গামা এবং চি-স্কোয়ার বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক

যদি যেখানে , অর্থাৎ সমস্ত একই শূন্যের র্যান্ডম ভেরিয়েবল একই ভেরিয়েন্স সহ, তারপরে

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

আমি জানি যে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনটি গামা বিতরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, তবে এলোমেলো পরিবর্তনশীল জন্য চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশন অর্জন করতে পারেনি । কোন সাহায্য, দয়া করে? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— কাকা
সূত্র

কিছু পটভূমি

বন্টন বন্টন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে বর্গের summing থেকে ফলাফল স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল , তাই: যেখানে করে যে এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং একই ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে (সম্পাদনা: একটি চি স্কোয়ার্ড ডিস্ট্রিবিউশন সহ স্বাধীনতার ডিগ্রি এবং এ জাতীয় বিতরণ সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনীয় উভয়ই বোঝাতে পারে )। এখন, বিতরণের পিডিএফ $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ সুতরাং, আসলেই বিতরণ হল পিডিএফ দিয়ে বিতরণের একটি বিশেষ কেস এখন স্পষ্ট ।

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

আপনার ক্ষেত্রে

আপনার ক্ষেত্রে পার্থক্য হ'ল আপনার সাধারণ ভেরিয়েবলগুলি সাধারণ ভেরিয়েন্সস । তবে অনুরূপ বিতরণ দেখা দেয়: সুতরাং the দিয়ে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে গুণিত করার ফলে বিতরণ অনুসরণ করে । এটি সহজেই এলোমেলো ভেরিয়েবলের রূপান্তর ( ) এর সাথে পাওয়া যায়: মনে রাখবেন যে এটি বলার মতোই $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ যেহেতু গামা এর দ্বারা শোষিত হতে পারে প্যারামিটার।

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

বিঃদ্রঃ

তোমাদের মধ্যে পিডিএফ আহরণ করতে চান, গোড়া থেকে (এটিও সঙ্গে পরিস্থিতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ছোট কিছু পরিবর্তন অধীনে), আপনি প্রথম পদক্ষেপ অনুসরণ করতে পারেন এখানে জন্য মান রূপান্তর ব্যবহার এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য। তারপরে, আপনি হয় পরবর্তী পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করতে পারেন বা গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যগুলিতে নির্ভর করে এবং উপরে বর্ণিত সাথে সম্পর্কটি সংক্ষিপ্ত করতে পারেন । $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
সূত্র

সুন্দর বর্ণনা (+1)। তবে আমি সন্দেহজনক যখন আপনি বলছেন যে সম্ভবত এটি হওয়া উচিত যেখানেএবং পরিশেষে,

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— কাকা

ধন্যবাদ @ কাকা। প্রথম পয়েন্টে, আসলে স্বরলিপিটি সহ আমি র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি উল্লেখ করছি যা আপনি যখন দ্বারা একটি ভেরিয়েবলকে গুণিত করেন তখন উত্থাপিত হয় , তাই আমরা উভয়ই একই কথা বলছি। .. দ্বিতীয় বিন্দু, পুনরাহ্বান যে স্বরলিপি আমি ঘনত্ব নির্দেশ করতে ব্যবহার করা হয় (প্যারামিটার একটি দ্বিতীয় যুক্তি হিসাবে প্রদর্শিত হবে)। আপনার স্বরলিপি দিয়ে, হিসাবে পড়বে , এটিও ঠিক আছে তবে আপনি দ্বিগুণ পুনরাবৃত্তি করছেন ।

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— epsilone

তবে একেবারে প্রথম সমীকরণে আপনি বিতরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— কাকা

হ্যাঁ, এবং জন্য সমীকরণ মধ্যে এর আছে ভ্যারিয়েন্স , তাই মত হল প্রথম সমীকরণের।

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ চি স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং এ জাতীয় বিতরণ অনুসরণকারী একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে বোঝায় । এটি সম্ভবত স্বরলিপিটির অপব্যবহার, তবে এর অর্থ পরিষ্কার হওয়া উচিত। তবুও এটি স্পষ্ট করার জন্য আমি উত্তরটি সম্পাদনা করব।

n

$n$

— epsilone