বিভাজনে পোয়েসন বিতরণ ডেরাইভ করা

আমি সম্প্রতি দ্বিপরিচালিত পোইসন বিতরণের মুখোমুখি হয়েছি, তবে কীভাবে এটি উত্পন্ন করা যায় তা সম্পর্কে আমি কিছুটা বিভ্রান্ত।

বিতরণটি প্রদান করেছেন:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

আমি যা সংগ্রহ করতে পারি তার থেকে, $\theta_{0}$ শব্দটি $X$ এবং মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের একটি পরিমাপ $Y$ ; অতএব, যখন $X$ এবং $Y$ স্বতন্ত্র হয়, $\theta_{0} = 0$ এবং বিতরণটি দুটি বিতরণের পণ্য হয়ে যায়।

এটি মনে রেখে, আমার বিভ্রান্তি সামিট টার্মে পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে - আমি ধরে নিচ্ছি এই শব্দটি $X$ এবং মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্কের ব্যাখ্যা দেয় $Y$ ।

আমার কাছে মনে হয় যে সমষ্টিটি দ্বিপদী সংশ্লেষিত বিতরণ ফাংশনগুলির এক ধরণের পণ্য গঠন করে যেখানে "সাফল্য" এর সম্ভাবনাটি দ্বারা দেওয়া হয় $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ এবং "ব্যর্থতা" এর সম্ভাবনা $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , কারণ $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ তবে আমি এ থেকে দূরে যেতে পারি।

এই বিতরণটি কীভাবে উত্পন্ন করা যেতে পারে তার জন্য কেউ কিছু সহায়তা দিতে পারে? এছাড়াও, যদি কোনও উত্তরটিতে এটি অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে তবে কীভাবে এই মডেলটিকে একটি বহুবিধ দৃশ্যে প্রসারিত করা যেতে পারে (তিন বা ততোধিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল বলুন), দুর্দান্ত!

(অবশেষে, আমি লক্ষ করেছি যে এর আগেও একই ধরণের প্রশ্ন পোস্ট করা হয়েছিল ( বাইভারিয়েট পোয়েসন বিতরণ বোঝা ), তবে ডেরাইভেশনটি অন্বেষণ করা হয়নি))

— user9171
সূত্র

পরিবর্তে সাথে প্রথম শব্দটি ?

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— গিলস

@ গাইলস দুঃখিত, আমি আপনার মন্তব্যটি প্রথম দিকে ভুলভাবে লিখেছি - হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন; মেয়াদ পড়া উচিত । এটি ধরার জন্য ধন্যবাদ!

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— ব্যবহারকারী 9171

সাধারণভাবে, কিছু প্রচলিত ব্যতিক্রম (উদাহরণস্বরূপ "" মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক) "অবিচ্ছিন্ন বিতরণের বহুবিধ সংস্করণের জন্য এটি" "নয়। মাল্টিভিয়ারেট এক্সটেনশন পাওয়ার অনেকগুলি উপায় রয়েছে যার উপর নির্ভর করে কোন বৈশিষ্ট্যগুলি সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ। বিভিন্ন লেখকের সাধারণ অবিচ্ছিন্ন বিতরণের বিভিন্ন ধরণের সংস্করণ থাকতে পারে। তাই সাধারণত, একটি "ভালো কিছু বলতে পারে একটি বহুচলকীয় পইসন", বা 'SO-এবং-তাই bivariate পয়সন এর "এই এক না শুধুমাত্র এক একটি প্রশংসনীয় প্রাকৃতিক এক,

— Glen_b -Reinstate মনিকা

(সিটিডি) ... উদাহরণস্বরূপ কিছু লেখক নেতিবাচক নির্ভরতার পক্ষে সক্ষম এমন বহুবিধ বিতরণ সন্ধান করেছেন, যার এই ক্ষমতা যার নেই।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

উত্তর:

একটি স্লাইড উপস্থাপনা , Karlis এবং Ntzoufras বিতরণের হিসেবে bivariate পইসন সংজ্ঞায়িত যেখানে স্বাধীনভাবে আছে পইসন ডিস্ট্রিবিউশন। মনে রাখবেন যে এ জাতীয় বিতরণ হওয়ার অর্থ $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Pr (X_{i} = k) = e^{- θ_{i}} \frac{θ_{i}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

জন্য $k=0, 1, 2, \ldots.$

ইভেন্ট হ'ল ইভেন্টগুলির বিভাজন ইউনিয়ন $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

সবার জন্য যে সব তিনটি উপাদান অ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার করতে, যেখান থেকে আমরা যে অনুমান করতে পারে । যেহেতু তাদের সম্ভাবনাগুলি স্বাধীন $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ $X_i$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = Pr ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} Pr (X_{0} = i) Pr (X_{1} = x - i) Pr (X_{2} = y - i) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

এটি একটি সূত্র; আমরা করেছি. তবে এটি যে প্রশ্নের সূত্রের সমতুল্য তা দেখতে, বিতরণের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে এই সম্ভাব্যতাগুলি পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে- এবং ( শূন্য নয়) ধরে রেখে পুনরায় এটিকে কাজ করুন প্রোডাক্টের মতো যথাসম্ভব দেখতে : $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) & = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} (e^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{i}}{i!}) (e^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - i}}{(x - i)!}) (e^{- θ_{2}} \frac{θ_{2}^{y - i}}{(y - i)!}) \\ = e^{- (θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} (e^{- θ_{0}} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{i}}{i!} \frac{x! θ_{1}^{- i}}{(x - i)!} \frac{y! θ_{2}^{- i}}{(y - i)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

আপনি যদি সত্যিই এটি করতে চান - এটি কিছুটা উপকারী - আপনি সহগ এবং ব্যবহার করে যোগফলগুলিতে আবার প্রকাশ করতে পারেন , ফলনশীল $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ $\binom{y}{i}$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = e^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} i! (\binom{x}{i}) (\binom{y}{i}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{i},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

ঠিক যেমন প্রশ্নে।

প্রয়োজনীয়তা নমনীয়তার উপর নির্ভর করে মাল্টিভারিয়েট পরিস্থিতিগুলিতে সাধারণীকরণ বিভিন্ন উপায়ে এগিয়ে যেতে পারে। সবচেয়ে সহজ বিতরণ বিবেচনা করবে

(X_{1} + X_{0}, X_{2} + X_{0}, \dots, X_{d} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

স্বাধীন বিতরণযোগ্য পরিবর্তনের জন্য । আরও নমনীয়তার জন্য অতিরিক্ত ভেরিয়েবলগুলি চালু করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলি এবং এর মাল্টিভাটারে বিতরণ বিবেচনা করুন , $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— whuber
সূত্র

কুদোস! , বড় পদক্ষেপের দ্বিতীয় আগে ?

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— গিলস

@ গিলস টাইপো ধরার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ - আমি এটি ঠিক করেছি। প্রাথমিক এক্সপোনেন্ট হতে প্রয়োজন ; প্রথম মধ্যে । সঠিক।

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@ ভুবার ধন্যবাদ মিলিয়ন! এটি একটি নিখুঁত উত্তর!

— ব্যবহারকারী 9171

@ শুভ উত্তর! আমি এখনও দেখতে পাচ্ছি না কেন ইভেন্ট ইভেন্টগুলির বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন হওয়া উচিত । আমি অনুমান করি এটি কেবল সত্য । সম্ভবত আপনি বোঝাচ্ছেন (উপাদান অনুসারে)? তবে কি বিতরণ কার্যটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার পক্ষে যথেষ্ট?

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$

— ভ্যানগার্ড

@ ভ্যানগার্ড ২ কে আমি আপনার মন্তব্য বুঝতে পারি না। আপনি কি দৃ events়ভাবে দাবি করছেন যে ঘটনাগুলি বিরক্তি নয় ? (তবুও এগুলি অবশ্যই হওয়া উচিত, কারণ তাদের স্বতন্ত্র মান রয়েছে ) বা আপনি বলছেন যে এগুলি সম্পূর্ণ নয়? (যদি তা হয় তবে ( এর কোন মান (গুলি) আপনি অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি বলে মনে করেন?)

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— শুভ

বিভাজনে পোয়েসন বিতরণ প্রাপ্ত করার একটি উপায় এখানে।

কে প্যারামিটারগুলির সাথে স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবল হতে দাও । তারপরে আমরা । an উভয়ের ক্ষেত্রেই সাধারণ ভেরিয়েবলের কারণে এই জুটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হতে পারে। তারপরে আমাদের অবশ্যই সম্ভাব্য গণ ফান্ট গণনা করতে হবে: $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ $(Y_1, Y_2)$

\begin{aligned} P (Y_{1} = y_{1}, Y_{2} = y_{2}) & = P (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2} = y_{2}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} P (X_{0} = x_{0}) P (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P (X_{2} = y_{2} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} e^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} e^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} e^{- θ_{2}} \frac{{θ_{2}}^{y_{2} - x_{0}}}{(y_{2} - x_{0})!} \\ = e^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2}}^{y_{2}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$
আশা করি এটি সাহায্য করবে!

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন
সূত্র

হাই কেজেটিল - আমি ফরম্যাটিংয়ের সাথে সমস্যাগুলি সমাধান করেছি (তবে, যতটা সম্ভব কম পরিবর্তন করতে ইচ্ছুক, বেশ কয়েকটি টাইপ অক্ষত রেখেছি)। আমি বুঝতে পারছি না কেন আপনি আমার পূর্বের উত্তরে ডেরিভিশনটির একটি প্রতিলিপি পোস্ট করছেন, বিশেষত যখন আপনি সেই পথে কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হারিয়েছেন যা চূড়ান্ত ফলাফলকে ভুল হিসাবে দেখায়। আপনি তৈরি করার চেষ্টা করছেন একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট আছে?

T E X

$\TeX$

— whuber

হুঁশিয়ারি: আমি যেখানে পোস্ট করেছি তোমার উত্তর দেওয়ার আগে আমার উত্তর লিখতে শুরু করেছি! নাহলে আমি এটি লিখতাম না।

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সন