এবং , স্বাধীনতার পিছনে অন্তর্দৃষ্টি কী ?

18

আমি আশা করছিলাম কেউ কোনো যুক্তি ব্যাখ্যা কেন র্যান্ডম ভেরিয়েবল উত্থাপন করা হতে পারে এবং , আদর্শ সাধারন বন্টনের হচ্ছে পরিসংখ্যানগত স্বাধীন। এই সত্যের প্রমাণটি এমজিএফ কৌশল থেকে সহজেই অনুসরণ করা হয়, তবুও আমি এটি অত্যন্ত পাল্টা স্বজ্ঞাত বলে মনে করি। $Y_1=X_2-X_1$ $Y_2=X_1+X_2$ $X_i$

আমি তাই অন্তর্ভুক্তি এখানে প্রশংসা করব, যদি কোন।

তুমাকে অগ্রিম ধন্যবাদ.

সম্পাদনা : সাবস্ক্রিপ্টগুলি মান পরিসংখ্যান থেকে আদেশ পরিসংখ্যানগুলি নির্দেশ করে না তবে আইআইডি পর্যবেক্ষণগুলি।

probability self-study mathematical-statistics

— JohnK
সূত্র

"এমজিএফ কৌশল" কী?

— অ্যামিবা বলছেন মনিকা পুনরায়

@ এমিবেবা এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ নির্ধারণের জন্য মুহুর্ত তৈরি করার কাজগুলি। আমার ক্ষেত্রে, আমি উল্লেখ করি যে এবং

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$ স্বতন্ত্র এবং যদি কেবল

M (t_{1}, t_{2}) = M (t_{1}, 0) \times M (0, t_{2})

$M(t_1,t_2)=M(t_1,0) \times M(0,t_2)$ ,

M (t_{1}, t_{2})

$M(t_1,t_2)$ সমান

E (e^{t_{1} Y_{1} + t_{2} Y_{2}})

$E(e^{t_1Y_1+t_2Y_2})$ । অন্য যে কোনও কৌশল চয়ন করুন এবং আমি নিশ্চিত যে আপনি একই ফলাফলটিতে পৌঁছে যাবেন।

— JohnK

1

আপনি সম্ভবত stats.stackexchange.com/questions/71260 এ ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত থ্রেড কিছু অন্তর্দৃষ্টি খুঁজে পেতে পারেন ।

— whuber

আপনি প্রতিটি

কিছু ধ্রুবক যোগ করুন,

বলুন তবে এইগুলির প্রতিটিটির কী হয় তা বিবেচনা করে আপনি কিছুটা স্বজ্ঞাততা পেতে পারেন । আর আপনি যদি সংখ্যাবৃদ্ধি প্রতিটি ঘটে

একটি ধ্রুবক দ্বারা, বলতে

μ

$\mu$

X

$X$

X

$X$

σ

$\sigma$

— rvl

1

নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত: উচ্চ সম্পর্কযুক্ত ভেরিয়েবলের যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য রেফারেন্স প্রায় অসম্পর্কিত ।

— গুং - মনিকা পুনরায়

22

এটি স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ করা ডেটা: scatter plot in first coordinate system লক্ষ্য করুন যে বিতরণটি সার্কুলারি প্রতিসম হয়।

আপনি যখন এবং স্যুইচ করেন , আপনি কার্যকরভাবে অক্ষটি ঘোরান এবং স্কেল করুন: এই নতুন স্থানাঙ্ক পদ্ধতির মূলটির সাথে একই উত্স রয়েছে এবং অক্ষগুলি হ'ল লম্ব। বিজ্ঞপ্তি প্রতিসমতার কারণে, নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেরিয়েবলগুলি এখনও স্বতন্ত্র। $Y_1 = X_2 - X_1$ $Y_2 = X_1 + X_2$ scatter plot with rotated coordinate system

— dobiwan
সূত্র

4

এবং

ইউনিট স্বাভাবিক মার্জিনের সাথে সম্পর্কিত হলেও ফলাফলটি প্রযোজ্য । সুতরাং আপনার ব্যাখ্যাটি কেবলমাত্র মূল ফলাফলের একটি সাবকেস জুড়ে। যাইহোক, এখানে মূল ধারণাটি দুর্দান্ত।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

1

@ গ্লেন_বি, হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন। আমি একটি সাধারণ মামলায় মনোনিবেশ করতে চেয়েছিলাম, যেহেতু জনক ইতিমধ্যে সাধারণ কেসটি কীভাবে প্রমাণ করতে হয় তা জানে বলে মনে হয়, তবে স্বজ্ঞাত অবিজ্ঞানের অভাব রয়েছে।

— দোবিয়ান

7

এর ফলাফল কাজ যৌথভাবে স্বাভাবিক (অর্থাত পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে, ), সাধারণ সঙ্গে । $(X_1,X_2)$ $-1<\rho<1$ $\sigma$

আপনি যদি কয়েকটি প্রাথমিক ফলাফল জানেন তবে এটি আপনার যা প্রয়োজন তা হল:

$\quad\quad\quad$ enter image description here

দোবিওয়ানের দৃষ্টিভঙ্গি মূলত ভাল - এটি কেবল যে ফলাফলটি সেখানে ঘটানো মামলার চেয়ে বেশি সাধারণ।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

3

প্রয়োজনীয়গুলিতে পছন্দসই ফলাফলটি নামিয়ে দেওয়ার জন্য +1। আমি যুক্ত করব যে অসম বৈকল্পের সাথে যৌথ স্বাভাবিকতার আরও সাধারণ ক্ষেত্রে, অক্ষের একটি ঘূর্ণন

পরিবর্তে

θ = \frac{1}{2} \arctan (\frac{2 ρ \cdot σ_{1} σ_{2}}{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}})

$\theta = \frac{1}{2}\arctan\left ( \frac{2\rho\cdot\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}\right )$

অন্তর্নিহিত মধ্যে

স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল উৎপন্ন হয়।

\pm \frac{π}{4}

$\pm \frac{\pi}{4}$

(X_{1}, X_{2}) \to (X_{1} + X_{2} . X_{1} - X_{2})

$(X_1,X_2) \to (X_1+X_2. X_1-X_2)$

— দিলিপ সরোতে

6

যখন ফলাফলের আপনাকে সত্যিকারের বলে দাবী সাধারণভাবে এমনকি ক্ষেত্রে জন্য সত্য নয় সব যে পরিচিত হয় যে এবং অভিন্ন ভ্যারিয়েন্স সাথে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল আছে, কিন্তু ফলাফলের করে জন্য হোল্ড স্বাভাবিক অবস্থার ব্যাখ্যা আপনি পরে বলেছিলেন: $X_1$ $X_2$

সাবস্ক্রিপ্টগুলি আদেশের পরিসংখ্যানগুলি নির্দেশ করে না তবে মানক সাধারণ বিভ্রান্তি থেকে পর্যবেক্ষণ করে।

এই বিবৃতি গত কয়েকটি শব্দ স্বাভাবিক ব্যাখ্যা অবশ্যই, হয়, যে এবং হয় স্বাধীন (স্বাভাবিক) র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তাই যৌথভাবে স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল। $X_1$ $X_2$

জন্য যৌথভাবে স্বাভাবিক অভিন্ন ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এটা কি সত্যি যে এবং হয় স্বাধীন (স্বাভাবিক) র্যান্ডম ভেরিয়েবল (সঙ্গে, সাধারণ, অসম ভেরিয়ানস মধ্যে), এবং এই জন্য স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা শ্রেষ্ঠ দেওয়া হয় Glen_b এর উত্তরে জন্য আপনার বিশেষ মামলায় এবং পাশাপাশি হচ্ছে স্বাধীন, dobiwan এর উত্তর, যা আপনি গ্রহণ করেছেন, সবচেয়ে সহজ, এবং প্রকৃতপক্ষে জানায় যে কোন অক্ষ আবর্তনের, শুধু দ্বারা $X_1+X_2$ $X_1-X_2$ $X_1$ $X_2$ রূপান্তরকরণে অন্তর্ভুক্ত, স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি দেবে। $\pm \frac{\pi}{4}$ $(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

সাধারণভাবে কী বলা যায়? সবকিছু আমি নিচে বলছি, মনে রাখবেন দয়া করে যে এবং আছে একই ভ্যারিয়েন্স কোন ব্যাপার কি, অন্যান্য বৈশিষ্ট্য তাদের আরোপিত হতে পারে। $X$ $Y$

তাহলে এবং হয় কোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবল (নোট: অগত্যা স্বাভাবিক নয়) সঙ্গে অভিন্ন ভ্যারিয়েন্স, তারপর এবং হয় সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল (যে, তারা শূন্য সহভেদাংক থাকে)। এটি কারণ যে কোভেরিয়েন্স ফাংশনটি বিলিনিয়ার : $X$ $Y$ $X+Y$ $X-Y$ এখানে আমরা যে ব্যবহার করেছেনমাত্র ভ্যারিয়েন্স হয়এর(এবং জন্য একভাবে) এবং, অবশ্যই, । নোট করুন যে এই ফলাফলটি হ'ল যখনএবং(প্রান্তিক) স্বাভাবিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল তবে অগত্যাযৌথভাবে হয়না

\begin{aligned} cov (X + Y, X - Y) & = cov (X, X) - cov (X, Y) + cov (Y, X) - cov (Y, Y) \\ = var (X) - cov (X, Y) + cov (X, Y) - var (Y) \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$

cov (X, X)

$\operatorname{cov}(X,X)$

var (X)

$\operatorname{var}(X)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (Y, X) = cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$ সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল। (আপনি যদি প্রান্তিক স্বাভাবিকতা যৌথ স্বাভাবিকের মতো না হওয়ার এই ধারণার সাথে পরিচিত না হন তবে কার্ডিনালের মাধ্যমে এই দুর্দান্ত উত্তরটি দেখুন )। বিশেষ ক্ষেত্রে যখন

এবং

হয় যৌথভাবে স্বাভাবিক (কিন্তু অগত্যা স্বাধীন নয়) স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তাই হয়

এবং

যৌথভাবে স্বাভাবিক, এবং যেহেতু তাদের সহভেদাংক হয়

,

এবং

স্বাধীন র্যান্ডম হয় ভেরিয়েবল।

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

0

$0$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

2

আমি প্রথম সাধারণ জন্য তর্ক অভিন্নরুপে বিতরণ যে শর্তাধীন গড় উপর শর্তাধীন ধ্রুবক । এর উপর ভিত্তি করে, আমি যুক্তি দিচ্ছি যে এর সমবায়তা 0 হয় Then $X_1,X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $0$ $Y_1,Y_2$

শর্তসাপেক্ষ মানে

$X_1+X_2=y$ $X_1=x, X_2 = y-x$ $X_1 = y-x, X_2=x$

$X_1$ $X_2$ $X_1+X_2$ $X_1 \mid Y_2 = y$ $X_2 \mid Y_2 = y$

E (Y_{1} ∣ Y_{2} = y) = E (X_{1} - X_{2} ∣ X_{1} + X_{2} = y) = E (X_{1} ∣ X_{1} + X_{2} = y) - E (X_{2} ∣ X_{1} + X_{2} = y) = 0.

$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$

(সাবধানতা: শর্তসাপেক্ষ মানে না থাকার সম্ভাবনা আমি বিবেচনা করি নি।)

নিয়মিত শর্তসাপেক্ষ মানে শূন্য পারস্পরিক সম্পর্ক / কোভেরিয়েন্সকে বোঝায়

$Y_1$ $Y_2$ $Y_2$ $Y_1$ $Y_1$ $Y_2$

C o v (Y_{1}, Y_{2}) = E [(Y_{1} - E (Y_{1})) (Y_{2} - E (Y_{2}))]

$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$ to this expectation, we apply the law of iterated expectations: take the expectation of the conditional expectation conditional on

Y_{2}

$Y_2$ :

= E [E [(Y_{1} - E (Y_{1})) (Y_{2} - E (Y_{2})) ∣ Y_{2}]] = E [(Y_{2} - E (Y_{2})) E [Y_{1} - E (Y_{1}) ∣ Y_{2}]] .

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$ Recall that the conditional mean was shown to be independent of

Y_{2}

$Y_2$ and thus the expression simplifies as

= E [(Y_{2} - E (Y_{2})) E [Y_{1} - E (Y_{1})]]

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$ but the inner expectation is

0

$0$ and we get

= E [(Y_{2} - E (Y_{2})) \times 0] = 0.

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$

Independence

Just by assuming identical distributions for $X_1,X_2$ , it was shown that $Y_1$ and $Y_2$ are uncorrelated. When $X_1,X_2$ are jointly normal (for example, iid. normal as in the question), their linear combinations $Y_1,Y_2$ are also jointly normal and thus uncorrelatedness implies independence.

— Juho Kokkala
সূত্র