বিভিন্ন মাত্রায় ("সম্পূর্ণ বৈকল্পিক") দ্বারা বৈকল্পিক দ্বারা যা বোঝা যায় তা হ'ল প্রতিটি মাত্রার পরিবর্তনের যোগফল। গাণিতিকভাবে, এটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের সন্ধান: ট্রেস হ'ল সমস্ত তির্যক উপাদানগুলির যোগফল। এই সংজ্ঞাটিতে বিভিন্ন দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ ট্রেসটি অরথোগোনাল লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশনগুলির অধীনে অদলবদল, যার অর্থ আপনি যদি আপনার স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি ঘোরান তবে মোট বৈকল্পিক একই থাকে।
বিশপের বইতে (বিভাগ 12.1.1) প্রমাণিত হয়েছে যে, কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের শীর্ষস্থানীয় ইগেনভেেক্টর সর্বাধিক বৈকল্পিকতার দিকনির্দেশনা দেয়। দ্বিতীয় ইগেনভেেক্টর একটি অতিরিক্ত বাধার অধীনে সর্বাধিক প্রকরণের দিকনির্দেশ দেয় যে এটি প্রথম ইগেনভেেক্টর ইত্যাদির ক্ষেত্রে অর্থকোন হওয়া উচিত I যদি লক্ষ্যটি 2 ডি উপস্থানে মোট বৈকল্পিকতা সর্বাধিক করে তোলা হয়, তবে এই পদ্ধতিটি একটি লোভী সর্বাধিকীকরণ: প্রথমে এমন অক্ষটি বেছে নিন যা বৈকল্পিকতা সর্বাধিক করে তোলে, তারপরে অন্যটি।
আপনার প্রশ্ন: এই লোভী পদ্ধতিটি কেন বিশ্বব্যাপী সর্বাধিক প্রাপ্ত?
@ শুভ মন্তব্যগুলিতে পরামর্শ দিয়েছেন এমন একটি দুর্দান্ত যুক্তি এখানে দেওয়া হল। আসুন প্রথমে পিসিএ অক্ষের সাথে সমন্বিত সিস্টেমটি প্রান্তিককরণ করি। কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি তির্যক হয়ে যায়: । সরলতার জন্য আমরা একই 2 ডি কেসটি বিবেচনা করব, অর্থাৎ সর্বোচ্চ মোট বৈকল্পিক সমেত বিমানটি কী? আমরা প্রমাণ করতে চাই যে এটি প্রথম দুটি ভিত্তিক ভেক্টরগুলির দ্বারা প্রদত্ত বিমান (মোট বৈকল্পিক )।Σ=diag(λi)λ1+λ2
একটি প্লেনে দুই লম্ব ভেক্টর দ্বারা দৃশ্যও বিবেচনা করুন এবং । এই বিমানে মোট বৈকল্পিকতা হ'লসুতরাং এটি ইগেনভ্যালুগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ সহগ সহ সমস্ত ধনাত্মক, বেশি হবে না (নীচে দেখুন), এবং যোগফল । যদি তা হয় তবে এটি প্রায় স্পষ্ট যে সর্বাধিক এ পৌঁছেছে ।uv
u⊤Σu+v⊤Σv=∑λiu2i+∑λiv2i=∑λi(u2i+v2i).
λi12λ1+λ2
এটি কেবল দেখানোর বাকি আছে যে সহগগুলি বেশি হতে পারে না । লক্ষ্য করুন যে , যেখানে হয় -th ভিত্তিতে ভেক্টর। এই পরিমাণটি এবং দ্বারা বিস্তৃত সমতলে প্রক্ষেপণের একটি বর্গ দৈর্ঘ্য । সুতরাং এটি এর স্কোয়ার দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট হতে হবে যা , QED সমান ।1u2k+v2k=(u⋅k)2+(v⋅k)2kkkuvk|k|2=1
পিসিএর উদ্দেশ্যমূলক কাজটি কী সম্পর্কিত @ কার্ডিনালের উত্তরটি দেখুন ? (এটি একই যুক্তি অনুসরণ করে)।