একটি ধ্রুবক সম্ভাবনা মধ্যে রূপান্তর অনুকরণ

Question

কম্পিউটারের সিমুলেশন দ্বারা অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফল প্রমাণিত হতে পারে না , কারণ এগুলি অনন্ত ধারণার সাথে জড়িত বিবৃতি। তবে আমাদের এমন ধারণা অর্জন করতে সক্ষম হওয়া উচিত যে থিওরি আমাদের বলার সাথে জিনিসগুলি সত্যই অগ্রসর হয়।

তাত্ত্বিক ফলাফল বিবেচনা করুন

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$$

যেখানে $X_n$ হল $n$ র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রিয়াকলাপ , অভিন্ন এবং স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করুন। এটি বলে যে $X_n$ সম্ভাব্যতায় শূন্যে রূপান্তরিত করে। এখানে আমার প্রত্নতাত্ত্বিক উদাহরণটি অনুমান করা হয় যে ক্ষেত্রে $X_n$ নমুনাটির অর্থ আইড্রভের সাধারণ প্রত্যাশিত মানকে বিয়োগ করে,

$$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$$

প্রশ্ন: আমরা কীভাবে কাউকে দৃ conv়তার সাথে দেখাতে পারি যে উপরের সম্পর্কটি "বাস্তব জগতকে রূপায়িত করে", প্রয়োজনীয় সসীম নমুনা থেকে কম্পিউটার সিমুলেশন ফলাফল ব্যবহার করে?

দয়া করে মনে রাখবেন যে আমি বিশেষভাবে ধ্রুবককে রূপান্তরটি বেছে নিয়েছি ।

আমি উত্তর হিসাবে আমার পদ্ধতির নীচে প্রদান, এবং আমি আরও ভাল জন্য আশা করি।

আপডেট: আমার মাথার পিছনে কিছু আমাকে বিরক্ত করেছিল and এবং আমি কী জানতে পেরেছিলাম। আমি একটি পুরানো প্রশ্ন খুঁড়েছিলাম যেখানে উত্তরগুলির একটিতে মন্তব্যগুলিতে সবচেয়ে আকর্ষণীয় আলোচনা চলেছিল । সেখানে, @ কার্ডিনালাল একটি অনুমানকারীর একটি উদাহরণ সরবরাহ করেছিলেন যে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ তবে এর বৈচিত্রটি শূন্য-শূন্য এবং সীমাবদ্ধ অ্যাসিপোটোটিকভাবে রয়ে গেছে। সুতরাং আমার প্রশ্নের একটি আরও জটিল রূপটি হয়ে যায়: এই পরিসংখ্যানটি যখন শূন্য এবং সসীম বৈকল্পিককে অ্যাসিপোটোটিকভাবে বজায় রাখে, তখন আমরা কীভাবে সিমুলেশন দিয়ে দেখাব যে কোনও পরিসংখ্যান সম্ভাব্যতায় স্থির হয়ে যায়?

Comments

@ গ্লেেন_বি আপনার কাছ থেকে আসছে, এটি একটি ব্যাজের সমতুল্য। ধন্যবাদ।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

এ নিয়ে এখনই প্রতিটি সময় চিন্তা করা এবং আমি যে সমস্ত বিষয় নিয়ে এসেছি তা হ'ল 'অর্থের চারপাশে ঘনত্ব'; আমি আশা করি এখানকার কিছু চতুর লোকের কাছে আকর্ষণীয় কিছু লেখার জন্য সময় আছে! (+1 অবশ্যই!)

— একওয়াল

Answer 1

আমি কে একটি বিতরণ ফাংশন (নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে পরিপূরক হিসাবে মনে করি । যেহেতু আমি তাত্ত্বিক ফলাফল আমাদের বলার মতো জিনিসগুলির প্রবণতা প্রদর্শন করতে কম্পিউটার সিমুলেশন ব্যবহার করতে চাই, তাই অভিজ্ঞতামূলক বিতরণ ফাংশনটি আমার তৈরি করা দরকার , বা অভিজ্ঞতা আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণ, এবং তারপরে কোনওভাবে দেখাবে যে বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে মানগুলি "আরও এবং আরও" শূন্যে ঘন করুন। $P()$$|X_n|$$n$$|X_n|$

একটি অভিজ্ঞতামূলক আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি ক্রিয়াকলাপটি পেতে, আমার আকারে একাধিক নমুনা বৃদ্ধি (অনেক বেশি) প্রয়োজন, কারণ নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে বিতরণ প্রতিটি পৃথক জন্য পরিবর্তন । $|X_n|$$n$

তাই আমি বিতরণের থেকে জেনারেট করতে প্রয়োজন এর, নমুনা "সমান্তরাল", বলে কিছু প্রাথমিক আকার প্রতিটি হাজার ছোটো বলতে অযুত মধ্যে ছোটো। মান গণনা করার জন্য আমার তখন দরকার প্রতিটি নমুনা (এবং একই জন্য থেকে ), অর্থাৎ মূল্যবোধের সেট প্রাপ্ত ।$Y_i$$m$$m$$n$$n$$|X_n|$$n$$\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

এই মানগুলি একটি অভিজ্ঞতাগত আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণ তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তাত্ত্বিক ফলাফলের প্রতি বিশ্বাস রেখে, আমি আশা করি মানগুলির "প্রচুর" শূন্যের খুব কাছে "খুব কাছাকাছি" হবে তবে অবশ্যই না। $|X_n|$

সুতরাং মানগুলি দেখানোর জন্য প্রকৃতপক্ষে বৃহত্তর এবং বৃহত্তর সংখ্যায় শূন্যের দিকে অগ্রসর হতে হবে, আমাকে প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করতে হবে, বলার জন্য নমুনার আকার বাড়িয়ে তুলতে হবে এবং দেখান যে এখন শূন্যের ঘনত্ব "বেড়েছে"। স্পষ্টতই এটি দেখা গেছে যে এটি বৃদ্ধি পেয়েছে, একজনের উচিত জন্য একটি অনুশীলনমূলক মান নির্দিষ্ট করা উচিত ।$|X_n|$$2n$$\epsilon$

তা কি যথেষ্ট হবে? আমরা কি কোনওভাবে এই "ঘনত্বের বৃদ্ধি" আনুষ্ঠানিক করতে পারি? এই পদ্ধতিটি যদি আরও "নমুনা-আকার বৃদ্ধি" পদক্ষেপগুলিতে সম্পাদিত হয় এবং একটির সাথে অন্যটির নিকটবর্তী হয়, তবে আমাদের রূপান্তরের আসল হার সম্পর্কে কিছুটা অনুমান সরবরাহ করতে পারে, যেমন "অনুভূতি সম্ভাবনার ভর" যা প্রতি প্রান্তিকের নীচে চলে যায় like প্রতিটি পদক্ষেপ "বলুন, এক হাজার? $n$

বা, যে প্রান্তিকের মানটি পরীক্ষা করে দেখুন, সম্ভাবনার % নীচে রয়েছে বলে দেখুন এবং দেখুন এই মানটি কী পরিমাণে হ্রাস পাবে?$90$$\epsilon$

একটি উদাহরণ

বিবেচনা করুন 'হতে গুলি এবং তাই$Y_i$$U(0,1)$

$$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$$

আমরা প্রথমে প্রতিটি আকারের নমুনা তৈরি করি । অভিজ্ঞতাগত আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণ দেখতে $m=1,000$$n=10,000$$|X_{10,000}|$

এবং আমরা নোট করি যে মানগুলির % ছোট তারপর । $90.10$$|X_{10,000}|$$0.0046155$

এরপরে আমি নমুনার আকার বাড়িয়ে দেব । এখন অভিজ্ঞতাগত আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণ দেখে মনে হচ্ছে এবং আমরা নোট করছি যে মানগুলির % এর নিচে । বিকল্পভাবে, এখন % মান নিচে ।$n=20,000$$|X_{20,000}|$$91.80$$|X_{20,000}|$$0.0037101$$98.00$$0.0045217$

আপনি কি এইরকম বিক্ষোভ দেখিয়ে রাজী হবেন?

Comments

না, আমি যদি এ জাতীয় সমস্ত প্রস্তাব দেওয়া হত তবে এ জাতীয় কোনও বিক্ষোভ দেখিয়ে আমার প্ররোচিত করা হবে না । এটি দাবি করা ফলাফল এবং এমন একটি ফলাফলের মধ্যে পার্থক্য করতে অক্ষম যা একটি ননজারো বিতরণ থেকে খুব অল্প পরিমাণে দূষণ রয়েছে। যে কোনও কম্পিউটার সিমুলেশন, সত্যিকার অর্থে প্ররোচিত হওয়ার জন্য অবশ্যই যুক্তি সহকারে আসতে হবে যা এই জাতীয় ঘটনাটিকে অস্বীকার করবে। (আমি সম্প্রতি সিমুলেশনগুলির একটি সিরিজ পরিচালনা করেছি যা of আকারের স্যাম্পল আকারে গিয়েছিল - এটি কোনও টাইপো নয় - তবে ফলাফলগুলির দ্বারা এখনও তাকে রাজি করা হয়নি, যদিও তারা খুব পরামর্শদায়ক ছিল!)$10^{1000}$

— হোবার

@ ভুবার আপনি যা লিখছেন তা খুব আকর্ষণীয় মনে হচ্ছে। এই সিমুলেশনগুলি আপনি কিছু প্রাথমিক বাস্তব ডেটার উপর ভিত্তি করে উল্লেখ করেছেন, কোন বিতরণ থেকে যেখানে অনুমান করা হয়েছে এবং তারপরে অতিরিক্ত কৃত্রিম ডেটা উত্পন্ন হয়েছিল? নাকি এটা প্রথম থেকেই কৃত্রিম ছিল? যদি গোপনীয়তা কোনও সমস্যা না হয় এবং সময় অনুমতি দেয় তবে আমি ব্যক্তিগতভাবে খুব সহজেই আপনার উত্তরটি দেখতে চাইব যে এই সিমুলেশনগুলি কীভাবে বিকশিত হয়েছিল এবং কেন সন্দেহ রয়ে গেল on

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

এটি কৃত্রিম তথ্য ছিল। আমি এই অনুকরণগুলি সম্পাদন করেছি stats.stackexchange.com/questions/104875/… এ একটি মন্তব্য সমর্থন করার জন্য । আপনি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখতে পাবেন যে এত বড় সিমুলেশন কীভাবে সম্পাদন করা যায়: বার্নোল্লি বিতরণ থেকে নমুনা তৈরি করতে আপনি কেবল দ্বিপদী বিতরণ থেকে একক মান আঁকেন । যখন পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় হয় আপনি সাধারণ বিতরণ থেকে একটি মানও আঁকতে পারেন । মূল কৌশলটি ডিজিটের নির্ভুলতা :-) সহ এটি করছে । $N$$(1/2)$$(N,1/2)$$N$$(N/2, \sqrt{N}/2)$$1000$

— হোয়বার

@ শুভ ধন্যবাদ, আমি এটিতে কাজ করব। যাইহোক, আপনি যে প্রশ্নটি উল্লেখ করেছেন, এর উত্তর এবং আপনার মন্তব্যগুলি আমাকে অ-সাধারণ নমুনাগুলির থেকে নমুনা বৈকল্পিকের asyptotic বিতরণ এবং সেইসাথে স্লুটস্কির উপপাদ্যের প্রয়োগযোগ্যতা উভয়ই গভীরভাবে তদন্ত করতে সক্ষম করেছে is উত্তরে ব্যবহৃত। আমি আশা করি ভাগ করে নেওয়ার জন্য আমার শেষ পর্যন্ত কিছু ফলাফল হবে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস