একটি রূপান্তর অধীনে ফিশার তথ্য পর্যবেক্ষণ

"সমস্ত সম্ভাবনায়: পরিসংখ্যানের মডেলিং এবং সম্ভাবনা ব্যবহারের সম্ভাবনা" থেকে ওয়াই পাভিটান, পুনরায় পরামিতিকরণের সম্ভাবনা $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

L^{*} (ψ) = max_{{θ : g (θ) = ψ}} L (θ)

$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$ যাতে যদি এক-থেকে-এক হয় তবে (পৃষ্ঠা 45)। আমি ব্যায়াম 2.20 যা যে যদি দেখানোর জন্য চেষ্টা করছি হয় স্কালে (এবং আমি যে অনুমান পাশাপাশি স্কেলের ফাংশন হতে অনুমিত হয়), তারপর যেখানে হ'ল পর্যবেক্ষণ করা ফিশারের তথ্য এবং ।

g

$g$

L^{*} (ψ) = L (g^{- 1} (ψ))

$L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$

θ

$\theta$

g

$g$

I^{*} (g (\hat{θ})) = I (\hat{θ}) {| \frac{\partial g (\hat{θ})}{\partial \hat{θ}} |}^{- 2},

$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$

I (θ) = - \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} l (θ)

$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$

l (θ) = \log L (θ)

$l(\theta)=\log L(\theta)$

যদি ওয়ান-টু ওয়ান হয় তবে এটি চেইন-রুল এবং ইনভেরিয়েশন নীতিটি ব্যবহার করে সোজা। আমি কেবল কয়েকটি বিষয় নিয়ে ভাবছি: $g$

কেন তিনি নিরঙ্কুশ মান লেখার জন্য জেদ করেন? এই ছেড়ে যেতে পারে, তাই না?
দ্বারা তিনি ফাংশন মানে এ মূল্যায়ন right, তাই না? যদি এটি হয়, তবে এটি স্বরলিপিটি পছন্দ করা ভাল নয়? আমি বিশ্বাস করি যে এই জন্য স্বাভাবিক সাঁটে লেখার স্বরলিপি woruld হতে । $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ $\theta=\hat{\theta}$ $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$
এটি কীভাবে প্রদর্শিত হয় যখন $g$ অগত্যা এক-এক-না হয়?

— স্টিফান হ্যানসেন
সূত্র

পরম মান অপ্রয়োজনীয়। এটি কেবল একটি টাইপো হতে পারে।
আপনি ঠিক বলেছেন। একটি আরো উন্নত স্বরলিপি হবে। $\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$
এটি সাধারণভাবে ধরে না। কিছু এবং by । আরএইচএস অপরিজ্ঞাত করা হবে যেহেতু প্রতিটি জন্য ডেরিভেটিভ শূন্য । $\psi_0$ $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $g(\theta)=\psi_0$ $\theta$

নিয়মিত ক্ষেত্রে একটি স্কেচ:

সহ এক থেকে এক মসৃণ করার জন্য । যেহেতু, , আমাদের সুতরাং, $g$ $\psi=g(\theta)$ $d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

\begin{aligned} {আমি}^{*} (ψ) & = - \frac{ঘ^{2} {এল}^{*} (ψ)}{ঘ ψ^{2}} = - \frac{ঘ}{ঘ ψ} (\frac{ঘ {এল}^{*} (ψ)}{ঘ ψ}) = - \frac{ঘ}{ঘ ψ} (\frac{ঘ {এল}^{*} (ψ)}{ঘ θ} \frac{ঘ θ}{ঘ ψ}) \\ = - \frac{ঘ^{2} {এল}^{*} (ψ)}{ঘ θ^{2}} {(\frac{ঘ θ}{ঘ ψ})}^{2} - \frac{ঘ {এল}^{*} (ψ)}{ঘ θ} \frac{ঘ^{2} θ}{ঘ ψ^{2}} \frac{ঘ θ}{ঘ ψ} । \end{aligned}

$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$

\begin{aligned} {আমি}^{*} (ছ (\hat{θ})) & = - \frac{ঘ^{2} {এল}^{*} (ছ (\hat{θ}))}{ঘ θ^{2}} {(\frac{ঘ θ}{ঘ ψ})}^{2} - \frac{ঘ {এল}^{*} (ছ (\hat{θ}))}{ঘ θ} \frac{ঘ^{2} θ}{ঘ ψ^{2}} \frac{ঘ θ}{ঘ ψ} \\ = - \frac{ঘ^{2} এল (ছ^{- 1} (ছ (\hat{θ})))}{ঘ θ^{2}} {(\frac{ঘ ছ (θ)}{ঘ θ} |_{θ = ছ^{- 1} (ছ (\hat{θ}))})}^{- 2} - \frac{ঘ এল (ছ^{- 1} (ছ (\hat{θ})))}{ঘ θ} \frac{ঘ^{2} θ}{ঘ ψ^{2}} \frac{ঘ θ}{ঘ ψ} \\ = আমি (\hat{θ}) {(\frac{ঘ ছ (θ)}{ঘ θ} |_{θ = \hat{θ}})}^{- 2}, \end{aligned}

$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$ যাতে আমরা ব্যবহার করেছি ।

d L (g^{- 1} (g (\hat{θ}))) / d θ = d L (\hat{θ}) / d θ = 0

$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$

— জেন
সূত্র

আমার সমস্ত সন্দেহের সমাধান করার জন্য এবং ধ্রুবক সহ সেই সাধারণ পাল্টা-উদাহরণের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ । আপনার নিয়মিত কেস এর স্কেচ আমি যা করেছি তার অনুরূপ, তাই এটি ভাল। ধন্যবাদ।

g

$g$

— স্টিফান হ্যানসেন