বিপরীত উইশার্ট বিতরণের ম্যাট্রিক্সের ত্রিভুজটির প্রান্তিক বিতরণ

ধরুন । আমি তির্যক উপাদানগুলির এর প্রান্তিক বিতরণে আগ্রহী । সাবমেট্রিকগুলি বিতরণের কয়েকটি সাধারণ ফলাফল রয়েছে (কমপক্ষে কিছু উইকিপিডিয়ায় তালিকাভুক্ত)। এ থেকে আমি অনুধাবন করতে পারি যে ত্রিভুজটিতে যে কোনও একক উপাদানের প্রান্তিক বিতরণ হ'ল বিপরীত গামা। তবে আমি যৌথ বিতরণটি কমাতে পারিনি। $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

আমি ভেবেছিলাম সম্ভবত এটি রচনা দ্বারা উত্পন্ন করা যেতে পারে, যেমন:

p (x_{11} | x_{i i}, i > 1) p (x_{22} | x_{i i}, i > 2) \dots p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

তবে আমি এর সাথে আর কোথাও পাই নি এবং আরও সন্দেহ করি যে আমি কিছু সাধারণ অনুপস্থিত; মনে হয় এটি "করণীয়" জানা উচিত তবে আমি এটি সন্ধান / প্রদর্শন করতে সক্ষম হইনি।

distributions probability pdf

— JMS
সূত্র

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

X_{12}

$X_{12}$

সাধারণভাবে যে কোনও একটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে বৈকল্পিক-সম্পর্কের পচন হিসাবে বিভক্ত করতে পারে

Σ = diag এর (Σ) প্রশ্নঃ diag এর (Σ)^{⊤} = ডি প্রশ্নঃ {ডি}^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$ এখানে

Q

$Q$ ইউনিট ডায়াগোনালের সাথে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$ । সুতরাং, তির্যক এন্ট্রি

Σ

$\Sigma$ এখন বৈকল্পিকগুলির একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের একটি অংশ

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ । যেহেতু ভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অফ ডায়াগোনাল এন্ট্রিগুলি শূন্য

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$ , আপনি যে যৌথ বিতরণটি সন্ধান করছেন তা প্রতিটি তির্যক প্রবেশের প্রান্তিক বিতরণের পণ্য।

এখন একটি এর জন্য স্ট্যান্ডার্ড ইনভার্স-উইশার্ট মডেলটি বিবেচনা করুন $d$ -মাত্রিক কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স $\Sigma$

Σ ~ আমি ওয়াট (ν + + ঘ - 1, 2 ν Λ), ν > ঘ - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

এর তির্যক উপাদান $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ প্রান্তিক হিসাবে বিতরণ করা হয়

σ_{আমি আমি} ~ inv- χ^{2} (ν + + ঘ - 1, \frac{λ_{আমি আমি}}{ν - ঘ + + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

বিভিন্ন বৈচিত্র্য-সম্পর্ক সম্পর্কিত বিতরণে পচে যাওয়া কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য বিভিন্ন প্রাইভরের সাথে একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স এখানে দেওয়া হল

— user3303
সূত্র