মিশ্রনের ক্রমের ভিত্তিতে 'আনমিক্সড' অংশগুলি বিতরণ

ধরুন আমি জন্য । আসুন এবং বোঝাতে দ্বারা এর ম বৃহত্তম পর্যবেক্ষিত মান । of এর (শর্তাধীন) বিতরণ কী ? (বা সমতুল্য, of এর ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

অর্থাৎ কি বিতরণের হয় উপর শর্তাধীন হচ্ছে তম বৃহত্তম পর্যবেক্ষিত মান ? $X_i$ $Z_i$ $j$ $n$ $Z$

আমি অনুমান করছি যে , of এর এর নিঃশর্ত বিতরণে রূপান্তরিত হয়েছে , যখন , এর বিতরণ এর ম অর্ডার পরিসংখ্যানের নিঃশর্ত বিতরণে রূপান্তরিত করে । মাঝখানে যদিও আমি অনিশ্চিত। $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ $X_{i_j}$ $X$ $\rho \to \infty$ $X_{i_j}$ $j$ $X$

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
সূত্র

আমি "মিশ্রণ" ট্যাগটি সরিয়েছি কারণ এটি একটি যোগফল (বা সমতুল্যভাবে, সম্পর্কিত স্বরযুক্ত চলকগুলি) সম্পর্কে একটি প্রশ্ন, সেগুলির মিশ্রণ সম্পর্কে নয়।

— whuber

X_{i}

$X_i$ এরও স্বতন্ত্র ধারনা করা হয়

Y_{i}

$Y_i$ , হ্যাঁ?

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: হ্যাঁ, তারা স্বাধীন।

— shabbychef

একটি সাম্প্রতিক ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন math.SE আপ popped: math.stackexchange.com/questions/38873/...

— অঙ্কবাচক

গণিত.এস.এস-এ পোস্ট করা সমাধানটি আমি নীচের যে সমাধানটি দিয়েছি তা ধারণার মতোই - তবে কিছুটা আলাদা পরিভাষা ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে।

— এনআরএইচ

উত্তর:

লক্ষ্য করুন যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল $i_j$ এর একটি ফাংশন $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ কেবল. একটি জন্য $n$ -vector, $\mathbf{z}$ , আমরা লিখি $i_j(\mathbf{z})$ সূচক জন্য $j$ বৃহত্তম বৃহত্তম সমন্বয়। যাক $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ শর্তসাপেক্ষে বিতরণ বোঝা $X_1$ প্রদত্ত $Z_1$ ।

যদি আমরা এর মান অনুসারে সম্ভাবনাগুলি ভেঙে ফেলি $i_j$ এবং desintegrate wrt $\mathbf{Z}$ আমরা পেতে

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{({আমি}_{ঞ} (z- র) = ট)} পি ({এক্স}_{ট} \in একজন | {জেড}_{ট} = {z- র}_{ট}) পি (জেড \in ঘ z- র) \\ = & \underset{ট}{Σ} \int_{({আমি}_{ঞ} (z- র) = ট)} {পি}_{{z- র}_{ট}} (একজন) পি (জেড \in ঘ z- র) \\ = & \int {পি}_{z- র} (একজন) পি ({জেড}_{{আমি}_{ঞ}} \in ঘ z- র) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

এই যুক্তিটি বেশ সাধারণ এবং কেবলমাত্র বর্ণিত আইড অনুমানের উপর নির্ভর করে এবং $Z_k$ এর কোনও প্রদত্ত ফাংশন হতে পারে $(X_k, Y_k)$ ।

সাধারণ বিতরণ অনুমানের অধীনে (গ্রহণ করা) $\sigma_y = 1$ ) এবং $Z_k$ যোগফল, শর্তাধীন বিতরণ $X_1$ প্রদত্ত $Z_1 = z$ হয়

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$ এবং @ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক দেখায় যে কীভাবে এর বিতরণ গণনা করা যায়

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$ সুতরাং, উপরের শেষ অবিচ্ছেদে প্রবেশকারী উভয় বন্টনের জন্য আমাদের স্পষ্ট প্রকাশ রয়েছে। অবিচ্ছেদ্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় কিনা তা অন্য প্রশ্ন। আপনি সক্ষম হতে পারেন, তবে আমার মাথার উপরের অংশটি সম্ভব কিনা তা আমি বলতে পারছি না। অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণের জন্য কখন

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$ অথবা

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ এটি প্রয়োজন হবে না।

উপরের গণনার পিছনে স্বজ্ঞাততা হ'ল এটি শর্তযুক্ত স্বাধীনতার যুক্তি। প্রদত্ত $Z_{k} = z$ ভেরিয়েবল $X_{k}$ এবং $i_j$ স্বাধীন হয়।

— NRH
সূত্র

বিতরণ $Z_{i_{j}}$ কঠিন নয়, এবং এটি বিটা-এফ যৌগিক বিতরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

কোথায় $\phi(x)$ এটি একটি আদর্শ পিডিএফ, এবং $\Phi(x)$ একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল সিডিএফ, এবং $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$ ।

এখন যদি আপনি তা দেওয়া হয় $Y_{i_{j}}=y$ তাহলে $X_{i_{j}}$ এর 1-থেকে-1 ফাংশন $Z_{i_{j}}$ যথা, $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$ । সুতরাং আমি ভাবব যে এটি জ্যাকোবিয়ান নিয়মের একটি সাধারণ প্রয়োগ হওয়া উচিত।

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

এটি খুব সহজ বলে মনে হচ্ছে তবে আমি মনে করি এটি সঠিক। ভুল দেখিয়ে খুশি।

— probabilityislogic
সূত্র

আপনি প্রশ্নটি ভুল বুঝেছেন। আমি বিতরণ খুঁজছি

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$ একটি কাজ হিসাবে

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$ । আমি আসলে পালন না

X_{i}

$X_i$ এবং

Y_{i}

$Y_i$ , এবং তাদের উপর শর্ত করতে পারে না। কেউ ধরে নিতে পারেন, এটি ব্লগ করুন

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$ , এবং এইভাবে শুধুমাত্র পরামিতি বিবেচনা করুন

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$ ।

— shabbychef

ঠিক আছে - তাই মূলত আপনার থাকা দরকার

y

$y$ এই সমীকরণ থেকে সরানো? (একীভূত)

— সম্ভাব্যতা

হ্যাঁ; এবং এটি জেড থেকে স্বতন্ত্র নয় ...

— শাব্বিচেফ