অসম বৈকল্পের সাথে টি পরীক্ষায় স্বাধীনতার অ-পূর্ণসংখ্যার ডিগ্রির জন্য ব্যাখ্যা

এসপিএসএস টি-টেস্ট পদ্ধতিতে 2 টি স্বতন্ত্র উপায়ের সাথে তুলনা করার সময় 2 বিশ্লেষণের প্রতিবেদন করা হয়, সমান বৈকল্পিকগুলির সাথে একটি বিশ্লেষণ ধরে নেওয়া হয় এবং সমান বৈকল্পিকগুলির সাথে একটি অনুমান করা হয় না। সমান রূপগুলি ধরে নেওয়া হলে স্বাধীনতার ডিগ্রি সর্বদা পূর্ণসংখ্যার মান (এবং সমান এন -২) হয়। সমান বৈকল্পিকগুলি যখন ধরে না নেওয়া হয় তখন ডিএফটি অ-পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন, 11.467) এবং এন -2 এর কাছাকাছি কোথাও নেই। আমি এই অ-পূর্ণসংখ্যার ডিএফ গণনা করতে ব্যবহৃত যুক্তি এবং পদ্ধতিটির ব্যাখ্যা চাইছি।

— জোয়েল ডাব্লু।
সূত্র

ইউনিভার্সিটি অফ ফ্লোরিডা পাওয়ারপয়েন্ট উপস্থাপনায় কীভাবে অসম্পূর্ণ বৈকল্পের ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর টি স্ট্যাটিস্টিকের নমুনা বন্টনের এই সান্নিধ্য প্রাপ্ত তা একটি উত্তম অ্যাকাউন্ট রয়েছে ।

— হোবার

ওয়েলচের টি-টেস্ট কি সর্বদা আরও সঠিক? ওয়েলচ পদ্ধতির ব্যবহারের কোনও নেতিবাচক উপায় আছে কি?

— জোয়েল ডাব্লু।

যদি ওয়েলচ এবং মূল টি-পরীক্ষার ফলন নাটকীয়ভাবে বিভিন্ন পি এর হয় তবে আমি কোনটি দিয়ে যেতে পারি? বৈকল্পিক পার্থক্যের জন্য p মানটি যদি কেবলমাত্র .06 হয় তবে দুটি টি-পরীক্ষার পি ভেলগুলির মধ্যে পার্থক্যগুলি .000 এবং .121 হয়? (এটি ঘটেছিল যখন 2 টির একটি গ্রুপের কোনও বৈকল্পিকতা ছিল না এবং 25 টির অন্য গ্রুপের of০,০০০ এর বৈচিত্র ছিল))

— জোয়েল ডাব্লু।

মানের উপর ভিত্তি করে তাদের মধ্যে নির্বাচন করবেন না । সমান বৈকল্পিকতা ধরে নেওয়ার যদি আপনার কাছে যুক্তিসঙ্গত কারণ না থাকে (তবে আপনি ডেটা দেখার আগেও) সহজেই অনুমান করবেন না।

p

$p$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

ওয়েলচ পরীক্ষাটি কখন ব্যবহার করতে হয় সে সম্পর্কিত সমস্ত প্রশ্ন। এই প্রশ্নটি পোস্ট করা হয়েছে stats.stackex بدل

— জোয়েল ডব্লিউ।

উত্তর:

ওয়েলচ-স্যাটার্থওয়েট ডিএফ-কে স্বতন্ত্র মানদণ্ডের বিচ্যুতির অনুপাতে ওজন সহ দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতার একটি মাপকাঠিযুক্ত ওজনযুক্ত সুরেলা হিসাবে দেখানো যেতে পারে।

আসল অভিব্যক্তিটি পড়ে:

ν_{_{W}} = \frac{{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{\frac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2} ν_{1}} + \frac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2} ν_{2}}}

$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$

দ্রষ্টব্য যে হল নমুনার গড়ের অনুমানিত বৈকল্পিক বা গড়ের তম মানের ত্রুটির বর্গক্ষেত্র । আসুন (নমুনার আনুমানিক পরিবর্তনের অনুপাতের অর্থ), তাই $r_i=s_i^2/n_i$ $i^\text{th}$ $i$ $r=r_1/r_2$

\begin{aligned} ν_{_{W}} & = \frac{{(r_{1} + r_{2})}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \\ = \frac{{(r_{1} + r_{2})}^{2}}{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}} \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \\ = \frac{{(r + 1)}^{2}}{r^{2} + 1} \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$

প্রথম ফ্যাক্টর , যা থেকে বৃদ্ধি এ থেকে এ এবং তারপর কমে যায় এ ; এটি মধ্যে প্রতিসম হয় । $1+\text{sech}(\log(r))$ $1$ $r=0$ $2$ $r=1$ $1$ $r=\infty$ $\log r$

দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি একটি ওজনযুক্ত সুরেলা গড় :

H (\underline{x}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}}} .

$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$

of the d.f., where $w_i=r_i^2$ are the relative weights to the two d.f.

$r_1/r_2$ $\nu_1$ $r_1/r_2$ $0$ $\nu_2$ $r_1=r_2$ $s_1^2=s_2^2$ $\nu_{_W}$ .

With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.

— Glen_b -Reinstate Monica
সূত্র

Great insight about the harmonic mean, which is more appropriate than arithmetic mean for averaging ratios.

— Felipe G. Nievinski

What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The $t$ -test when the WS correction is applied is often called Welch's $t$ -test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's $t$ -test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular $t$ -test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the $t$ -test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of $s^2_1/n_1$ vs $s_2^2/n_2$ ; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a $t$ -distribution with that df.

— gung - Reinstate Monica
সূত্র

For one t-test, SPSS reports the df as 26.608 but the n's for the two groups are 22 and 104. Are you sure about " The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the larger group"? (The standard deviations are 10.5 and 8.1 for the smaller and larger groups, respectively.)

— Joel W.

It depends on the relative sizes of

s_{1}^{2} / n_{1}

$s_1^2/n_1$ vs

s_{2}^{2} / n_{2}

$s_2^2/n_2$ . If the larger

n

$n$ is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.

— Glen_b -Reinstate Monica

I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the

(s_{i}^{2} / n_{i})

$(s_i^2/n_i)$ and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b, I'm sure that will be of great value here.

— gung - Reinstate Monica