কেন সমঝোতা প্রয়োজন, বা বোঝার পিছনে দর্শন কী?

Question

আমি ডিজিটাল ইমেজ পুনরুদ্ধার ক্ষেত্রে কাজ করছি। আমি কনভলিউশন সম্পর্কে সমস্ত কিছু পড়েছি, এটি, একটি এলটিআই সিস্টেমের জন্য, যদি আমরা এর প্ররোচিত প্রতিক্রিয়া জানি , তবে আমরা কেবল ইনপুট এবং প্ররোচিত প্রতিক্রিয়ার মধ্যে কনভলভ ব্যবহার করে এর আউটপুটটি খুঁজে পেতে পারি।

কেউ কি আমাকে বলতে পারবেন যে এর পিছনে মূল গাণিতিক দর্শন কী? আপনার অভিজ্ঞতার সাথে এটি সম্পর্কে কেবল ইন্টারনেট সার্ফিংয়ের চেয়ে আমাকে আরও কিছু বলা হবে।

Comments

মূল্যবান পঠন: dsp.stackexchange.com/questions/4723/… ; dsp.stackexchange.com/questions/8530/… ; dsp.stackexchange.com/questions/6451/…

— পিচনেটস

আমি এই প্রশ্নটিকে গুরুত্ব দিচ্ছি কারণ এটি (বা এটির সামান্য প্রকরণ) বার বার জিজ্ঞাসা করা হয়েছে এবং পিচনেটসের মন্তব্য হিসাবে এই সাইটে উত্তর দেওয়া হয়েছে। পরিবর্তে আপনার এই সাইটে "ইন্টারনেট সার্ফড" করা উচিত।

— দিলিপ সরোতে

Answer 1

কনভলিউশনের আইডিয়া

আমার বিষয়টির প্রিয় প্রকাশটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের ব্র্যাড ওসগুডের একটি বক্তৃতায় রয়েছে । সমঝোতার আলোচনাটি প্রায় 36:00 টার দিকে শুরু হয়, তবে পুরো বক্তৃতার অতিরিক্ত প্রসঙ্গ রয়েছে যা দেখার মতো watching

মূল ধারণাটি হ'ল, আপনি যখন পুরো সময়ের সাথে সংজ্ঞা নিয়ে সরাসরি কাজ করার চেয়ে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো কিছু সংজ্ঞায়িত করেন, তখন উচ্চতর স্তরের বৈশিষ্ট্য যা গণনা সহজ করে দেয় তা প্রাপ্ত করা কার্যকর। উদাহরণস্বরূপ, এই জাতীয় একটি সম্পত্তি হ'ল দুটি ফাংশনের যোগফলের রূপান্তর রূপান্তরগুলির যোগফলের সমান, অর্থাৎ

$$F\{f + g\} = F\{f\} + F\{g\}.$$

এর অর্থ যদি আপনার অজানা ট্রান্সফর্মের সাথে কোনও ফাংশন থাকে এবং এটি পরিচিত রূপান্তরগুলির সাথে ফাংশনগুলির যোগফল হিসাবে পচে যেতে পারে তবে আপনি মূলত উত্তরটি বিনামূল্যে পান।

এখন, যেহেতু দুটি রূপান্তরগুলির যোগফলের জন্য আমাদের একটি পরিচয় রয়েছে তাই দুটি রূপান্তরগুলির উত্পাদনের জন্য পরিচয়টি কী তা জিজ্ঞাসা করা একটি স্বাভাবিক প্রশ্ন

$$F\{f\}F\{g\} = \space ?.$$

দেখা যাচ্ছে যে আপনি যখন উত্তরটি গণনা করেন, তখন বোঝা যা উপস্থিত হয়। পুরো ডেরাইভেশনটি ভিডিওটিতে দেওয়া হয়েছে এবং যেহেতু আপনার প্রশ্নটি বেশিরভাগ ধারণাগত, তাই আমি এখানে এটি পুনরায় চিত্রিত করব না।

এইভাবে সমঝোতার কাছে পৌঁছানোর বিষয়টি বোঝায় যে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম (যার মধ্যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি বিশেষ ক্ষেত্রে) রৈখিক ধ্রুবক-সহগমনীয় সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে (এলসিসিইডি'র) বীজগণিতীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করে তার অভ্যন্তরীণ অংশ। LCCODE এর বিশ্লেষণাত্মকভাবে ট্র্যাকটেবল করে তোলার জন্য এই জাতীয় রূপান্তর পাওয়া যায় যে কারণে তারা সংকেত প্রক্রিয়াকরণে অধ্যয়নরত হয় তার একটি বড় অংশ। উদাহরণস্বরূপ, ওপেনহাইম এবং স্ক্যাফারকে উদ্ধৃত করতে :

যেহেতু এগুলি গাণিতিকভাবে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করা তুলনামূলকভাবে সহজ এবং কারণ এগুলি দরকারী সংকেত প্রক্রিয়াকরণ কার্য সম্পাদন করার জন্য ডিজাইন করা যেতে পারে, তাই লিনিয়ার শিফট-ইনগ্রেন্ট সিস্টেমগুলির শ্রেণিটি ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হবে।

প্রশ্নের একটি উত্তর, হ'ল আপনি যদি খুব শীঘ্রই বা পরে এলটিআই সিস্টেমগুলি বিশ্লেষণ এবং / বা সংশ্লেষিত করার জন্য রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করেন, তবে সিদ্ধান্তটি উত্থাপিত হবে (হয় স্পষ্টভাবে বা স্পষ্টভাবে)। দ্রষ্টব্য যে সমঝোতা প্রবর্তন এই পদ্ধতির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রসঙ্গে খুব মান। উদাহরণস্বরূপ, আর্থার ম্যাটটকের এই এমআইটি বক্তৃতাটি দেখুন । বেশিরভাগ উপস্থাপনা হয় মন্তব্য ছাড়াই কনভ্যুশনাল ইন্টিগ্রাল উপস্থাপন করে, তার বৈশিষ্ট্যগুলি (যেমন এটি একটি টুপি থেকে টানুন) অর্জন করবে, বা অখণ্ডের অদ্ভুত রূপ সম্পর্কে হেম এবং হউ, উল্টানো এবং টেনে আনার বিষয়ে কথা বলা, সময়-বিপরীত ইত্যাদি ইত্যাদি etc ।

আমি প্রফেসর ওসগুডের পদ্ধতির পছন্দ করার কারণটি হ'ল এটি সমস্ত তুষারিসকে এড়িয়ে চলার পাশাপাশি আমার মতে, গণিতবিদরা সম্ভবত এই ধারণাটিতে প্রথম স্থানটিতে এসেছিলেন তার গভীর অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছিলেন। এবং আমি উদ্ধৃতি:

আমি বলেছিলাম, "টাইম ডোমেনে এফ এবং জি সংযুক্ত করার কোনও উপায় আছে, যাতে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে বর্ণালীগুলি বহুগুণ হয়, ফুরিয়ার বহুগুণ রূপান্তর করে?" এবং উত্তর হ্যাঁ, এই জটিল অবিচ্ছেদ্য দ্বারা আছে। এটা এতটা সুস্পষ্ট নয়। আপনি সকালে বিছানা থেকে উঠবেন না এবং এটি লিখবেন না, এবং আশা করুন যে এটি এই সমস্যার সমাধান করবে। কিভাবে আমরা তা পেতে পারি? আপনি বলেছিলেন, ধরুন সমস্যাটি সমাধান হয়ে গেছে, কী ঘটবে তা দেখুন এবং তারপরে বিজয় ঘোষণার সময় আমাদের চিনতে হবে। এবং এখনই বিজয় ঘোষণার সময়।

এখন, একটি দুর্বল গণিতবিদ হওয়ার কারণে, আপনি আপনার ট্র্যাকগুলি আবরণ করুন এবং বলবেন, "ভাল, আমি কেবল এই সূত্রের দ্বারা দুটি ফাংশনের সংশ্লেষ সংজ্ঞায়িত করতে যাচ্ছি।"

এলটিআই সিস্টেমস

বেশিরভাগ ডিএসপি পাঠ্যে, কনভোলশনটি সাধারণত অন্যভাবে উপস্থাপিত হয় (এটি রূপান্তর পদ্ধতির কোনও রেফারেন্স এড়ায়)। আকার এবং স্থানান্তরিত ইউনিট আবেগগুলির যোগফল হিসাবে একটি সালিশী ইনপুট সিগন্যাল প্রকাশ করে ,$x(n)$

$$x(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)\delta(n - k)}, \tag{1}$$

কোথায়

$$\delta(n) = \begin{cases} 0, & n \ne 0 \\ 1, & n = 0, \end{cases} \tag{2}$$

নির্ধারক বৈশিষ্ট্য রৈখিক সময় পরিবর্তিত ব্যবস্থা সরাসরি একটি সংবর্তন প্রৈতি প্রতিক্রিয়া জড়িত সমষ্টি নেতৃত্ব । যদি এলটিআই অপারেটর এল দ্বারা সংজ্ঞায়িত সিস্টেমটি y ( n ) = L [ x ( n ) ] হিসাবে প্রকাশ করা হয় , তবে প্রতিস্থাপনীয় বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে, যেমন লৈখিকতা$h(n) = L[\space \delta(n) \space]$$L$$y(n) = L[\space x(n)\space]$

$$\overbrace{L[\space ax_1(n) + bx_2(n)\space ]}^\text{Transform of the sum of scaled inputs} = \overbrace{aL[\space x_1(n)\space ] + bL[\space x_2(n)\space ]}^\text{Sum of scaled transforms} , \tag{3}$$

এবং সময় / শিফট চালান

$$L[\space x(n) \space] = y(n) \space \xrightarrow{\text{implies}} L[\space x(n-k) \space] = y(n-k), \tag{4}$$

সিস্টেমটি আবার লিখতে পারে

$$y(n) = \overbrace{L\left[ \sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)\delta(n - k)}\right]}^\text{Tranform of the sum of scaled inputs} = \overbrace{\sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)L[\delta(n - k)]}}^\text{Sum of scaled transforms} = \overbrace{\sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)h(n-k) }. }^\text{Convolution with the impulse response}$$

প্রত্যয় উপস্থাপনের এটি একটি খুব স্ট্যান্ডার্ড উপায় এবং এটির সম্পর্কে এটি পুরোপুরি মার্জিত এবং দরকারী উপায়। একই derivations খুঁজে পাওয়া যেতে পারে Oppenheim এবং শেফার , Proakis এবং Manolakis , Rabiner এবং গোল্ড , এবং আমি নিশ্চিত অনেকে আছি। দিলীপ তাঁর চমৎকার উত্তরে এখানে কিছু গভীর অন্তর্দৃষ্টি [যা প্রমিত পরিচিতির চেয়ে আরও বেশি এগিয়ে যায়] দিয়েছেন ।

তবে দ্রষ্টব্য যে এই ব্যয়টি কিছুটা যাদু কৌশল। সিগন্যালটি কীভাবে পচে যায় সে সম্পর্কে আরও একবার নজর রেখে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি ইতিমধ্যে একটি সমঝোতার আকারে রয়েছে। যদি$\left(1\right)$

$$\overbrace{(f * g)(n)}^\text{f convolved with g} = \sum_{k=-\infty}^\infty{f(k)g(n-k)},$$

তারপর শুধু এক্স * δ । কারণ ব-দ্বীপ ফাংশন পরিচয় উপাদান সংবর্তন জন্য, কোনো সংকেত বলে যে আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে যে কোন সংখ্যার বলছে মত অনেক এন যেমন প্রকাশ করা যেতে পারে এন + + 0 বা এন × 1 । এখন, সেভাবে সংকেতগুলি বর্ণনা করা বাছাই করা উজ্জ্বল কারণ এটি সরাসরি অনুপ্রেরণার প্রতিক্রিয়ার ধারণার দিকে পরিচালিত করে - এটি ঠিক যে সমঝোতার ধারণাটি ইতিমধ্যে সংকেতের পচন ধরে "বেকড" হয়ে গেছে।$\left(1\right)$$x * \delta$$n$$n + 0$$n \times 1$

এই দৃষ্টিকোণ থেকে, কনভলশনটি একটি ডেল্টা ফাংশনের ধারণার সাথে সম্পর্কিত (যেমন এটি একটি বাইনারি অপারেশন যার ডেল্টাটির পরিচয় উপাদান হিসাবে রয়েছে)। সমঝোতার সাথে সম্পর্কিত হওয়ার বিষয়টি বিবেচনা না করেও, সংকেতের বিবরণটি ব-দ্বীপ ফাংশনের ধারণার উপর নির্ভর করে। সুতরাং প্রশ্নটি তখন হয়ে যায়, আমরা ডেল্টা ফাংশনটির ধারণাটি প্রথম স্থানে কোথায় পেয়েছি? যতদূর আমি বলতে পারি, এটি কমপক্ষে ফিউরির এর গবেষণামূলক গবেষণামূলক তাত্ত্বিক তাপের পেপার হিসাবে যায় যেখানে এটি স্পষ্টভাবে উপস্থিত হয়। আরও তথ্যের জন্য একটি উত্স হ'ল আলেজান্দ্রো ডোমঙ্গুয়েজের উত্সকরণ এবং ইতিহাসের কনভোলিউশনের ইতিহাস সম্পর্কিত এই কাগজ ।

লিনিয়ার সিস্টেম তত্ত্বের প্রসঙ্গে ধারণাগুলির কাছে এখন দুটি মূল পন্থা those একটি বিশ্লেষণাত্মক অন্তর্দৃষ্টি, অন্যটি সংখ্যাগত সমাধানের পক্ষে। আমি মনে করি উভয়ই সমঝোতার গুরুত্বের পূর্ণ চিত্রের জন্য দরকারী। যাইহোক, বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে লিনিয়ার সিস্টেমগুলিকে পুরোপুরি অবহেলা করা একটি ধারণা রয়েছে যার মধ্যে বোঝাটি অনেক পুরানো ধারণা।

বহুপদী গুণ

এই ধারণাটির একটি ভাল উপস্থাপনা যে পৃথক কনভলিউশনটি কেবল বহুবচনীয় গুণান্বিত হয় গিলবার্ট স্ট্র্যাং এই বক্তৃতাটি প্রায় 5:46-এর দিকে শুরু করেছেন। সেই দৃষ্টিকোণ থেকে ধারণাটি অবস্থানগত নম্বর সিস্টেমের প্রবর্তনের সমস্ত পথে ফিরে যায় (যা সংখ্যাকে বহুপদী হিসাবে উপস্থাপন করে)। যেহেতু জেড-ট্রান্সফর্মটি জেড-এ বহুপদী হিসাবে সংকেতগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে, ততই প্রসঙ্গে দৃ conv়প্রকাশ ঘটবে - এমনকি যদি জেড-ট্রান্সফর্মটি জটিল বিশ্লেষণের আশ্রয় না করে এবং / বা ল্যাপ্লেসের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিলম্ব অপারেটর হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয় তবে if রূপান্তর ।

Comments

স্যার আপনার অমূল্য গাইডেন্সের জন্য ধন্যবাদ, আপনি আমাকে অনুসরণ করার সঠিক উপায়টি দেখিয়েছেন। আপনার এই সহায়তা আমাকে শিখিয়েছে যে কীভাবে অন্যের জন্য ভাল মানুষ হতে শুরু করা যায় .... :)

— মায়াঙ্ক তিওয়ারি

এই মহান কাকতালীয় বিষয়টি কীভাবে ব্যাখ্যা করবে যে আপনার জিজ্ঞাসাবাদে আপনার দৃ conv় প্রত্যয়টি করা উচিত? আমি বিশ্বাস করি যে প্রতিটি ডোমেনে, এমন একটি ক্রিয়াকলাপ ঘটে যা যখন আপনি যুক্তিগুলিকে সময় ডোমেনে রূপান্তরিত করেন তখন তা দৃ .়তায় পরিণত হয়। প্রতিক্রিয়া পেতে আমাদের কি সময় ডোমেনের মধ্যে বিদ্রূপ করা দরকার? সময় সাফ করার পরিবর্তে আমাদের কেন ফ্রিকোয়েন্সিগুলি গুণ করা উচিত?

— Val,

এলটিআই সিস্টেমগুলির ক্ষেত্রে ওপিতে ইতিমধ্যে প্রশ্নগুলির প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে এই বিষয়টি বিবেচনা করে , আমি প্রশ্নটি তাকে ব্যবহার করে পড়েছিলাম যেখানে উদাহরণস্বরূপ সিদ্ধান্তটি কোথা থেকে আসে সে সম্পর্কে উত্সাহিত করার জন্য - কোনও প্ররোচনা গণনা করার জন্য অগত্যা তার ভূমিকা নয়? প্রতি সে। তুমি কি তাই জিজ্ঞাসা করছ?

— ডেটাজিস্ট

এই বলে যে আমাদের সমঝোতা হওয়া দরকার কারণ এটি গুণ গুণকে অভিন্ন বলে মনে হয় আমাদের ক্ষেত্রে কেন ফুরিয়ার গুণকের প্রয়োজন। যখন আমাদের প্ররোচিত প্রতিক্রিয়া দেওয়া হয়, এর অর্থ ফুরিয়ার ভিত্তিতে কোনও কালো যাদু না হয়ে সময় ডোমেন এবং সমঝোতার অর্থ। আমি মনে করি না যে এই প্রশ্নের রেফারেন্সটি এটি পরিষ্কার করে দিতে পারে। যে কোনও ক্ষেত্রে, সাধারণ, মৌলিক (অর্থাত্ ফাইলোসোফিকাল) প্রশ্নের "স্থানীয়করণের উত্তর" দেওয়া ভাল নয়। প্রশ্নোত্তর অবশ্যই ভবিষ্যতের দর্শকদের জন্য কার্যকর হতে পারে।

— Val,

উপরের ভ্যালির মন্তব্যটি লক্ষ্যমাত্রায় সঠিক। আমি অবাক হই যে ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি আবিষ্কার / আবিষ্কার করার আগে লিনিয়ার সিস্টেমগুলি কীভাবে কাজ করেছিল worked পৃথিবীতে কীভাবে একটি অ-সংবেদনশীল নির্জীব বস্তু এত জটিল সূত্র আবিষ্কার করেছিল?

— দিলীপ সরোতে

Answer 2

আমি একবার উইকিপিডিয়া সমঝোতা আলোচনা পৃষ্ঠায় উত্তরটি দিয়েছিলাম, যা মূলত একই প্রশ্নটি করেছিল: সময় বিপরীতমুখী কেন? । দর্শনটি হ'ল আপনি নিজের ফিল্টারে 0 সময় একক নাড়ি প্রয়োগ করেন এবং 0,1,2,3,4, ... এর সময়ে এর প্রতিক্রিয়া রেকর্ড করুন। মূলত, প্রতিক্রিয়াটি একটি ফাংশনের মতো দেখবে, h (টি)। আপনি এটি চক্রান্ত করতে পারেন। নাড়ি যদি n গুণ বেশি বা তার চেয়ে বেশি হয় তবে প্রতিক্রিয়া ডালগুলি আনুপাতিকভাবে লম্বা হবে (এটি কারণ লিনিয়ার ফিল্টারটি সর্বদা ধরে নেওয়া হয়)। এখন, সমস্ত ডিএসপি (এবং কেবল ডিএসপি নয়) আপনি যখন নিজের সিগন্যালে ফিল্টারটি প্রয়োগ করেন তখন কী হয়? আপনি আবেগ প্রতিক্রিয়া জানেন। আপনার সিগন্যাল (বিশেষত ডিজিটাল) উচ্চতা x (টি) এর ডালগুলির সিরিজ ছাড়া আর কিছুই নয়। এটা তোলে উচ্চতা / মূল্য আছে সময়ে $x$$t$। লিনিয়ার সিস্টেমগুলি দুর্দান্ত যে আপনি ইনপুট ফাংশন এক্স (টি) এর প্রতিক্রিয়া ফাংশন y (টি) পেতে প্রতিটি যেমন ইনপুট পালসের আউটপুট যোগ করতে পারেন। আপনি জানেন যে আউটপুট ডাল y (t = 10) অবিলম্বে ইনপুট x (10) এর উপর নির্ভর করে, যা h (0) * x (10) অবদান রাখে। তবে পূর্বের নাড়ি থেকে এক্স (9) * এইচ (1) এর অবদান, এক্স (9), এবং এমনকি পূর্ববর্তী ইনপুট মানগুলি থেকে অবদান রয়েছে। আপনি দেখুন, আপনি পূর্ববর্তী ইনপুটগুলি থেকে অবদান যুক্ত করার সাথে সাথে এক সময়ের যুক্তি হ্রাস পায় এবং অন্যটি বৃদ্ধি পায়। আপনি y (10) = h (0) * x (10) + ঘ (1) * এক্স (9) + এইচ (2) * এক্স (8) +… তে সমস্ত অবদান ম্যাক করতে পারেন , এটি একটি রূপান্তর is

আপনি y (টি), h (টি) এবং এক্স (টি) ভেক্টর হিসাবে ফাংশনগুলি ভাবতে পারেন। ম্যাট্রিকগুলি লিনিয়ার বীজগণিতের অপারেটর। তারা ইনপুট ভেক্টর (সংখ্যার একটি সিরিজ) নেয় এবং আউটপুট ভেক্টর (সংখ্যার আরও একটি সিরিজ) উত্পাদন করে। এই ক্ষেত্রে, y হল ভেক্টর এক্স সহ কনভলিউশন ম্যাট্রিক্সের পণ্য,

$\vec y = \begin{bmatrix}y_0\\y_1\\y_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}h_0 & 0 & 0 & \cdots \\ h_1 & h_0 & 0 & \cdots \\ h_2 & h_1 & h_0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0\\x_1\\x_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = H \vec x$

এখন, কারণ কনভ্যুশনটি একটি টোপলিটজ ম্যাট্রিক্স , এটির ফুরিয়ার ইগেনবাসিস রয়েছে এবং তাই, কনভোলশন অপারেটর (লিনিয়ার অপারেটরগুলি ম্যাট্রিকেস দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তবে ম্যাট্রিক্স এছাড়াও ভিত্তিতে নির্ভর করে) ফুরিয়ার ডোমেনের একটি দুর্দান্ত তির্যক ম্যাট্রিক্স,

$\vec Y = \begin{bmatrix}Y_0\\Y_1\\Y_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_1 & 0 & \cdots \\0 & 0 & \lambda_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_0\\X_1\\X_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = diag(H)\vec X$

দ্রষ্টব্য, আরও অনেক শূন্য এবং এইভাবে, আরও সহজ গণনা। এই ফলাফলটি "কনভলিউশন উপপাদ্য" হিসাবে পরিচিত এবং প্রথম প্রতিক্রিয়া হিসাবে উত্তর দেওয়া হয়েছে, এটি ফুরিয়ার ডোমেনে অনেক সহজ। তবে, এটি "কনভলিউশন উপপাদ্য", ফুরিয়ার ভিত্তি এবং লিনিয়ার অপারেটরগুলির পরিবর্তে সর্বজনীন প্রয়োজনের পরিবর্তে ফাইলোসফি।

সাধারণত, আপনি সমঝোতা করেন কারণ আপনার ইনপুট সিগন্যাল, অনুপ্রেরণামূলক প্রতিক্রিয়া এবং সময় ডোমেনে আউটপুট প্রয়োজন। আপনি গণনা অপ্টিমাইজ করার জন্য ফুরিয়ার স্পেসে রূপান্তর করতে পারেন। তবে, এটি সাধারণ ফিল্টারগুলির জন্য ব্যবহারিক নয়, যেমনটি আমি ডিএসপিগুইডে দেখেছি । যদি আপনার ফিল্টারটি মতো দেখায়$y[currentTime] = k_1 x[time-1] + k_2 x(time-2) + b * y[time-1]$

Comments

একটি দম্পতি নোট করেছেন: অবিচ্ছিন্ন সময়ের ক্ষেত্রে (যা স্পষ্টতই বিযুক্ত-সময় মামলার আগে এসেছিল) আপনি কীভাবে এই বিবরণটি প্রসারিত করবেন? এছাড়াও, অনেকগুলি রিয়েল-টাইম অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যা দ্রুত সমঝোতার জন্য ফুরিয়ার-ট্রান্সফর্ম-ভিত্তিক পদ্ধতি ব্যবহার করে। রিয়েল-টাইম অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য আউটপুটগুলি সর্বদা এক সময় গণনা করা হয় তা বলা ঠিক নয়।

— জেসন আর

এই কথাটি বলেই, চমৎকার কাজটি বোঝাচ্ছে যে কনভলিউশন ম্যাট্রিক্সের টোপলিটজ কাঠামোটি বোঝায় যে এটি ফুরিয়ার ভিত্তিতে তির্যক প্রতিনিধিত্ব স্বীকার করে।

— জেসন আর

হ্যাঁ, আপনি কি রিয়েল-টাইমে ফুরিয়ার ট্রান্সফ্রোম ব্যবহার করতে পারেন? আমি ডিএসপি বিশেষজ্ঞ হতে অনেক দূরে। আমি সবেমাত্র ধারণাটি প্রকাশ করেছি (যা আমি আমার দুর্লভ অনুশীলন এবং ডিএসপিগুইড পড়া থেকে পেয়েছি)। যাইহোক, আমি হাইলাইট করতে চাই যে ফুরিয়ারের বোঝার ফাইলোসফির সাথে কোনও সম্পর্ক নেই। হতে পারে আমার চূড়ান্ত-সংক্রান্ত সমস্ত আলোচনা সরিয়ে ফেলতে হবে, কারণ এটি বিভ্রান্তিকর। সময় ডোমেনে কনভ্যোলিউশনটি প্রাকৃতিক এবং কোনও ফুরিয়ার ছাড়াই প্রয়োজন, ফুরিয়ার যত শীতল হোক না কেন।

— Val,

$\int f(x)dx$$\int f(x)dx = \lim_{dx \to 0} (\sum f(x) dx)$

@ জেসনআর অবিচ্ছিন্ন সেটিংয়ে আপনি টোপলিটজ ম্যাট্রিক্সকে শিফট-ইনভেআরেন্ট অপারেটর দ্বারা প্রতিস্থাপন করবেন। তারপরে আপনি ফুরিয়ার ভিত্তি ফাংশনগুলি এই অপারেটরটিকে তির্যক করে তুলতে পারেন।

— lp251

Answer 3

যদিও পূর্বের উত্তরগুলি সত্যিই ভাল ছিল, আমি দৃ conv়প্রত্যয় সম্পর্কে আমার দৃষ্টিভঙ্গি যুক্ত করতে চাই যেখানে পরিসংখ্যানগুলির কারণে আমি ভিজ্যুয়ালাইজেশনকে আরও সহজ করে তুলেছি।

One wonders if there is any method through which an output signal of a system can be determined for a given input signal. Convolution is the answer to that question, provided that the system is linear and time-invariant (LTI).

Assume that we have an arbitrary signal $s[n]$. Then, $s[n]$ can be decomposed into a scaled sum of shifted unit impulses through the following reasoning. Multiply $s[n]$ with a unit impulse shifted by $m$ samples as $\delta[n-m]$. Since $\delta[n-m]$ is equal to 0 everywhere except at $n=m$, this would multiply all values of $s[n]$ by 0 when $n$ is not equal to $m$ and by 1 when $n$ is equal to $m$. So the resulting sequence will have an impulse at $n=m$ with its value equal to $s[m]$. This process is clearly illustrated in Figure below.

$\hspace{2cm}$

This can be mathematically written as

$$\begin{equation*} s[n] \delta [n-m] = s[m] \delta [n-m] \end{equation*}$$ Repeating the same procedure with a different delay $m'$ gives $$\begin{equation*} s[n] \delta [n-m'] = s[m'] \delta [n-m'] \end{equation*}$$

The value $s[m']$ is extracted at this instant. Therefore, if this multiplication is repeated over all possible delays $-\infty < m < \infty$, and all produced signals are summed together, the result will be the sequence $s[n]$ itself.

$$\begin{align} s[n]&= \cdots + s[-2]\delta[n+2] + s[-1]\delta[n+1] + \nonumber \\ &\quad\quad\quad\quad\quad s[0]\delta[n] + s[1]\delta[n-1] + s[2]\delta[n-2] + \cdots \nonumber \\ &= \sum \limits _{m = -\infty} ^{\infty} s[m] \delta[n-m] \label{eqIntroductionSeqImpulses} \end{align}$$

In summary, the above equation states that $s[n]$ can be written as a summation of scaled unit impulses, where each unit impulse $\delta[n-m]$ has an amplitude $s[m]$. An example of such a summation is shown in Figure below.

$\hspace{3cm}$

Consider what happens when it is given as an input to an LTI system with an impulse response $h[n]$.

This leads to an input-output sequence as

During the above procedure, we have worked out the famous convolution equation that describes the output $r[n]$ for an input $s[n]$ to an LTI system with impulse response $h[n]$.

Convolution is a very logical and simple process but many DSP learners can find it confusing due to the way it is explained. We will describe a conventional method and another more intuitive approach.

Conventional Method

---

Most textbooks after defining the convolution equation suggest its implementation through the following steps. For every individual time shift $n$,

[Flip] Arranging the equation as $r[n] = \sum _{m = -\infty} ^{\infty} s[m] h[-m+n]$, consider the impulse response as a function of variable $m$, flip $h[m]$ about $m = 0$ to obtain $h[-m]$.

[Shift] To obtain $h[-m+n]$ for time shift $n$, shift $h[-m]$ by $n$ units to the right for positive $n$ and left for negative $n$.

[Multiply] Point-wise multiply the sequence $s[m]$ by sequence $h[-m+n]$ to obtain a product sequence $s[m]\cdot h[-m+n]$.

[Sum] Sum all the values of the above product sequence to obtain the convolution output at time $n$.

[Repeat] Repeat the above steps for every possible value of $n$.

An example of convolution between two signals $s[n] = [2\hspace{1mm}-\hspace{-1mm}1\hspace{2mm} 1]$ and $h[n] = [-1\hspace{2mm} 1\hspace{2mm} 2]$ is shown in Figure below, where the result $r[n]$ is shown for each $n$.

Note a change in signal representation above. The actual signals $s[n]$ and $h[n]$ are a function of time index $n$ but the convolution equation denotes both of these signals with time index $m$. On the other hand, $n$ is used to represent the time shift of $h[-m]$ before multiplying it with $s[m]$ point-wise. The output $r[n]$ is a function of time index $n$, which was that shift applied to $h[-m]$.

Next, we turn to the more intuitive method where flipping a signal is not required.

Intuitive Method

---

There is another method to understand convolution. In fact, it is built on the derivation of convolution equation, i.e., find the output $r[n]$ as

$$\begin{align} r[n] ~ &= ~ \cdots + \nonumber \\ &\qquad\quad s[-2]\cdot h[n+2] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \quad\quad\quad s[-1]\cdot h[n+1] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\quad \quad\quad \quad s[0]\cdot h[n] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \quad \qquad\qquad\qquad \quad \quad\quad~ s[1]\cdot h[n-1] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad\quad\quad \quad~ s[2]\cdot h[n-2] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad \cdots \label{eqIntroductionConvolution3} \end{align}$$ Let us solve the same example as in the above Figure, where $s[n] = [2\hspace{1mm}-~\hspace{-2mm}1\hspace{2mm} 1]$ and $h[n] = [-1\hspace{2mm} 1\hspace{2mm} 2]$. This is shown in Table below.

$\hspace{3cm}$

Such a method is illustrated in Figure below. From an implementation point of view, there is no difference between both methods.

$\hspace{3cm}$

To sum up, convolution tells us how an LTI system behaves in response to a particular input and thanks to intuitive method above, we can say that convolution is also multiplication in time domain (and flipping the signal is not necessary), except the fact that this time domain multiplication involves memory. To further understand at a much deeper level where flipping comes from, and what happens in frequency domain, you can download a sample section from my book here.