কেন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়?

একটি ক্রিয়া হিসাবে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ধারণাটি বোঝার জন্য আমার সমস্যা হচ্ছে। আমি মেকানিক্স বুঝতে পারি (আমি মনে করি) তবে আমি অনুপ্রেরণা বুঝতে পারি না ...

বলুন একটি সম্ভাব্যতা ট্রিপল, যেখানে , সেই বিরতিতে বোরেল- এবং নিয়মিত লেবেসগু পরিমাপ। যাক থেকে একটি দৈব চলক হতে থেকে যেমন যে , , ..., , তাই এর 1 থেকে 6 এর মানগুলিতে একটি আলাদা ইউনিফর্ম বিতরণ রয়েছে। $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

এগুলি সব ভাল, তবে আমি মূল সম্ভাবনার প্রয়োজনীয়তা বুঝতে পারি না ... আমরা সরাসরি সমমানের কিছু তৈরি করতে যেখানে স্থানের সমস্ত উপযুক্ত এবং একটি পরিমাপ যা প্রতিটি উপসেটকে পরিমাপ (উপাদানগুলির #) / 6 নির্ধারণ করে। এছাড়াও, এর পছন্দটি নির্বিচারে ছিল - এটি , বা অন্য কোনও সেট হতে পারত । $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হল, কেন একটি আলজেব্রা এবং একটি পরিমাপের মাধ্যমে একটি স্বেচ্ছাসেবী করা এবং আলজেব্রা থেকে আসল লাইনে মানচিত্র হিসাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করা কেন বিরক্ত করবেন ? $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— লিও ভাসকেজ
সূত্র

নোট করুন যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ'ল

থেকে

তে নয়,

থেকে

পর্যন্ত ক্রিয়াকলাপ । প্রয়োজনীয়তাটি হ'ল এলোমেলো পরিবর্তনশীল

সাথে পরিমাপযোগ্য ।

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— এমপিক্টাস

উত্তর:

আপনি যদি ভাবছেন যে এত সহজ কিছু যখন যথেষ্ট হতে পারে তখন কেন এই সমস্ত যন্ত্রপাতি ব্যবহার করা হয় - আপনি ঠিক বলেছেন, বেশিরভাগ সাধারণ পরিস্থিতিতে। যাইহোক, সম্ভাবনার পরিমাপ-তাত্ত্বিক সংস্করণটি কোলমোগোরভ এই জাতীয়তার একটি তত্ত্ব প্রতিষ্ঠার উদ্দেশ্যে তৈরি করেছিলেন যা এটি কিছু ক্ষেত্রে খুব বিমূর্ত এবং জটিল সম্ভাবনার জায়গাগুলি পরিচালনা করতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, সম্ভাবনার জন্য কলমোগোরভের পরিমাপ তাত্ত্বিক ভিত্তিগুলি শেষ পর্যন্ত সম্ভাব্য সরঞ্জামগুলিকে সুরক্ষিত বিশ্লেষণের মতো ক্ষেত্রে তাদের মূল উদ্দেশ্যে প্রয়োগের ডোমেনের বাইরে প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়।

প্রথমে এটি কোনো "অন্তর্নিহিত" এড়িয়ে যেতে আরো সহজবোধ্য মনে হচ্ছে না -algebra , এবং নমুনা স্থান সরাসরি সমন্বয়ে গঠিত, আপনি প্রস্তাব ঘটনা কেবল বরাদ্দ সম্ভাব্যতা জনসাধারণ করতে। প্রকৃতপক্ষে, প্রাবিলিস্টরা কার্যকরভাবে একই জিনিসটি করেন যখনই তারা দ্বারা সংজ্ঞায়িত নমুনা স্পেসে "প্ররোচিত-পরিমাপ" দিয়ে কাজ করতে পছন্দ করেন । তবে আপনি যখন অসীম মাত্রিক জায়গাগুলিতে প্রবেশ শুরু করেন তখন জিনিসগুলি জটিল হয়ে উঠতে শুরু করে। মনে করুন আপনি ন্যায্য মুদ্রা উল্টানোর ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বড় সংখ্যার শক্তিশালী আইন প্রমাণ করতে চান (অর্থাত, মুদ্রার ঝাঁকুনির সংখ্যা অসীমের দিকে চলে যাওয়ার সাথে সাথে মাথার অনুপাতটি নির্বিচারে 1/2 এর নিকট থাকে)। আপনি একটি তৈরির চেষ্টা করতে পারেন $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ ফর্মের অসীম সিকোয়েন্স সেটে এসে -algebra । তবে এখানে খুঁজে পেতে পারেন যে অন্তর্নিহিত স্থানটিকে হিসাবে নেওয়া আরও বেশি সুবিধাজনক ; এবং তারপর বাস্তব সংখ্যার বাইনারি উপস্থাপনা (যেমন ব্যবহার ) মুদ্রা ক্রমের সাথে ফ্লিপ প্রতিনিধিত্ব করতে (1 হচ্ছে মাথা, 0 মুদ্রার উলটা পিঠ হচ্ছে।) এই খুব উদাহরণস্বরূপ একটি চিত্রণ Billingsley এর প্রথম কয়েকটি অধ্যায় পাওয়া যাবে সম্ভাবনা ও পরিমাপ । $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
সূত্র

ধন্যবাদ! আমি বইটি পরীক্ষা করে দেখব। যাইহোক,

এখনও নির্বিচারে (এটা ঠিক যেমন ভাল হয়েছে পারে

আপনার উদাহরণে, ইউনিট ব্যবধান হয়

বা

'prefered' স্থান যা সব পরিস্থিতিতে কাজ করবে ? নাকি পরিস্থিতিতে যেখানে একটি আরো জটিল

, মত

উপকারী হবে?

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— লিও ভাস্কেজ

@ লিও: হ্যাঁ অবিচ্ছিন্ন সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া একটি উদাহরণ দেয়। ক্যানোনিকাল উদাহরণ ব্রাউনিয়ান গতি, যেখানে নমুনা স্থান

হিসাবে নেওয়া হয় , সমস্ত ক্রমাগত বাস্তব-মূল্যবান কার্যকারিতা of

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— কার্ডিনাল

@NRH, 'হ্যাঁ, আমি তাকে বললাম উচিত গ্রহণ করা যেতে পারে পরিবর্তে নেওয়া হয় । আমি (কিছুটা উদ্দেশ্যমূলকভাবে) রাগের নিচে ব্রাশ করার চেষ্টা করছিলাম।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল, @ লিওর মন্তব্যে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল যে

সব পরিস্থিতিতেই 'পছন্দসই'? আমি শুধু বলছি ধরনের কোনো নেই আইএমও

এবং এটি সম্পর্কে কিছু প্রয়োজন না উপকারী যে

সাধারণভাবে। আপনি যদি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণস্বরূপ সাথে কাজ করতে চান যখন, কারণ একটি নির্দিষ্ট পছন্দ করে হতে পারে

। নোট করুন, তবে, 'টোটোলজি' গালিচা করছে যে

সম্ভাব্যতা পরিমাপ হিসাবে ব্রাউনিয়ান গতির অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠিত করা দরকার।

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— এনআরএইচ

@ এনআরএইচ, আজ আমার মন খারাপ হয়ে যাওয়ার জন্য দুঃখিত। আমি @ লিওর আগের মন্তব্যে পছন্দসই রেফারেন্সটি সংযোগ করতে ব্যর্থ হয়েছি । ধন্যবাদ। "টাউটোলজি" মন্তব্য সম্পর্কে, আমার বক্তব্যটি ছিল অন্য নির্মাণগুলিতে, নমুনা পথগুলির ধারাবাহিকতা একটি উপপাদ্য , যেখানে, পরিচয়ের মানচিত্র সহ

ভিত্তিক নির্মাণের অধীনে , এটি টোটোলজিক্যাল। অবশ্যই, বিএমটি এভাবে নির্মিত হতে পারে তা প্রথমে দেখানো উচিত। কিন্তু, এটি পয়েন্ট পাশে কিছুটা।

C

$\mathcal{C}$

— কার্ডিনাল

-্যালজেব্রা সংক্রান্ত বিষয়গুলি গাণিতিক সূক্ষ্মতা যা আমাদের পশ্চাদপট স্থান প্রয়োজন কেন বা যদি তা সত্যই ব্যাখ্যা করে না । প্রকৃতপক্ষে, আমি বলব যে পটভূমির স্থানটি প্রয়োজনীয়তার কোনও জোরালো প্রমাণ নেই। কোনো সম্ভাব্য সেটআপের জন্য যেখানে নমুনা স্থান, হয় -algebra এবং একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ, আগ্রহ আছে এবং কোন বিমূর্ত কারণ হলো আমরা চাই ইমেজ পরিমাপ করা পরিমাপযোগ্য মানচিত্রের $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ । $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

তবে একটি বিমূর্ত ব্যাকগ্রাউন্ড স্পেসের ব্যবহার গাণিতিক সুবিধা দেয় যা অনেক ফলাফলকে আরও প্রাকৃতিক এবং স্বজ্ঞাত করে তোলে। উদ্দেশ্য সবসময় সম্পর্কে কিছু বলতে হয় , বন্টন এর , কিন্তু এটা সহজ এবং আরো পরিষ্কারভাবে পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হতে পারে । $\mu$ $X$ $X$

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য দ্বারা একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। তাহলে বাস্তব গড় সঙ্গে মূল্যবান IID হয় এবং ভ্যারিয়েন্স CLT বলছেন যে $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ যেখানেহয় বন্টন আদর্শ সাধারন বন্টনের জন্য ফাংশন। তাহলে বিতরণেরহয়পরিমাপ পরিপ্রেক্ষিতে সংশ্লিষ্ট ফলাফলের সার্চ

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

কিছু পরিভাষা ব্যাখ্যা প্রয়োজন হয় মাধ্যমে।

আমরা মানে

এর -times সংবর্তন

(সমষ্টি বিতরণের)। ফাংশন

রৈখিক ফাংশন হয়

এবং

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

অনুবাদ

। একজন সম্ভবত দ্বিতীয় সূত্রটি অভ্যস্ত হতে পারে তবে এটি যা যা লুকায়িত তা লুকিয়ে রাখার ক্ষেত্রে একটি ভাল কাজ।

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

বিষয়টি মনে হচ্ছে যে সিএলটি জড়িত গাণিতিক রূপান্তরগুলি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে বেশ স্পষ্টভাবে প্রকাশিত হয় তবে তারা ব্যবস্থাগুলির ক্ষেত্রে এত ভাল অনুবাদ করে না।

— NRH
সূত্র

(+1) ভাল বর্ণনা। আমি মনে করি প্রাক্তন স্বরলিপিটি অন্যান্য জনপ্রিয় কারণ এটি অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে স্বজ্ঞাত ধারণাগুলিতে আরও স্বাভাবিকভাবে অনুবাদ করে। (বেশ কয়েক ঘন্টা আগে ভোট দিয়েছেন))

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল, এই বিষয়টিকে আরও পরিষ্কার করার জন্য ধন্যবাদ। সম্ভাব্যতার পরিমাপের একটি দৃ not়বিশ্বাস নয়, ভেরিয়েবলের যোগফল হিসাবে বিবেচনা করা এবং তর্ক করা আরও স্বাভাবিক বলে মনে হয় এবং আমরা গণিতটিকে এটি প্রতিফলিত করতে চাই।

— এনআরএইচ

আমি শুধু সম্প্রতি দৈব চলক সম্পর্কে ভাবতে এই নতুন পথ ধরে পদস্খলিত সেইসাথে পটভূমি স্থান সম্পর্কে । এটি যে গাণিতিক কারণ নয়, আপনি এটি যে প্রশ্নটি খুঁজছিলেন তা নিশ্চিত কিনা তা আমি নিশ্চিত নই, তবে আমি মনে করি এটি আরভিগুলি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করার খুব সুন্দর উপায় সরবরাহ করে। $X$ $\Omega$

এমন একটি পরিস্থিতি কল্পনা করুন যেখানে আমরা একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করি। এই পরীক্ষামূলক সেটআপটিতে সম্ভাব্য প্রাথমিক অবস্থার একটি সেট রয়েছে যা মুদ্রাটি কীভাবে টসানো হয় তার শারীরিক বিবরণ অন্তর্ভুক্ত করে। ব্যাকগ্রাউন্ড স্পেসে সমস্ত সম্ভাব্য প্রাথমিক শর্ত রয়েছে। সরলতার জন্য আমরা ধরে নিতে পারি যে মুদ্রা টস কেবল বেগের মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তারপরে আমরা সেট করব $\Omega = [0,v_{max}]$

দৈব চলক তারপর একটি ফাংশন যে প্রতি প্রাথমিক অবস্থায় মানচিত্রের মতো ভাবা যেতে পারে পরীক্ষা, অর্থাত কিনা এটা মুদ্রার উলটা পিঠ বা প্রধান সংশ্লিষ্ট ফলাফল। $X$ $\omega \in \Omega$

আরভি এর জন্য: পরিমাপের মিলবে দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা পরীক্ষার গতিশীলতার সাথে একত্রে প্রাথমিক অবস্থার উপর সম্ভাব্যতা পরিমাপ করা $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$ ফলাফলগুলির উপর সম্ভাব্যতা বন্টন নির্ধারণ করে।

এই ধারণার রেফারেন্সের জন্য আপনি "পদার্থবিজ্ঞানের সম্ভাবনা" (২০১১) এর টিম মডলিন্স বা মাইকেল স্ট্রেনস অধ্যায়গুলিতে দেখতে পারেন

— সেবাস্টিয়ান
সূত্র