চলমান গড় ফিল্টারের কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সিটি কী?

আমার একটি চলন্ত গড় ফিল্টার ডিজাইন করতে হবে যার কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সি H.৮ হার্জ হয়। আমি আগে চলন্ত গড় ফিল্টার ব্যবহার করেছি, তবে যতদূর আমি সচেতন, কেবলমাত্র পরামিতিই খাওয়ানো যেতে পারে পয়েন্টের গড় গড় সংখ্যা ... এটি কীভাবে কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সিটির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে?

7.8 Hz এর বিপরীতটি হ'ল 130 ডলার, এবং আমি 1000 Hz তে নমুনাযুক্ত ডেটা নিয়ে কাজ করছি। এটি কি বোঝায় যে আমার ১৩০ টি নমুনার চলমান গড় ফিল্টার উইন্ডো আকারটি ব্যবহার করা উচিত, বা আমি এখানে অন্য কিছু মিস করছি?

moving-average

— CaptainProg
সূত্র

আপনার প্রথমে আপনার "কাট-অফ" বোঝার সংজ্ঞা দেওয়া উচিত। যদি এটি উপরে (নীচের) শেষের ফ্রিকোয়েন্সি হয় যা ফিল্টারের প্রতিক্রিয়া শূন্য হয়, তবে উত্তরটি "কোনও কিছুই নয়", যেহেতু চলন্ত গড় ফিল্টারটির কার্নেলের একটি সীমাবদ্ধ সমর্থন থাকে এবং সসীম তরঙ্গগুলি অসীম ফুওরির চিত্রগুলিতে রূপান্তর করে।

— এমবাইটফ

মুভিং এভারেজ ফিল্টার হ'ল টাইম ডোমেইনে ব্যবহৃত শব্দটি মুছে ফেলার জন্য এবং সেইসাথে স্মুথ করার উদ্দেশ্যে ব্যবহার করা ফিল্টার তবে আপনি যদি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একই চলন্ত গড় ফিল্টারটি ফ্রিকোয়েন্সি বিচ্ছেদের জন্য ব্যবহার করেন তবে কর্মক্ষমতা সবচেয়ে খারাপ হবে ...... সুতরাং

উত্তর:

চলন্ত গড় ফিল্টার (কখনও কখনও বাক্সকার ফিল্টার হিসাবে কথোপকথন হিসাবে পরিচিত ) এর একটি আয়তক্ষেত্রাকার ইমপ্লাস প্রতিক্রিয়া রয়েছে:

জ [এন] = \frac{1}{এন} Σ_{ট = 0}^{এন - 1} δ [এন - ট]

$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$

বা, অন্যভাবে বলা হয়েছে:

জ [এন] = {\begin{cases} \frac{1}{এন}, & 0 \leq এন < এন \\ 0, & অন্যভাবে \end{cases}

$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$

মনে রাখবেন যে একটি বিচ্ছিন্ন-সময় ব্যবস্থার ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটি তার প্রেরণামূলক প্রতিক্রিয়ার স্বতন্ত্র-সময়ের ফুরিয়ার রূপান্তরের সমান , আমরা নীচে এটি গণনা করতে পারি:

\begin{aligned} এইচ (ω) & = Σ_{এন = - \infty}^{\infty} এক্স [এন] ই^{- ঞ ω এন} \\ = \frac{1}{এন} Σ_{এন = 0}^{এন - 1} ই^{- ঞ ω এন} \end{aligned}

$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$

এটি সহজ করার জন্য, আমরা জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম পদগুলির যোগফলের $N$ জন্য পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি :

Σ_{এন = 0}^{এন - 1} ই^{- ঞ ω এন} = \frac{1 - ই^{- ঞ ω এন}}{1 - ই^{- ঞ ω}}

$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$

আমরা আপনার ক্ষেত্রে যে বিষয়ে সবচেয়ে বেশি আগ্রহী তা হ'ল ফিল্টারটির দৈর্ঘ্য প্রতিক্রিয়া, । বেশ কয়েকটি সহজ ম্যানিপুলেশন ব্যবহার করে আমরা এটি সহজ-অনুধাবন ফর্মটিতে পেতে পারি: $|H(\omega)|$

\begin{aligned} এইচ (ω) & = \frac{1}{এন} Σ_{এন = 0}^{এন - 1} ই^{- ঞ ω এন} \\ = \frac{1}{এন} \frac{1 - ই^{- ঞ ω এন}}{1 - ই^{- ঞ ω}} \\ = \frac{1}{এন} \frac{ই^{- ঞ ω এন / 2}}{ই^{- ঞ ω / 2}} \frac{ই^{ঞ ω এন / 2} - ই^{- ঞ ω এন / 2}}{ই^{ঞ ω / 2} - ই^{- ঞ ω / 2}} \end{aligned}

$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$

এটি বুঝতে আরও সহজ মনে হচ্ছে না। তবে, অয়লারের পরিচয়ের কারণে এটি মনে করুন:

পাপ (ω) = \frac{ই^{ঞ ω} - ই^{- ঞ ω}}{ঞ 2}

$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$

অতএব, আমরা উপরের হিসাবে লিখতে পারেন:

\begin{aligned} এইচ (ω) & = \frac{1}{এন} \frac{ই^{- ঞ ω এন / 2}}{ই^{- ঞ ω / 2}} \frac{ঞ 2 পাপ (\frac{ω এন}{2})}{ঞ 2 পাপ (\frac{ω}{2})} \\ = \frac{1}{এন} \frac{ই^{- ঞ ω এন / 2}}{ই^{- ঞ ω / 2}} \frac{পাপ (\frac{ω এন}{2})}{পাপ (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$

যেমনটি আমি আগেই বলেছি, আপনি যা সম্পর্কে সত্যিই উদ্বিগ্ন তা হ'ল ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটির পরিমাণ। সুতরাং, আমরা আরও সহজ করার জন্য উপরেরটির দৈর্ঘ্যটি নিতে পারি:

| এইচ (ω) | = \frac{1}{এন} | \frac{পাপ (\frac{ω এন}{2})}{পাপ (\frac{ω}{2})} |

$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$

দ্রষ্টব্য: আমরা ক্ষতিকারক পদগুলি বাদ দিতে সক্ষম হয়েছি কারণ তারা ফলাফলের প্রবণতাকে প্রভাবিত করে না; সব মানের জন্য । যেহেতু যে কোনও দুটি সীমাবদ্ধ জটিল সংখ্যার এবং , আমরা উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারি যে ক্ষতিকারক পদগুলির উপস্থিতি সামগ্রিক মাত্রার প্রতিক্রিয়াকে প্রভাবিত করে না (পরিবর্তে, তারা সিস্টেমের পর্বের প্রতিক্রিয়াটিকে প্রভাবিত করে)। $|e^{j\omega}| = 1$ $\omega$ $|xy| = |x||y|$ $x$ $y$

দৈর্ঘ্যের বন্ধনীগুলির মধ্যে ফলস্বরূপ কার্য একটি ডিরিচলেট কার্নেলের একটি রূপ । এটি কখনও কখনও পর্যায়ক্রমিক সিন সিন ফাংশন বলা হয়, কারণ এটি কিছুটা চেহারাতে সিন্স ফাংশনটির অনুরূপ , তবে পরিবর্তে পর্যায়ক্রমিক হয়।

যাইহোক, যেহেতু কাট অফের ফ্রিকোয়েন্সিটির সংজ্ঞাটি কিছুটা আন্ডারস্পাইফাইড (-3 ডিবি পয়েন্ট? -6 ডিবি পয়েন্ট? প্রথম সিডেলোব নাল?) তাই আপনার যা প্রয়োজন তা সমাধান করার জন্য আপনি উপরের সমীকরণটি ব্যবহার করতে পারেন। বিশেষত, আপনি নিম্নলিখিতগুলি করতে পারেন:

সেট আপনি কাটফফ ফ্রিকোয়েন্সিতে ফিল্টার প্রতিক্রিয়া অনুযায়ী যে মানটি চান তা অনুসারে। $|H(\omega)|$
সেট করুন সমতুল্য কাটার অফ ফ্রিকোয়েন্সি। বিচ্ছিন্ন-সময় ডোমেনে একটি অবিচ্ছিন্ন সময় ফ্রিকোয়েন্সি মানচিত্র করতে, মনে রাখবেন যে $\omega$ , যেখানেহল আপনার নমুনার হার। $\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$ $f_s$
এর মান সন্ধান করুন যা আপনাকে সমীকরণের বাম এবং ডানদিকে সেরা চুক্তি দেয়। এটি আপনার চলমান গড়ের দৈর্ঘ্য হওয়া উচিত। $N$

— জেসন আর
সূত্র

আমার হিসেব অনুসারে, এটি একটি 'হ্যাঁ'? আমি যতদূর বলতে পারি, ১৩০ টি নমুনা N ω = 7.8 এর সাথে মানানসই, তবে আমি কোনও গণিতবিদ নন।

— ক্যাপ্টেনপ্রোগ

@ ক্যাপিটেনপ্রোগ: কেবলমাত্র আপনি নিশ্চিতভাবে বলতে পারেন; আপনি যে মাত্রার প্রতিক্রিয়াটি কাটার অফ ফ্রিকোয়েন্সিতে চেয়েছিলেন তা আমি নিশ্চিত নই।

— জেসন আর

আপনি এন এবং এন কি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন? প্রদত্ত নমুনা সংক্রান্ত ফ্রিকোয়েন্সি সহ একটি উদাহরণও খুব সহায়ক হবে। এটি সহজ শোনায় তবে এই প্রশ্নটি "মুভিং এভারেজ কাট অফ ফ্রিকোয়েন্সি" এর শীর্ষ ফলাফল, সুতরাং আমি নিশ্চিত যে আরও অনেক দর্শক রয়েছেন যারা ফিল্টারগুলির পিছনে গণিতের সংস্পর্শে চলে এসেছেন।

— এফভিডি

n

$n$

x [n]

$x[n]$

N

$N$

$N$ $F_{co}$ $N >= 2$ $F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

এর বিপরীত হয়

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

এই সূত্রটি বৃহত্তর এন এর জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে সঠিক, এবং এটি এন = 2 এর জন্য প্রায় 2% ত্রুটি, এবং এন> = 4 এর জন্য 0.5% এরও কম।

$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$ $\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$ $2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

উপরের সমস্তগুলি -3 ডিবি কাট অফ ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কিত, এই পোস্টের বিষয়।

কখনও কখনও স্টপ-ব্যান্ডে একটি ক্ষুদ্রতর প্রোফাইল পাওয়া আকর্ষণীয় হয় যা একটি প্রথম অর্ডার আইআইআর লো পাস ফিল্টার (একক মেরু এলপিএফ) এর সাথে প্রদত্ত -3 ডিবি কাট অফ ফ্রিকোয়েন্সি (যেমন এলপিএফকে ফাঁস ইন্টিগ্রেটারও বলা হয়,) এর সাথে তুলনাযোগ্য ডেস্কে একেবারে ডিসিতে নয়, কাছে রয়েছে)।

$F=k/N$ $1/f$ $1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

এই আইআইআর ফিল্টার হিসাবে যদি একইরকম শোনার ফিল্টারিং ক্ষমতা সহ কোনও এমএ ফিল্টার গ্রহণ করতে চায় এবং দুটি বর্ণের তুলনা করার পরে তিনি বুঝতে পারবেন যে এমএ ফিল্টারটির স্টপ ব্যান্ড রিপলটি শেষ হয় আইআইআর ফিল্টারটির নিচে 3 ডিবি।

আইআইআর ফিল্টার হিসাবে একই স্টপ-ব্যান্ড রিপল (যেমন একই শব্দ শক্তি সংশ্লেষণ) পেতে সূত্রগুলি নীচে পরিবর্তন করা যেতে পারে:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$

— মাসিমো
সূত্র

আমি আপনার সূত্রটি লেটেক্স ফর্ম্যাটে পরিবর্তন করেছি। দয়া করে ডাবল চেক করুন এবং নিশ্চিত করুন যে উভয়ই সঠিক। ধন্যবাদ।

— lennon310

আমি এখানে এই সান্নিধ্যের

— অলি

যতদূর আমি মনে করি আমি এই সূত্রটি সংখ্যার পদ্ধতিগুলি (ম্যাথমেটিকায় এনসলভ বা মাতলাব-তে অনুরূপ কিছু) এর মাধ্যমে উদ্ভূত করেছি, যা বৃহত্তর এন এর জন্য সংক্ষিপ্তভাবে সঠিক হওয়া উচিত you আপনি দিয়েছেন সংখ্যাটি প্রায় 3% বন্ধ , তাই আমি কী বলব তা নিশ্চিত নই।

— ম্যাসিমো

@ মাসিমো আমরা এবং অন্যান্য প্রশ্নে অন্যান্য অনুমানের বিষয়ে প্রচুর কাজ করেছি। আপনার যদি আরও দশমিক জায়গাগুলির প্রয়োজন হয় তবে এটি আপনার যাদু নম্বর: 0.442946470689452340308369

— অলি

M A (Ω) = S i n (Ω * N / 2) / S i n (Ω / 2)

$MA(\Omega) = Sin(\Omega*N/2) / Sin(\Omega/2)$

O m e g a = 2 * π * F

$Omega = 2*\pi*F$

M A (F) \approx N + 1 / 6 * F^{2} * (N - N^{3}) * π^{2}

$MA(F) \approx N+1/6*F^2*(N-N^3)*\pi^2$

1 / \sqrt{2}

$1/\sqrt{2}$