মন্টি কার্লো পাই অনুমানের ভুল বোঝাবুঝি

Question

আমি মোটামুটি নিশ্চিত যে মন্টে কার্লো ইন্টিগ্রেশন কীভাবে কাজ করে তা আমি বুঝতে পেরেছি তবে পাই এটি অনুমান করার জন্য এটি কীভাবে ব্যবহৃত হয় তা নির্ধারণের বিষয়টি বুঝতে পারছি না। আমি এই উপস্থাপনাটির 5 তম স্লাইডে বর্ণিত পদ্ধতিটি দিয়ে যাচ্ছি http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

আমি প্রাথমিক পদক্ষেপগুলি বুঝতে পারি। পাই ইউনিটের বৃত্তের এক চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফলের 4 গুণ। এবং (0,0) কেন্দ্রিক ইউনিট বৃত্তের শীর্ষ-ডান কোয়ার্টারের ক্ষেত্রফল এবং এ ইউনিট বৃত্তের উপরের-ডান কোয়ার্টারের সমাকরিণা বক্রের সমাকল্যের সমতুল্য । $0<x<1$$0<y<1$

আমি যা বুঝতে পারি না তা হল এটি কীভাবে অবিচ্ছেদ্য

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

যেখানে $P(x,y)$ ত্রৈমাসিক বৃত্তের চারপাশে ইউনিট স্কোয়ারে সমানভাবে বিতরণ করা হয় (যেমন $0<x<1$ এবং $0<y<1$ এবং 0 অন্যথায় এটি সর্বদা 1 এর সমান হয় )। সুতরাং এর অর্থ এই হবে যে $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
হল এমন ফাংশন যা $0<x<1$ এবং 0 <y < এ ইউনিট বৃত্তের উপরের-ডান কোয়াড্র্যান্ট function 1$0<y<1$ তবে আমি বুঝতে পারছি না যে এটি কীভাবে সূচক ফাংশনটি কেবল 1 বা 0 হতে পারে আমি বুঝতে পারি যে এটি সম্ভবত মন্টি কার্লো স্যাম্পলিংকে সহজ করার জন্য এইভাবে লেখা হয়েছিল (অর্থাত এটি একটি প্রত্যাশা তাই ঠিক পি থেকে নমুনা (x , y)$P(x,y)$ এবং আইতে প্রয়োগ হওয়া নমুনার গড় পান $I((x^2+y^2)<1)$) তবে এটি কেবলমাত্র আমার কাছে অন্তর্নিহিত জ্ঞান তৈরি করে না কারণ কেন সেই অবিচ্ছেদ্য সেই বক্ররেখার অধীনে অঞ্চলটি উপস্থাপন করে।

কেউ এর একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা দিতে পারে। সম্ভবত দেখান যে কীভাবে সেই অবিচ্ছেদ্য পদক্ষেপে পদক্ষেপে উত্পন্ন হয়েছিল?

সম্পাদনা করুন:

আমি কোনও অঞ্চলের প্রত্যাশা সম্পর্কিত করে আরও ভাল ধারণা অর্জন করতে সক্ষম হয়েছি। এটি কারও সাহায্য করার ক্ষেত্রে আমি এখানে এটি ব্যাখ্যা করব। ইউনিট সার্কেলের উপরের-ডান কোয়ারড্র্যান্টের অঞ্চলের সাথে পাই সম্পর্কিত প্রথম শুরু করুন

$\pi=4\times A_{tr}$

তারপরে আমরা শীর্ষ-ডান চতুর্ভুজটিকে ইউনিট স্কোয়ারে রাখি। এবং ইউনিট বর্গক্ষেত্রের উপর অভিন্ন বিতরণের অধীনে, বৃত্ত চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল এটি থেকে নমুনা পাওয়ার সম্ভাবনার সাথে সমানুপাতিক। এটি অনুসরণ করে যে নিম্নলিখিত সাম্যতা ধারণ করে

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

এবং $A_{square}=1$ তাই

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

এবং মূল সমীকরণের প্রতিস্থাপন

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

এবং এটিও সত্য যে যা মূল ডাবল ইন্টিগ্রালের সমান।$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

সুতরাং আমি এটির ক্ষেত্রটিকে কোনও সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত করে সেই সম্ভাবনাটিকে একটি প্রত্যাশার সাথে সংহত করে যা অখণ্ডের সমতুল্য। আমি কোনও ভুল করেছি কিনা আমাকে জানান।

Answer 1

ব্যাসার্ধ্যের একটি বৃত্ত বৃত্তের এলাকায় সমান । এর অর্থ হ'ল চতুর্থাংশের বৃত্তের ক্ষেত্রফল । এর অর্থ ব্যাসার্ধের হিসাবে বর্গাকার ।$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

এর অর্থ হ'ল চতুর্থাংশের বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের মধ্যে অনুপাত । $\pi/4$

হলে একটি বিন্দু স্কোয়ারে থাকে । এবং এটি যদি হয় তবে এটি চক্রের চতুর্থাংশে রয়েছে । $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

আপনার অবিচ্ছেদ্য তাই এটি হ'ল অঞ্চলটি চতুর্থাংশের বৃত্ত দ্বারা বর্ণিত$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Comments

আমি অনুমান করি যে অবিচ্ছেদ্য এবং বক্ররেখার ভিতরে শর্তাবলীর মধ্যে একটি সংযোগ আঁকতে আমার কেবল শক্ত সময় হচ্ছে। আপনি যদি x এবং y এর বিভিন্ন মানের জন্য I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) ষড়যন্ত্র করেন তবে আপনি বক্ররেখা পাবেন না। কেন এমন?

— ব্যবহারকারী 1893354

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$ বৃত্তের চতুর্থাংশের পয়েন্ট। আমি আপনাকে এই পয়েন্টগুলি প্লট করার চেষ্টা করার পরামর্শ দিচ্ছি

— ডোনবিও

আমি যে তার সাথে একমত. কিন্তু আপনি যখন সূচক ফাংশন আই (।) প্রয়োগ করেন, তারা সবাই 1 বা 0

— ব্যবহারকারী 1893354

আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন?

— দোনবিও

ইন্টিগ্রালটিতে সূচক ফাংশনটি বক্ররেখাকে সংজ্ঞায়িত করার আরও একটি উপায় যেখানে ইন্টিগ্রালটি গণনা করতে হয়। $\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

— দোনবিও

Answer 2

সহজতম স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যাটি বোঝার উপর নির্ভর করে । সুতরাং, । একবার আপনি বুঝতে পারছেন যে দ্বিগুণ পূর্ণসংখ্যা কেবল একটি সম্ভাবনা, আপনি এটি ইউনিট বর্গক্ষেত্র থেকে এবং নমুনা করতে পারেন এবং জন্য অঙ্কের অনুপাতের পরিমাণ গণনা করতে পারবেন এমন স্বজ্ঞাত অনুভূতি তৈরি করা উচিত । $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

আপনার বোধগম্যতা থেকে অনুপস্থিত অন্য অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রটি হ'ল অঞ্চল এবং সম্ভাবনার মধ্যে সংযোগ। যেহেতু পুরো ইউনিট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1 এবং পয়েন্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে, ইউনিট স্কয়ারের মধ্যে যে কোনও অঞ্চল এর ক্ষেত্রফল সম্ভাব্যতার সাথে মিলবে যে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত বিন্দু মধ্যে থাকবে ।$(x,y)$$A$$A$

Comments

এইভাবে আমি এটিও বুঝতে পারি। তবে আমি পাই = 4x (ত্রৈমাসিকের বৃত্তের ক্ষেত্র) গঠনের সাথে এটি সংযোগ করতে আমার সমস্যা হচ্ছে। নমুনাগুলির সাথে অঞ্চলগুলির তুলনা করতে এটি প্রকৃত অর্থে জ্ঞান তৈরি করে না। আমি মনে করি সংযোগটি হ'ল একটি অভিন্ন বিতরণের অধীনে, নমুনার সংখ্যাটি অঞ্চলটির সাথে সমানুপাতিক।

— ব্যবহারকারী 1893354

@ ব্যবহারকারী 1893354 উত্তর সংশোধিত হয়েছে। এটি যদি আপনার অন্তর্দৃষ্টিতে সহায়তা করে তবে আমাকে জানান।

— jsk

Answer 3

আমি এই সার্ফিং সিভিতে অবতরণ করেছি এবং আমি দেখতে পাচ্ছি যে মন্টি কার্লোর কোডটি অক্টোভায় রয়েছে। আমার আর-তে একটি সিমুলেশন ঘটেছে যা ওপিতে সংহতগুলির সীমাবদ্ধতার অধীনে সমতলে বিভাজনীয় ইউনিফর্ম বিতরণ হিসাবে সংখ্যা i অর্জন করার ধারণাটি তৈরি করে :$\pi$$[0,1]$

প্রদত্ত যে একটি বৃত্তের চতুর্থাংশটি 1-ইউনিট বর্গক্ষেত্রের সাথে সংযুক্ত, ক্ষেত্রফল । সুতরাং স্কোয়ারে অভিন্ন বিতরণকারী পয়েন্টগুলি উত্পন্ন করে পুরো বর্গক্ষেত্রের কার্পেটিং শেষ হবে এবং পূরণকারী ভগ্নাংশ গণনা করা সংহত করার মতো হবে be যেহেতু আমরা কেবল ভগ্নাংশটি নির্বাচন করছি ইউনিট বর্গক্ষেত্রের সাথে বৃত্তের মধ্যে বিন্দুগুলির:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

আমরা দশকের অঙ্কের মধ্যে ব্যাসার্ধের মধ্যে নেমে আসা মানগুলি প্লট করতে পারি:

এবং আমরা স্বাভাবিকভাবেই আরও বেশি পয়েন্ট নির্বাচন করে আরও কাছাকাছি যেতে পারি। 1 মিলিয়ন পয়েন্ট সহ আমরা পাই:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

একটি খুব আনুমানিক ফলাফল। প্লটটি এখানে: