আমার ফিফা পানিনি অ্যালবামটি সম্পন্ন করতে আমার কত স্টিকারের প্রয়োজন?

আমি ফিফা পানিনি অনলাইন স্টিকার অ্যালবাম খেলছি , যা সাধারণত ফুটবল বিশ্বকাপ, ইউরোপীয় চ্যাম্পিয়নশিপ এবং সম্ভবত অন্যান্য টুর্নামেন্টের জন্য প্রকাশিত ক্লাসিক পানিনি অ্যালবামগুলির একটি ইন্টারনেট অভিযোজন।

অ্যালবামে বিভিন্ন স্থানের 424 স্টিকারের জন্য স্থানধারক রয়েছে। গেমটির উদ্দেশ্য সমস্ত 424 সংগ্রহ করা।

আমি নিম্নলিখিত অনুমান করা:

সমস্ত স্টিকার একই পরিমাণে প্রকাশিত হয়।
একটি স্টিকার স্টিকারে নকল থাকে না।

যথাযথভাবে নিশ্চিত হওয়ার জন্য (আমার 90% বলি) যে আমার কাছে সমস্ত 424 টি স্বতন্ত্র স্টিকার রয়েছে তা জানতে আমি কতগুলি প্যাক স্টিকার অর্জন করতে পারি?

probability coupon-collector-problem

— বিদার এস রামদল
সূত্র

কুপন-সংগ্রাহক সমস্যা সম্পর্কিত অন্যান্য প্রশ্নগুলি পড়া থেকে অনেকগুলি অন্তর্দৃষ্টি পাওয়া যায় ।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আপনার 700 প্যাক প্রয়োজন; তখন সমস্ত 424 স্টিকার অর্জনের সুযোগ 90.0024% এর সমান। 991% সুযোগের জন্য 951% এবং 898 এ সুযোগ আনার জন্য 761 প্রয়োজন। (গড়ে, প্রায় 560 প্যাকগুলি সেট সম্পূর্ণ করার প্রয়োজন হয় এটা অসম্ভাব্য (ক হাজার একবার সুযোগ কম) যে কম 352 প্রয়োজন হত হয়।।)

— whuber

আমি নিশ্চিত না যে প্রথম অনুমান করা যায়। "শিনিস" বিরল হয়ে থাকে।

— জেমস

হুঁ, আমি আশুরানটুরিক্স পোস্ট করা দস্তাবেজটি থেকে যা পড়তে পেরেছি, তারা প্রমাণ করেছিল যে কোনও উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই।

— বিদার এস রামদল

@ বিদারস.আরমদাল আমি সংশোধন করছি।

— জেমস

উত্তর:

এটি একটি সুন্দর কুপন সংগ্রাহকের সমস্যা, এটি একটি সামান্য মোচড় দিয়ে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিল যে স্টিকারগুলি 5 এর প্যাকগুলিতে আসে।

যদি স্টিকারগুলি স্বতন্ত্রভাবে ক্রয় করা হয় তবে ফলাফলটি জানা যাবে, আপনি এখানে দেখতে পারেন ।

স্বতন্ত্রভাবে কেনা স্টিকারগুলির জন্য 90% ওপেন বাউন্ডের সমস্ত অনুমানগুলিও 5 টির প্যাক সহ সমস্যার জন্য উপরের সীমানা, তবে একটি কম কাছের ওপেন বাউন্ড।

আমি মনে করি যে 5 টি নির্ভরতার প্যাকটি ব্যবহার করে আরও 90% সম্ভাব্যতা উচ্চতর বাঁধাই পাওয়া আরও অনেক বেশি কঠিন হয়ে উঠবে এবং আপনাকে এর থেকে আরও ভাল ফলাফল দেবে না।

সুতরাং, লেজ অনুমান ব্যবহার সঙ্গে এবং , আপনি একটি ভাল উত্তর সঙ্গে যোগাযোগ করব। $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

সম্পাদনা :

"গ্রুপ আঁকার সাথে সংগ্রাহকের সমস্যা" নিবন্ধটি (ওল্ফগ্যাং স্টাডজে), অ্যাসিউরেসটুরিক্স নিয়ে আসা নিবন্ধের একটি উল্লেখ, "স্টিকার প্যাকগুলি" সহ কুপন সংগ্রাহকের সমস্যার সঠিক বিশ্লেষণাত্মক সমাধান উপস্থাপন করেছে।

উপপাদ্যটি লেখার আগে কয়েকটি স্বরলিপি সংজ্ঞা: হ'ল সমস্ত সম্ভাব্য স্টিকারের সেট, । উপসেট হবে যে স্বার্থ আপনি (ওপি, ইন , আর) $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ । আমরা প্রতিস্থাপন সঙ্গে, আঁকা, চলুন এর র্যান্ডম সাব-সেট নির্বাচন বিভিন্ন স্টিকার। উপাদানের সংখ্যা হতে হবে যে সাব-সেট নির্বাচন অন্তত এক প্রদর্শিত হবে। $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

উপপাদ্য বলেছেন যে:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

সুতরাং, ওপির জন্য আমরা এবং । আমিক্লাসিকাল কুপন সংগ্রাহকের সমস্যার (729 প্যাক) অনুমানের নিকটে মান দিয়ে কিছু চেষ্টাকরেছি এবং কে এর সমান700 এরসমান 90.02% হওয়ার সম্ভাবনা পেয়েছি। $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

সুতরাং এটি উপরের সীমানা থেকে এতদূর ছিল না :)

— Jundiaius
সূত্র

এবং এই ভাল উত্তর হবে?

— জিগিস্টার

প্রায় 3642 এলোমেলো স্টিকার। সুতরাং "5 সমস্যার প্যাক" এর জন্য উপরের সীমানাটি 729 প্যাকের চেয়ে কম কিছু হবে।

— Jundiaius

অন্য দিন আমি একটি কাগজ জুড়ে এসেছি যা ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রশ্নকে সম্বোধন করে:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আপনার যে প্যাকগুলি কিনতে হবে তা হ'ল:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

যাইহোক, একপ্রেস মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করেছেন যে, ওপি যে সুনির্দিষ্ট প্রশ্নটি করে তা আসলে অন্য কাগজে বিস্তৃত যা খোলা অ্যাক্সেস নয়।

তাদের চূড়ান্ত উপসংহারটি নিম্নলিখিত কৌশলটি (660 স্টিকারের অ্যালবামের জন্য) পরামর্শ দেয়:

5 টি স্টিকারের 100 প্যাকের একটি বাক্স কিনুন (500 স্টিকার, সমস্ত আলাদা হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত)
5 টি স্টিকারের আরও 40 টি প্যাক কিনুন এবং আপনার সর্বাধিক 50 অনুপস্থিত স্টিকার না পাওয়া পর্যন্ত সদৃশগুলি অদলবদল করুন।
বাকী স্টিকারগুলি সরাসরি পানিনি থেকে কিনুন (এগুলির দাম প্রায় দেড়গুণ)।

এটি একটি লক্ষ্যবস্তু ফ্যাশনে কেনা 15 টি অতিরিক্ত প্যাকের (ব্যয় অনুসারে) মোট 15 টি প্যাক + প্রায় 155 প্যাকের সমান ।

— Asuranceturix
সূত্র

গ্রেট! দেখে মনে হচ্ছে যে তাদের ফলাফলের কেন্দ্রীয় যুক্তি "গ্রুপ আঁকার ক্ষেত্রে সংগ্রাহকের সমস্যা" নিবন্ধে থাকবে, এটি দুঃখজনকভাবে প্রকাশ্যে অ্যাক্সেসে নেই।

— Jundiaius

হাহা, দারুণ! অদলবদল কীভাবে ফলাফলকে প্রভাবিত করে সে সম্পর্কেও তারা বিশদে যায় (যা আমি প্রশ্নটি ছেড়ে দিয়েছি)। খুব আকর্ষণীয়, ধন্যবাদ!

— ভিদার এস রামদল

আপনি কি কাগজ দ্বারা সরবরাহিত ওপির সমস্যার সমাধানের সংক্ষিপ্তসার বলতে পারেন? লিঙ্কগুলি কখনও কখনও মেয়াদ শেষ হয়ে যায় এবং তারপরে এই উত্তরটি কম কার্যকর হবে।

— অ্যান্ডি

@ অ্যান্ডি: আপনার উদ্বেগের সমাধান করার জন্য আমি উত্তরটি সম্পাদনা করেছি, তবে এটি মূল প্রশ্নের সঠিক উত্তর নয়। দুর্ভাগ্যক্রমে, মূল উত্তরটি যে উত্তরটি দেয় তা আমার পক্ষে পড়া খুব কঠিন is

— আশুরানটুরিক্স

আমি কেবলমাত্র স্বতন্ত্র স্টিকারযুক্ত 100 প্যাকের একটি বাক্স সম্পর্কে সন্দেহজনক। দেখে মনে হচ্ছে এটি সামান্য উপকারের জন্য বিশাল এবং অপ্রয়োজনীয় উত্পাদন জটিলতার কারণ হবে।

— jwg