স্ট্র্যাসেন কীভাবে তাঁর ম্যাট্রিক্স গুণিত পদ্ধতিটি নিয়ে এসেছিলেন?

Question

বিখ্যাত স্ট্র্যাসেনের ম্যাট্রিক্স গুণিত অ্যালগরিদমটি আমাদের জন্য একটি বাস্তব ট্রিট, কারণ এটি theতিহ্যবাহী ও (এন ³ ) থেকে ও (এন ^2.8 ) সময়ের জটিলতা হ্রাস করে ।

তবে আমি যে সমস্ত সংস্থান দিয়েছি, তার মধ্যে এমনকি কার্মেন ​​এবং স্টিভেন স্কিয়েনার বই, তারা স্ট্র্যাসেন কীভাবে এ সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করেছিল তা স্পষ্ট করে জানায়নি।

স্ট্র্যাসেনের ম্যাট্রিক্স গুণিত অ্যালগরিদমের যুক্তি কী? এটি কি ভাগ্যবান দুর্ঘটনা বা এর মধ্যে আরও গভীর কিছু আছে?

Comments

আমাকে বলা হয়েছে কেউ সত্যিই জানে না, কিছুতেই মূলত জল্পনা ছিল। যাইহোক, আমি খুঁজে করেনি এই (যদিও আমি এটা পড়েছি) যা প্রযোজ্য হতে পারে।

— ডিউক্লিং

আমার মনে হয় স্ট্রেসেন অ্যালগ। উইকিপিডিয়াতে পরিষ্কার।

— মার্শালশি

@ মেশুয়াই আমি মনে করি যে এটি কেন কাজ করে তা ব্যাখ্যা করে , অন্যান্য সংস্থানগুলির মতো তিনি কীভাবে এটি চিন্তা করেছিলেন thought

— ডিউক্লিং

আপনি স্ট্র্যাসেনের

— এক্সেল

Answer 1

স্ট্র্যাসেন ছাড়াও স্ট্র্যাসেন কীভাবে তার ধারণা পেয়েছেন তা কেউ আপনাকে বলতে সক্ষম নয়। হাওবারে, আমি আপনাকে বলতে পারি, আপনি কীভাবে সেই সূত্রটি নিজে খুঁজে পেতে পারতেন — তবে আপনি বীজগণিত জ্যামিতি এবং উপস্থাপন তত্ত্বের প্রতি আগ্রহী হন। এটি আপনাকে স্ট্রাসেনের সূত্রটি যতটা পারে ঠিক তত ভাল বা আরও স্পষ্ট করে দেখানোর জন্য সরঞ্জামগুলি দেয় যে দুটি 2 × 2 ম্যাট্রিকের গুণমান 7 এর চেয়ে কম গুণগুলি ব্যবহার করার কোনও সূত্র নেই ।

আপনি যেহেতু ম্যাট্রিক্সের প্রতি আগ্রহী সেহেতু আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি মৌলিক লিনিয়ার বীজগণিত জানেন এবং আরও উন্নত বিশদগুলির জন্য কিছুটা ঝাপসা হয়ে উঠবেন।

প্রথমে E হতে যাক প্লেন থেকে একটি বিমানে সমস্ত রৈখিক মানচিত্রের সেট। এটি মূলত সমস্ত 2 × 2 ম্যাট্রিকের সেট, তবে আমরা একটি নির্দিষ্ট সমন্বিত সিস্টেমের কথা ভুলে যাই — কারণ, যদি "ডিফল্ট" এর চেয়ে আরও ভাল সমন্বয় ব্যবস্থা থাকত তবে আমরা ম্যাট্রিক্স গুণণের জন্য এটির আগ্রহী হতে পারতাম। আমরা বোঝাতে দ্বারা ই † দ্বৈত স্থান ই দ্বারা এক্স = পি (E⊗E † ⊗E †) প্রক্ষিপ্তভাবে টেন্সর পণ্যে যুক্ত স্থান E⊗E † ⊗E † ।

একটি উপাদান এক্স = পি (E⊗E † ⊗E †) বিশেষ ফর্ম [c⊗α⊗β] ম্যাট্রিক্স উপর একটি প্রাথমিক অপারেশন, যা, কিছু appopriate মধ্যে সিস্টেম তুল্য হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, একটি ম্যাট্রিক্স একটি সহগ সার্চ এ এবং একটি ম্যাট্রিক্স বি এর একটি সহগ এবং কিছু গুণমান সিতে এই সহগের গুণাগুণ লিখে । একটি সাধারণ উপাদান এক্স , এই প্রাথমিক অপারেশনের সংমিশ্রণ তাই পণ্যের π দুটি ম্যাট্রিক্সের থেকে একটি মানচিত্র হিসেবে বোঝা পি (ই) × পি (ই) থেকে পি (ই) একটি বিন্দু হল এক্স ।

সাধারণ ম্যাট্রিক্স পণ্য সূত্র এবং স্ট্র্যাসেনের সূত্রটি এই লিনিয়ার ক্রিয়াকলাপগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, সুতরাং আমাকে W element দ্বারা এই প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপগুলির সেট [c⊗α⊗β] বোঝাতে দিন এবং আমাকে জ্যামিতিকভাবে তাদের সংমিশ্রণগুলি বর্ণনা করতে দিন।

যাক W₂ বিভিন্ন হতে secants এর W₁ মধ্যে এক্স এটা দুই (জেনেরিক) পয়েন্ট মাধ্যমে লাইন যাচ্ছে ইউনিয়ন (এর অবসান) গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয় W₁ । দুটি এলেমেটরি অপারেশনের সমস্ত সংমিশ্রণের সেট হিসাবে আমরা এটিকে ভাবতে পারি।

যাক W₃ বিভিন্ন হতে কর্তক প্লেন এর W₁ মধ্যে এক্স এটা সব প্লেন তিন (জেনেরিক) পয়েন্ট দিয়ে যাচ্ছিলেন ইউনিয়ন (এর অবসান) গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয় W₁ । আমরা এটিকে তিনটি এলিমেটরি অপারেশনের সমস্ত সংমিশ্রণের সেট হিসাবে ভাবতে পারি।

একইভাবে, আমরা বৃহত্তর সূচকগুলির জন্য সেকেন্ট জাতগুলি সংজ্ঞায়িত করি। নোট যে এই জাতের বৃহত্তর এবং বৃহত্তর হত্তয়া হলো, W₁⊂W₂⊂W₃⊂ ⋯ অত: পর শাস্ত্রীয় ম্যাট্রিক্স পণ্য সূত্র অনুষ্ঠান ম্যাট্রিক্সের পণ্যের একটি বিন্দু W₈ । প্রকৃতপক্ষে

Proposition (Strassen) - এর ম্যাট্রিক্স পণ্য π মধ্যে মিথ্যা W₇।

যতদূর আমি জানি, স্ট্র্যাসেন জিনিসগুলিকে সেভাবে রাখেনি, তবে এটি এই প্রশ্নের জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি। কারণ এটি আপনাকে প্রমাণ Strassen এর সূত্র ভাল যে, যে, যে দেয় দেখুন এই বিন্দু, খুবই দরকারী π না থাকা না W₆ । এখানে বিকাশিত জ্যামিতিক পদ্ধতিগুলি বিস্তৃত সমস্যার জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে।

আমি আশা করি, আপনার কৌতূহলটি আমি ধরলাম। ল্যান্ডসবার্গ এবং ম্যানিভেলের এই নিবন্ধটি পড়ে আপনি আরও যেতে পারেন:

http://arxiv.org/abs/math/0601097

This আমি এই টাইপ ঠিক করব না, কারণ আমি খুব শীত পেয়েছিলাম।

Comments

এটি দেখানো বেশ সহজ যে 21 টি গুণ দ্বারা একটি (3x3) ম্যাট্রিক্স পণ্য করতে সক্ষম হওয়ায় একটি অ্যাসিম্পোটোটিক্যালি দ্রুত অ্যালগরিদম বাড়ে। কোন ধারণা যদি এটি সম্ভব / অসম্ভব / অজানা?

— gnasher729

Answer 2

আমাকে কেবল বাড়ির কাজের জন্য এটি করার দায়িত্ব দেওয়া হয়েছিল এবং আমি ভেবেছিলাম আমার একটি ঝরঝরে এপিফ্যানি রয়েছে: স্ট্রাসেনের অ্যালগোরিদম "গভীর" প্রাক-পূর্ববর্তী সংমিশ্রণগুলির বিনিময়ে কম ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করার জন্য তার প্রাক-সমষ্টি উপাদানগুলির "প্রশস্ততা" ত্যাগ করে এটি এখনও চূড়ান্ত উত্তর নিষ্কাশন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। (এটি বলার সেরা উপায় নয়, তবে এটি ব্যাখ্যা করা আমার পক্ষে কঠিন)।

" অপারেশন বনাম উপাদানগুলির " ভারসাম্যটি চিত্রিত করার জন্য আমি দুটি জটিল সংখ্যা একসাথে গুণনের উদাহরণ ব্যবহার করতে যাচ্ছি :

লক্ষ্য করুন যে আমরা 4 গুণগুলি ব্যবহার করি, যার ফলস্বরূপ 4 টি পণ্যের উপাদান :

নোট করুন যে আমরা দুটি চূড়ান্ত উপাদান চাই: জটিল সংখ্যার আসল এবং কল্পিত অংশগুলি আসলে লিনিয়ার সমীকরণ: সেগুলি ছোট আকারের পণ্যগুলির যোগফল। সুতরাং আমরা এখানে দুটি অপারেশন নিয়ে কাজ করছি: সংযোজন এবং গুণ।

আসল বিষয়টি হ'ল আমাদের 4 টি পণ্যের উপাদানগুলি আমাদের 2 চূড়ান্ত উপাদানগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যদি আমরা কেবল আমাদের উপাদানগুলি যুক্ত বা বিয়োগ করি:

তবে, আমাদের চূড়ান্ত 2 উপাদানগুলি পণ্যগুলির যোগফল হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে । আমি এখানে যা এলাম তা এখানে:

যদি আপনি দেখতে পান তবে আমাদের চূড়ান্ত দুটি করার জন্য আমাদের কেবলমাত্র 3 টি পৃথক পণ্য উপাদান প্রয়োজন :

কিন্তু অপেক্ষা করো! প্রতিটি বড় হাতের অক্ষরে নিজেরাই পণ্য! তবে ক্যাচটি হ'ল আমরা জানি যে আমরা (এ + বি + সি + ডি) (এ + বি) (সি + ডি) থেকে উত্পন্ন করতে পারি, যা কেবল ১ গুণ lic

সুতরাং শেষ অবধি, আমাদের অ্যালগরিদম কম ব্যবহারের জন্য অনুকূল, তবে "ফ্যাটার" উপাদান রয়েছে, যেখানে আমরা আরও সংখ্যক সংক্ষেপণ ক্রিয়াকলাপের জন্য গুণনের পরিমাণকে বাণিজ্য করি।

এটি সক্ষম করে তোলে তার একটি অংশ হ'ল বিতরণযোগ্য সম্পত্তি, যা A (B + C) (AB + AC) এর সমতুল্য হতে দেয়। লক্ষ্য করুন যে প্রথম সংযোজনটি কীভাবে 1 যোগ এবং 1 গুণিত ক্রিয়াকলাপের সাহায্যে করা যেতে পারে, যখন দ্বিতীয়টির জন্য 2 গুণক এবং 1 যোগফল প্রয়োজন।

স্ট্রাসেনের অ্যালগরিদম হল জটিল সংখ্যক পণ্যগুলিতে আমরা প্রয়োগ করা অপ্টিমাইজেশনের একটি এক্সটেনশান, কেবলমাত্র আরও বেশি লক্ষ্য পণ্য শর্তাদি এবং সম্ভাব্য আরও পণ্য উপাদানগুলি ব্যবহার করা যায় যা আমরা এই শর্তগুলি পেতে ব্যবহার করতে পারি। 2x2 ম্যাট্রিক্সের জন্য, স্ট্রেসনের অ্যালগরিদম এমন একটি অ্যালগরিদমকে মর্ফ দেয় যা 7 গুনের প্রয়োজন হয় এমন 8 টি গুণ এবং একটি ক্রিয়াকলাপে দুটি গুণকে "মার্জ" করার জন্য বিতরণযোগ্য সম্পত্তিটি ব্যবহার করে এবং পরিবর্তে নতুন "ফ্যাটার" নোড থেকে দূরে সরিয়ে নেয় পণ্য শব্দ বা অন্যান্য, ইত্যাদি

একটি ভাল উদাহরণ: (-1) এবং (2) এবং (5) পেতে, আপনি এটি সম্পর্কে ঠিক (-1), (2), (5) হিসাবে ভাবতে পারেন, বা আপনি এটি সম্পর্কে চিন্তা করতে পারেন (2-3) ), (2), (2 + 3)। যদিও দ্বিতীয় ক্রিয়াকলাপগুলি স্বতন্ত্র সংখ্যা কম ব্যবহার করে। ক্যাচটি হ'ল পৃথক সংখ্যার সংখ্যাটি আপনাকে ম্যাট্রিক্সের গুণনের জন্য গুণমানের পণ্য উপাদানগুলির সংখ্যার সমান। বিতরণযোগ্য সম্পত্তির মাধ্যমে ভিন্ন ভিন্নতা ব্যবহার করে আইসোমর্ফিক আউটপুটগুলিকে উপকৃত করে এমন অন্তর্নিহিত ক্রিয়াকলাপগুলির একটি নির্দিষ্ট দৃষ্টিভঙ্গি খুঁজে পাওয়ার জন্য আমরা কেবল এটির জন্য অপ্টিমাইজ করি।

সম্ভবত এটি কোনওভাবে টপোলজির সাথে যুক্ত হতে পারে? এটি কেবল আমার সাধারণ লোকেরা এটি বোঝার উপায়।

সম্পাদনা করুন: জটিল নোটের ব্যাখ্যা দেওয়ার প্রক্রিয়ায় আমি যে নোটগুলি আঁকলাম তার একটি চিত্র এখানে: