রৈখিক রূপান্তরের পরে একটি এলোমেলো ভেক্টরের সহকারী

Question

তাহলে র্যান্ডম ভেক্টর এবং একটি একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয়, কেউ ব্যাখ্যা হতে পারে কেন গ ণ বনাম [ একটি টু Z ] = একটি গ ণ বনাম [ জেড ] একটি ⊤$\mathbf {Z}$$A$

$$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$$

Answer 1

গড় ভেক্টর মি = ই [ জেড ] সহ একটি এলোমেলো (কলাম) ভেক্টর জন্য কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে কোভ ( জেড ) = ই [ ( জেড - এম ) ( জেড - এম ) টি ] হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে । সুতরাং, এ জেড এর কোভরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স , যার অর্থ ভেক্টর এ এম , কোভ দ্বারা দেওয়া হয়েছে ( এ জেড$\mathbf Z$$\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$$\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$$A\mathbf{Z}$$A\mathbf{m}$

$$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$$

Comments

আমি আমার টাইপ সংশোধন করেছি। আমার ত্রুটি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ।

— ব্যবহারকারী 92612

Answer 2

দিলীপ সরওয়াতে জবাব আমি যুক্ত করব যে ফর্মের রূপান্তরের জন্য একই ফলাফল রয়েছে$\mathbf{Z}A^T$

$$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$$

$$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$$

ব্যবহার $AB^TBA^T=BAA^TB^T$ পদক্ষেপে (3):

$$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$$