটি এই প্রশ্নের উত্তর দেয়। আমি ভাবছিলাম কিভাবে

A

$A$ এটি আরআইপি সন্তুষ্ট করতে পারে প্রদত্ত যে এটি আদর্শ রক্ষা করে না, তবে এটি যথাযথভাবে স্কেলিং করার বিষয়টি স্পষ্ট

A

$A$ এটি করে

— অলিভিয়া

অন্যরা মন্তব্যগুলিতে যেমন বলেছে, উত্তরটি "না"। ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য গড় নির্দেশ করে যে একটি ননজারো মানে ভেক্টর (বলুন, সমস্ত) শূন্য গড় সহ একটি র্যান্ডম ভেক্টরের তুলনায় যথেষ্ট উচ্চতর লাভ করবে (বলুন অভিন্ন র্যান্ডম +1, -1)।

একটি ধ্রুবক ভেক্টর ওয়াই n * (পি * এন) ^ 2 হওয়ার আশা করা হয় এমন সময়ে স্কোয়ারের আদর্শ বিবেচনা করুন। (প্রত্যাশার পুনরাবৃত্তি)

(-1, + 1) থেকে সমানভাবে আঁকা একটি ভেক্টর এক্স এর স্কোয়ারের আদর্শটি এন * (পি * এন) হবে বলে আশা করা হচ্ছে। (দ্বিপদী বিতরণের বিভিন্ন পরিমাণের যোগে গণনাযোগ্য)

X এবং y এর নিয়ম একই, তবে রূপান্তরিত নিয়মের প্রত্যাশা পি * এন এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা পৃথক হয় - মাত্রা বড় হওয়ার সাথে সাথে ডাইভারিং হয়।

এখানে প্রদর্শনের জন্য মাতলাব কোড।

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— মার্ক বোর্গারডিং
সূত্র