প্রথমবারের মতো মাথা না আসা পর্যন্ত একটি ন্যায্য মুদ্রা ছোঁড়া হয়। বিজোড় সংখ্যা টসে এটি হওয়ার সম্ভাবনা কি?

Question

প্রথমবারের মতো মাথা না আসা পর্যন্ত একটি ন্যায্য মুদ্রা ছোঁড়া হয়। বিজোড় সংখ্যা টসে এটি হওয়ার সম্ভাবনা কি? আমি কীভাবে এই সমস্যার সাথে যোগাযোগ করব?

Comments

এটি একটি সাধারণ হোমওয়ার্ক / স্ব-অধ্যয়ন প্রশ্ন মত মনে হয়, এবং যেমন self-studyট্যাগ থাকা উচিত । Stats.stackexchange.com/tags/self-study/info

— প্যাট্রিক

Answer 1

টস 1, 3, 5 এ প্রথমবারের মতো মুদ্রার আগমনের সম্ভাব্যতা যুক্ত করুন ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• শব্দটি বেশ স্পষ্ট, এটা মাথা হচ্ছে টসে প্রথম সম্ভাবনা আছে।$1/2$

• মেয়াদ তৃতীয় টসে অথবা ক্রম TTH প্রথমবার মাথা পাবার সম্ভাবনা নেই। এই ক্রমের সম্ভাবনা রয়েছে ।$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• শব্দটি পঞ্চম টসে অথবা ক্রম TTTTH প্রথমবার মাথা পাবার সম্ভাবনা নেই। এই ক্রমের ।$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

এখন আমরা উপরের সিরিজটি আবার লিখতে পারি

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

এটি একটি জ্যামিতিক সিরিজ যা সমষ্টি । এটি দেখানোর সবচেয়ে সহজ উপায় একটি চাক্ষুষ উদাহরণ দিয়ে। সিরিজ দিয়ে শুরু করুন$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

এটি একটি জ্যামিতিক সিরিজ যার সমষ্টি ।$1$

যদি আমরা সেই সিরিজের কেবলমাত্র শর্তাদি যোগ করি, তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সেগুলির যোগফল ।$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

আপনি যদি পুরো ক্রম থেকে এমনকি শর্তাদি সরিয়ে ফেলেন তবে আপনি কেবল বিজোড় পদগুলি রেখে গেছেন, যা অবশ্যই পর্যন্ত যোগ করতে হবে ।$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Answer 2

পুনরাবৃত্তির সাথে চিন্তা করুন - আসুন, যাক কোনও বিজোড় টস -এর প্রথম মাথার সম্ভাবনা , এবং এমনকি একটি টসের প্রথম মাথা হওয়ার সম্ভাবনা হতে দিন । এখন , এবং আমাদের কাছে প্রথম টসের লেজের বারের সম্ভাব্যতার সমতুল্য । এইভাবে ; ; ।পি ই পি ণ + + P ই = 1 P ই পি ণ পি ই = 1 / 2 ⋅ পি ণ পি ণ + + 1 / 2 ⋅ পি ণ = 1 P ণ = 2 /$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$

Comments

আপনি দয়া করে প্রসারিত করতে পারেন "... আমাদের কাছে প্রথম টসের লেজ বারের পোয়ের সম্ভাবনার সমানও রয়েছে?"

— ম্যাকএম