অপেক্ষার প্যারাডক্সটি ব্যাখ্যা করুন

75

কয়েক বছর আগে আমি একটি রেডিয়েশন ডিটেক্টর ডিজাইন করেছি যা ইভেন্টগুলির মধ্যে গণনা না করে তার মধ্যবর্তী ব্যবধান পরিমাপ করে কাজ করে। আমার ধারণাটি ছিল, অ-সংগতিপূর্ণ নমুনাগুলি পরিমাপ করার সময়, আমি প্রকৃত বিরতিতে অর্ধেক পরিমাপ করি। যাইহোক যখন আমি ক্যালিব্রেটেড উত্স দিয়ে সার্কিটটি পরীক্ষা করি তখন পঠন দুটি খুব উচ্চতার একটি ফ্যাক্টর ছিল যার অর্থ আমি পুরো বিরতিটি পরিমাপ করছিলাম।

সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান সম্পর্কিত একটি পুরাতন বইয়ে আমি "দ্য ওয়েটিং প্যারাডক্স" নামে কিছু সম্পর্কে একটি বিভাগ পেয়েছি। এটি একটি উদাহরণ উপস্থাপন করেছে যেখানে একটি বাস প্রতি ১৫ মিনিটে বাস স্টপসে আসে এবং কোনও যাত্রী এলোমেলোভাবে উপস্থিত হয়, এতে বলা হয়েছে যে যাত্রী গড়ে পুরো 15 মিনিট অপেক্ষা করবেন। আমি উদাহরণ সহ উপস্থাপিত গণিতটি কখনই বুঝতে সক্ষম হইনি এবং ব্যাখ্যাটির সন্ধান করতে চালিয়ে যেতে পারি না। যদি কেউ ব্যাখ্যা করতে পারেন যে এটি কেন এমন হয় যাতে যাত্রী পুরো বিরতিটির জন্য অপেক্ষা করে তবে আমি আরও ভাল ঘুমাব।

poisson-process paradox

— স্টিফেন স্যাকেট
সূত্র

1

শিরোনাম কী এবং বইটির রচয়িতা কে? আপনি কি এখানে শব্দের উদাহরণ শব্দটি অনুলিপি করতে পারেন?

— জোয়েল রেয়েস নোশি

এটি আমার বিশেষত্ব নয়, তবে ওপি দ্বারা উল্লিখিত প্যারাডক্সটি কি পরিদর্শন প্যারাডক্সের মতো ?

— জোয়েল রেয়েস নোশে

1

সম্পর্কিত পোস্ট: math.stackexchange.com/questions/222674/…

— ddiez

1

দেখে মনে হচ্ছে উপরের আমার অনুমানটির কিছুটা সমর্থন আছে। এই উত্তরের একটি মন্তব্যে পরিদর্শন প্যারাডক্সের উল্লেখ রয়েছে।

— জোয়েল রেয়েস নোশে

2

আমি মনে করি যে বাসটি ব্যবহারের সাথে উপমা বিভ্রান্তিকর, কারণ বাসগুলি শিডিউল অনুসরণ করে I যখন প্রতি 15 মিনিটে গড়ে একজন আসে তখন খালি ট্যাক্সি আসতে কত সময় লাগবে তার পরিবর্তে চিন্তা করুন।

— হার্ভি মোটুলস্কি

48

গ্লেন_বি উল্লেখ করেছেন যে, বাসগুলি যদি কোনও অনিশ্চয়তা ছাড়াই প্রতি মিনিটে আসে তবে আমরা জানি যে অপেক্ষা করার সর্বাধিক সম্ভাব্য সময় মিনিট। আমাদের অংশ থেকে আমরা "র্যান্ডম এ" পৌঁছা, তাহলে আমরা যে "গড়ে" আমরা অপেক্ষা করব বোধ অর্ধেক সর্বাধিক সম্ভাব্য অপেক্ষা সময় । এবং সর্বাধিক সম্ভাব্য অপেক্ষার সময়টি পরপর দু'জন আগতদের মধ্যে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য দৈর্ঘ্যের সমান। আমাদের অপেক্ষার সময় এবং টানা দুটি বাসের আগত মধ্যে সর্বাধিক দৈর্ঘ্যকে চিহ্নিত করুন এবং আমরা এটি যুক্তি দিয়েছি $15$ $15$ $W$ $R$

\begin{matrix} (1) & E (W) = \frac{1}{2} R = \frac{15}{2} = 7.5 \end{matrix}

$E(W) = \frac 12 R = \frac {15}{2} = 7.5 \tag{1}$

এবং আমরা ঠিক।

তবে হঠাৎ করে আমাদের থেকে নিশ্চিত সত্যতা সরিয়ে নেওয়া হয় এবং আমাদের জানানো হয় যে দুটি বাসের আগমনের মধ্যে মিনিটের গড় দৈর্ঘ্য। এবং আমরা "স্বজ্ঞাত চিন্তার জালে" পড়ে যাই এবং মনে করি: "আমাদের কেবলমাত্র তার প্রত্যাশিত মানটির সাথে প্রতিস্থাপন করতে হবে", এবং আমরা তর্ক করব $15$ $R$

\begin{matrix} (2) & E (W) = \frac{1}{2} E (R) = \frac{15}{2} = 7.5 WRONG \end{matrix}

$E(W) = \frac 12 E(R) = \frac {15}{2} = 7.5\;\;\; \text{WRONG} \tag{2}$

প্রথম ইঙ্গিত যে আমরা ভুল, যে হল না "কোন দুটি পরপর বাস আগমন মধ্যে দৈর্ঘ্য", এটা "হয় সর্বাধিক দৈর্ঘ্য ইত্যাদি"। সুতরাং যে কোনও ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে । $R$ $E(R) \neq 15$

সমীকরণে আমরা কীভাবে পৌঁছলাম ? আমরা ভেবেছিলাম: "অপেক্ষার সময়টি সর্বাধিক থেকে পর্যন্ত হতে পারে any আমি যে কোনও পরিস্থিতিতে সমান সম্ভাবনা নিয়ে পৌঁছেছি, তাই আমি এলোমেলোভাবে এবং সমান সম্ভাবনা সহ সমস্ত সম্ভাব্য অপেক্ষার সময়কে" চয়ন করি Hence সুতরাং পরপর দু'বার বাসের আগমনের মধ্যে অর্ধেক সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য আমার গড় অপেক্ষা অপেক্ষা "। এবং আমরা ঠিক। $(1)$ $0$ $15$

তবে ভুলভাবে সমীকরণ মান সন্নিবেশ করিয়ে , এটি আর আমাদের আচরণ প্রতিফলিত করে না। এর জায়গায় সহ , সমীকরণ বলছে "আমি এলোমেলোভাবে এবং সমান সম্ভাবনার সাথে সমস্ত সম্ভাব্য অপেক্ষার সময়কে পছন্দ করি যা দুটো টানা দুটি বাসের আগমনের মধ্যে গড় দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম বা সমান হয় " - এবং এখানেই আমাদের স্বজ্ঞাত ভুল মিথ্যা বলে, কারণ, আমাদের আচরণের কোনও পরিবর্তন হয়নি - সুতরাং, এলোমেলোভাবে অভিন্নভাবে উপস্থিত হয়ে আমরা বাস্তবে এখনও সম্ভাব্য অপেক্ষার সমস্ত সময় "এলোমেলোভাবে এবং সমান সম্ভাবনার সাথে বেছে নিই" - তবে "সমস্ত সম্ভাব্য অপেক্ষার সময়" দ্বারা বন্দী হয় না $15$ $(2)$ $15$ $E(R)$ $(2)$ $15$ - আমরা পরপর দু'জন বাস-আগমনের মধ্যে দৈর্ঘ্যের বিতরণের ডান লেজটি ভুলে গেছি।

সুতরাং সম্ভবত, আমাদের যেকোন দুটি টানা বাস আগতদের মধ্যে সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের প্রত্যাশিত মান গণনা করা উচিত, এটি কি সঠিক সমাধান?

হ্যাঁ এটি হতে পারে, তবে : নির্দিষ্ট "প্যারাডক্স" একটি নির্দিষ্ট স্টোকাস্টিক অনুমানের সাথে একসাথে চলে যায়: বাস-আগতদের বেঞ্চমার্ক পোইসন প্রক্রিয়া দ্বারা মডেল করা হয়, যার অর্থ আমরা ফলস্বরূপ ধরে নিয়েছি যে সময়সীমার মধ্যে যে কোনও দুটি টানা বাস-আগত একটি তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ অনুসরণ করে। বোঝাতে যে দৈর্ঘ্য, এবং আমরা যে আছে $\ell$

f_{ℓ} (ℓ) = λ e^{- λ ℓ}, λ = 1 / 15, E (ℓ) = 15

$f_{\ell}(\ell) = \lambda e^{-\lambda \ell},\;\; \lambda = 1/15,\;\; E(\ell) = 15$

এটি অবশ্যই আনুমানিক, যেহেতু এক্সফোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনটি ডান দিক থেকে সীমাহীন সমর্থন পেয়েছে, যার অর্থ "সমস্ত সম্ভাব্য অপেক্ষার সময়" কঠোরভাবে বলা এই মডেলিং অনুমানের অধীনে, বৃহত্তর এবং বিশালতা এবং "সহ" অসীম অন্তর্ভুক্ত, তবে সম্ভাবনা বিলুপ্ত হওয়ার সাথে ।

তবে অপেক্ষা করুন, ক্ষতিকারকটি স্মরণহীন : আমরা যে সময়ে পৌঁছে যাব তা বিবেচনা না করেই আমরা আগে যা ঘটেছে তা নির্বিশেষে আমরা একই র্যান্ডম পরিবর্তনশীলটির মুখোমুখি হই ।

প্রদত্ত এই সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি / distributional ধৃষ্টতা, সময়ের যে কোন বিন্দুতে একটি "পর পর দুটি বাস আগমন মধ্যে ব্যবধান" যার দৈর্ঘ্য প্রত্যাশিত মান (না সর্বোচ্চ মান) সঙ্গে একই সম্ভাব্যতা বিতরণের দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে অংশ : "আমি এখানে আছি, আমি আছি দুটি বাস-আগমনের মধ্যবর্তী ব্যবধান দ্বারা ঘিরে রয়েছে Some এর কিছু দৈর্ঘ্য অতীতে এবং কিছু ভবিষ্যতে রয়েছে তবে কতটা এবং কত পরিমাণে জানার আমার কোনও উপায় নেই, তাই আমি সবচেয়ে ভাল করতে পারি তা জিজ্ঞাসা করা হয় এর প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যটি কী - আমার গড় অপেক্ষা করার সময়টি কোনটি হবে? " - এবং উত্তরটি সর্বদা " " হায় হায়! $15$ $15$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

+1 খুব সুন্দর। হয়তো পড়া উচিত ?

f_{ℓ} (ℓ)

$f_\ell(\ell)$

f_{λ} (ℓ)

$f_\lambda(\ell)$

— অ্যামিবা

ধন্যবাদ। স্বরলিপি হিসাবে, উভয় বিভিন্ন জিনিস নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়। আমি যা লিখেছি তা যার র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ঘনত্ব, কারণ বিভিন্ন রূপান্তরগুলিতে আমরা মতো কিছু দিয়ে শেষ করতে পারি । আপনি যা পরামর্শ দিচ্ছেন তা হ'ল ঘনত্বের প্যারামিটারাইজড দিকটি বোঝানো।

f_{X} (y)

$f_X(y)$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

80

বাসটি যদি প্রতি "15 মিনিট" পরে আসে (অর্থসূচী অনুসারে) তবে যাত্রীটির (এলোমেলোভাবে আগত) গড় অপেক্ষা প্রকৃতপক্ষে মাত্র 7.5 মিনিটের, কারণ এটি 15 মিনিটের ব্যবধানে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হবে।

-

অন্যদিকে, বাসটি এলোমেলোভাবে প্রতি ঘন্টা 4 হারে (যেমন পয়সোন প্রক্রিয়া অনুসারে) আসে, তবে গড় অপেক্ষা আরও দীর্ঘতর; প্রকৃতপক্ষে আপনি এটিকে মেমোরির সম্পত্তির অভাবের মধ্য দিয়ে কার্যকর করতে পারেন। যাত্রীর আগমন শুরু হিসাবে নিন এবং পরবর্তী ইভেন্টের সময়টি 15 মিনিটের সাথে তাত্পর্যপূর্ণ।

আমাকে একটি পৃথক সময় উপমা নিতে দিন। কল্পনা করুন যে আমি 15 টি মুখ নিয়ে একটি ডাই রোল করছি, যার মধ্যে একটিতে "বি" (বাসের জন্য) এবং 14 মিনিটের বাসের মোট অনুপস্থিতির জন্য "এক্স" লেবেলযুক্ত (ফায়ার 30 পার্শ্বযুক্ত ডাইস বিদ্যমান, তাই আমি 2 টির মতো লেবেল রাখতে পারি) একটি 30-পক্ষীয় ডাই "বি" এর মুখগুলি)। তাই প্রতি মিনিটে একবার রোল করে দেখি যে বাস আসে কিনা। মরার কোনও স্মৃতি নেই; এটি সর্বশেষ "বি" এর পরে কতটা রোলস তা জানে না। এখন কল্পনা করুন কিছু সংযোগযুক্ত ঘটনা ঘটেছিল - একটি কুকুর ছোঁড়া, কোনও যাত্রী উপস্থিত, আমি বজ্রধ্বনি শুনতে পেলাম। এখন থেকে, আমি পরবর্তী "বি" অবধি কতক্ষণ অপেক্ষা করব (কত রোল)?

স্মৃতিশক্তি না থাকার কারণে, আমি পরের দু'বার "বি" এস এর মধ্যে সময়ের হিসাবে পরের বারের "বি" এর জন্য একই সময়টি অপেক্ষা করি।

[পরবর্তী কল্পনা করুন আমার একটি 60০-পার্শ্বযুক্ত ডাই আছে আমি প্রতি পনের সেকেন্ডে রোল আছি (আবারও, "বি" মুখের সাথে); এখন কল্পনা করুন যে আমার প্রতি এক-পার্শ্বের ডাই হয়েছে আমি প্রতি 0.9 সেকেন্ডে ঘুরে বেড়াচ্ছি (একটি "বি" মুখের সাথে; বা আরও বাস্তবতার সাথে, প্রত্যেকে তিনটি 10-পাশের ডাইস এবং আমি ফলাফলকে "বি" বলি যদি সমস্ত 3 এ "10" আসে) একই সময়) ... এবং আরও। সীমাতে, আমরা একটানা সময় পইসন প্রক্রিয়া পাই get]

এটি দেখার আরেকটি উপায় হ'ল: আমি আমার 'স্টার্ট কাউন্টিং রোলস' (যেমন 'যাত্রীবাহী বাস স্টপে পৌঁছেছি') ইভেন্টটি সংক্ষিপ্তটির চেয়ে দীর্ঘ ব্যবধানের সময়, সঠিকভাবে সঠিক উপায়ে পর্যবেক্ষণ করার সম্ভাবনা বেশি দেখি am গড় অপেক্ষা বাসের মধ্যে গড় সময় হিসাবে একই (আমি বেশিরভাগ দীর্ঘ শূন্যস্থান অপেক্ষা করুন এবং বেশিরভাগ সবচেয়ে কম বেশী ফসকান; কারণ আমি একটি অবিশেষে বিতরণ TIME এ পৌঁছাবে, আমাকে দৈর্ঘ্যের একটা ফাঁক আসার সম্ভাবনা সমানুপাতিক ) $t$ $t$

বাসের একজন প্রবীণ ক্যাচার হিসাবে, বাস্তবে বাস্তবে 'বাসগুলি একটি সময়সূচীতে আসে' এবং 'বাসগুলি এলোমেলোভাবে আসে' এর মধ্যে কোথাও কোথাও শুয়ে থাকে বলে মনে হয়। এবং কখনও কখনও (খারাপ ট্র্যাফিকে), আপনি এক ঘন্টা অপেক্ষা করেন তারপরে 3 একবারে উপস্থিত হন (জ্যাচ নীচের মন্তব্যে এর কারণ চিহ্নিত করে)।

— Glen_b
সূত্র

6

আমি মনে করি বাসগুলিতে বিশেষত একটি অতিরিক্ত প্রক্রিয়া রয়েছে যেখানে যাত্রী ক্র্যাম হওয়ার সাথে সাথে দেরিতে একটি বাস পরে পরিণত হয় এবং এর পেছনের খালি বাসটি অবশেষে উঠে যায় (তবে খালি থাকে)। = ডি

— জাচ

4

@ জ্যাচ প্রকৃতপক্ষে, এ কারণেই তারা দীর্ঘমেয়াদে, বিশেষত ভারী ট্র্যাফিকের উপরে ঝুঁকে পড়ে। বাসটি যেখানে বাস করি যখন পরবর্তী সময়ের জন্য প্রায় দেরি হয়ে চলে তখন তারা কখনও কখনও রুট বরাবর প্রায় একটি অতিরিক্ত বাস timeুকিয়ে দেয় (যেমন এটি কোনও যাত্রী নিয়ে চালিত করবে যেখানে কোনও বাস খুব বেশি পিছনে থাকবে না) সময়সূচী, প্রায়শই দ্রুত রুটের মাধ্যমে সেখানে পৌঁছানো) এবং যাত্রীদের বাছাই শুরু করুন যাদের জন্য এখন বাসটি একটু দেরি হয়েছে। এদিকে, খুব দেরিতে বাস এখন কার্যকরভাবে পরবর্তী বাসটি শিডিয়ুলের হয়ে যায় , এটি অন্য বাসটি কোথায় এসে

— পৌঁছেছে তার জন্য

@ গ্লেেন_ বি এটি সত্যিই ভাল ধারণা, হাহ!

— Zach

এটি একটি কার্যকর অ্যান্টি-ক্লাম্পিং কৌশল (কমপক্ষে, এটি সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি প্রশমিত করে); আমি এটিকে সামনে আনতে পারতাম না, এটি নির্ভরশীলতার ধরণের সাথে সম্পর্কিত যা আরও সঠিক বাস-ওয়েটিং-টাইম মডেলগুলির সাথে মোকাবিলা করার প্রয়োজন হতে পারে।

— Glen_b

10

বাসে আরও ... আলোচনার এতো দেরীতে কথোপকথনটি ঘুরে দেখার জন্য দুঃখিত, তবে আমি ইদানীং পোইসন প্রক্রিয়াগুলি দেখছি ... সুতরাং এটি আমার মন থেকে সরে যাওয়ার আগে এখানে পরিদর্শন প্যারাডক্সের চিত্রিত উপস্থাপনা :

বিভ্রান্তি এই ধারণা থেকে উদ্ভূত যে যেহেতু একটি নির্দিষ্ট আন্তঃ-আগমন গড় সময়ের সাথে বাসগুলি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন অনুসরণ করে (পোইসন রেট প্যারামিটারের বিপরীত , আসুন একে মিনিট বলি । ), যেকোন র্যান্ডম সময়ে বাস স্টেশনে দেখিয়ে, আপনি কার্যকরভাবে একটি বাস বাছাই করছেন। সুতরাং আপনি যদি এলোপাতাড়ি সময়ে বাস স্টেশনে দেখান, অপেক্ষার সময়ের লগ-বুক রাখেন, বলুন, এক মাস, আসলে আপনাকে বাসের মাঝামাঝি সময়ে আন্তঃ-আগমন সময় দেবে। তবে আপনি যা করছেন তা এটি নয়। $\lambda$ $\small \theta=1/\lambda=15$

যদি আমরা কোনও প্রেরণ কেন্দ্রে থাকতাম এবং সমস্ত বাস একটি পর্দায় দেখতে পেতাম তবে এটি সত্য হবে যে এলোমেলোভাবে একাধিক বাস বাছাই করা, এবং পেছনের নীচে বাসের দূরত্বের গড় গড় অভ্যন্তরীণ আগমন সময় উত্পন্ন করবে:

তবে, আমরা পরিবর্তে যা করি তা যদি বাস স্টেশনে প্রদর্শিত হয় (একটি বাস নির্বাচন করার পরিবর্তে), আমরা একটি সাধারণ সকালে বাসের সময়সূচির সময় বলি, একটি র্যান্ডম ক্রস-সেকশন করছি। আমরা বাস স্টেশনে যে সময়টি দেখানোর সিদ্ধান্ত নিয়েছি তা সময়ের "তীর" বরাবর খুব অভিন্নভাবে বিতরণ করা যেতে পারে। তবে, যেহেতু বাসগুলির মধ্যে দীর্ঘ সময়ের ব্যবধানগুলি আরও দূরে ছড়িয়ে পড়েছে, তাই আমরা এই "স্ট্রাগলারের" ওভার স্যাম্পলিং শেষ করার সম্ভাবনা খুব বেশি:

... এবং তাই, আমাদের অপেক্ষার সময় লগ বই আন্তঃ-আগমনের সময়কে প্রতিফলিত করবে না। এটি পরিদর্শন প্যারাডক্স।

এর প্রত্যাশিত অপেক্ষার সময় ওপিতে আসল প্রশ্নের মতো, মাইন্ড-বোগলিংয়ের ব্যাখ্যাটি পয়সন প্রক্রিয়াটির স্মৃতিবিহীন নেসে থাকে যা আমাদের শেষ বাসটি মিস করার সময় থেকে ফাঁক পেরিয়ে যায় time আমরা অপ্রাসঙ্গিক দেখানোর সময় পর্যন্ত স্টেশন এবং পরবর্তী বাসের আগমনের প্রত্যাশিত সময়টি অনড়ভাবে, মিনিট অবিরত থাকবে । Glen_b এর উত্তরে ডাইস উদাহরণ সহ এটি বিচ্ছিন্ন সময়ে (জ্যামিতিক বিতরণ) সবচেয়ে ভাল দেখা যায়। $15'$ $\theta=15$

প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি জানতে পারি যে পূর্ববর্তী বাসটি কতক্ষণ আগে ছেড়ে গেছে, মিনিট! জন সিতসিক্লিসের এই এমআইটি ভিডিওতে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে , আমাদের কেবল সময়ের দিকে পিছন দিকে পোইসন প্রক্রিয়া হিসাবে আগমনের বিষয়টির আগে কী দেখতে হবে : $\small \mathbb E[\text{time waiting (future) + time to last bus departure (past)}]=30$

এখনও অস্পষ্ট? - এটি লেগোস দিয়ে চেষ্টা করুন ।

— আন্তনি পরল্লদা
সূত্র

দুর্দান্ত চিত্র।

— Glen_b

2

একটি সাধারণ ব্যাখ্যা রয়েছে যা বিভিন্ন উত্তরগুলি সমাধান করে যা একটি পয়সন প্রক্রিয়া অনুযায়ী বাসের জন্য নির্দিষ্ট সময়ের সাথে আন্তঃসংযোগ সময় (এই ক্ষেত্রে 15 মিনিটের) জন্য আগত বাসগুলির জন্য প্রত্যাশিত অপেক্ষার সময় গণনা করা থেকে পাওয়া যায়, যার সমান্তরাল সময়গুলি তাই 15 মিনিটের গড়ের সাথে আইডি এক্সফেনশিয়াল হয় one ।

পদ্ধতি 1 ) পোইসন প্রক্রিয়া (সূচকীয়) স্মৃতিবিহীন হওয়ায় প্রত্যাশিত অপেক্ষা করার সময়টি 15 মিনিট।

পদ্ধতি 2 ) আপনি যে ইন্টিরিগ্রাভাল পিরিয়ডে পৌঁছেছেন তার সময় আপনি যে কোনও সময় সমানভাবে পৌঁছাতে পারবেন। সুতরাং প্রত্যাশিত অপেক্ষার সময়টি এই ইন্টিরিয়রাল পিরিয়ডের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যের 1/2। এটি সঠিক, এবং পদ্ধতির সাথে বিরোধী নয় (1)।

(1) এবং (2) উভয়ই কীভাবে সঠিক হতে পারে? উত্তরটি হ'ল আপনি যে সময়ে পৌঁছেছেন তার জন্য ইন্টিরিরিওরিয়াল পিরিয়ডের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য 15 মিনিটের নয়। এটি আসলে 30 মিনিট; এবং 30 মিনিটের 1/2 হ'ল 15 মিনিট, সুতরাং (1) এবং (2) একমত হন।

আপনি যে সময়ের সাথে পৌঁছেছেন তার জন্য কেন অন্তর্বর্তীকালীন সময়কাল 15 মিনিটের সমান নয়? এটি প্রথম কারণ "আগমনের সময় নির্ধারণ" করার মাধ্যমে, এটি যে ইন্টিরিগ্রাভাল পিরিয়ডে থাকে তা দৈর্ঘ্যের অন্তর্ভুক্তিকালীন গড় হওয়ার চেয়ে বেশি সম্ভাবনা থাকে। তাত্পর্যপূর্ণ ইন্টিরিরিভাল পিরিয়ডের ক্ষেত্রে, গণিতটি কাজ করে তাই আপনি যে সময়টিতে পৌঁছান সেগুলি সমেত আন্তঃআজ্ঞানের সময়কালে পোইসন প্রক্রিয়াটির জন্য দ্বিগুণ গড় আন্তঃসংগঠনের সময়যুক্ত ক্ষতিকারক হয়।

এটি যে স্পষ্টতই প্রকাশিত নয় যে আন্তঃআরচারীয় সময়ের জন্য সঠিক বন্টন আপনি যে সময়ে পৌঁছেছেন দ্বিগুণ অর্থ সহ একটি সূচকযুক্ত হবে, তবে এটি কেন স্পষ্টত তা ব্যাখ্যা করার পরেও স্পষ্ট। উদাহরণস্বরূপ বোঝার সহজ হিসাবে, আসুন আমরা বলি যে ইন্টিরিয়রাল সময়গুলি 10 মিনিটের সম্ভাব্যতার সাথে হয় 1/2 বা 20 মিনিটের সম্ভাব্যতার সাথে 1/2। এই ক্ষেত্রে, 20 মিনিটের দীর্ঘ ইন্টিরিরিভাল পিরিয়ডগুলি 10 মিনিটের দীর্ঘ ইন্টিরিরিভাল পিরিয়ড হিসাবে সমান হওয়ার সম্ভাবনা থাকে তবে এটি যখন ঘটে তখন এগুলি দ্বিগুণ দীর্ঘস্থায়ী হয়। সুতরাং, দিনের সময় পয়েন্টগুলির 2/3 সময়টি হবে এমন সময়ে হবে যা অন্তর্ভুক্তিকালীন সময়কাল 20 মিনিট হয়। অন্য একটি উপায় রাখুন, আমরা যদি প্রথমে একটি সময় বাছাই করি এবং তারপরে সেই সময়টি অন্তর্ভুক্তকারী সময়টি কী তা জানতে চাই, তবে ("দিনের" শুরুতে ক্ষণস্থায়ী প্রভাবগুলি উপেক্ষা করে) ) সেই আন্তঃআরংশের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য 16 1/3। তবে যদি আমরা প্রথমে আন্তঃসংযোগ সময়টি বাছাই করি এবং এর প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যটি কী তা জানতে চাই, তবে এটি 15 মিনিট।

পুনর্নবীকরণের প্যারাডক্স, দৈর্ঘ্য-পক্ষপাতমূলক নমুনা ইত্যাদির অন্যান্য রূপগুলি রয়েছে যা একই জিনিস হিসাবে বেশ পরিমাণে।

উদাহরণ 1) আপনার এলোমেলো লাইফটাইম সহ হালকা বাল্ব রয়েছে, তবে গড়ে 1000 ঘন্টা রয়েছে। যখন একটি হালকা বাল্ব ব্যর্থ হয়, এটি তত্ক্ষণাত অন্য একটি হালকা বাল্ব দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়। আপনি যদি হালকা বাল্বযুক্ত ঘরে inুকতে একটি সময় বেছে নেন, তবে হালকা বাল্বটি চালু রয়েছে, তবে এটি 1000 ঘন্টার চেয়ে বেশি সময় ধরে আজীবন থাকবে।

উদাহরণ 2) যদি আমরা একটি নির্দিষ্ট সময়ে কোনও নির্মাণ সাইটে যাই, তবে সেই সময় সেখানে নির্মাণ করা একজন শ্রমিক শ্রমিক বিল্ডিংয়ে পড়ে না যাওয়া পর্যন্ত (যখন তারা প্রথম কাজ শুরু করেছিলেন তখন থেকেই) শ্রমিকের অবধি সময়ের চেয়ে বড় হয় কাজ শুরু করা সমস্ত শ্রমিকের মধ্যে থেকে (তারা প্রথম কাজ শুরু করার সময় থেকে) পড়ে যায়। কেননা, যেহেতু কম হওয়া পর্যন্ত স্বল্প সময়ের সময় সহ শ্রমিকরা ইতিমধ্যে কম পড়েছে (এবং কাজ অব্যাহত রাখেনি) এর চেয়ে বেশি সম্ভাবনা রয়েছে, যাতে যে শ্রমিকরা তখন কাজ করছেন তাদের পতনের আগ পর্যন্ত গড় সময়ের চেয়ে বেশি সময় থাকতে পারে।

উদাহরণ 3) কোনও শহরে এলোমেলোভাবে কিছু সংখ্যক সাধারণ মানুষ বাছুন এবং তারা যদি শহরের মেজর লীগ বেসবল দলের হোম গেমসে (সমস্ত বিক্রি করে না) অংশ নিয়ে থাকেন, তবে তারা কত গেমসে অংশ নিয়েছিল তা খুঁজে বের করুন। তারপরে (কিছুটা আদর্শযুক্ত তবে খুব অযৌক্তিক অনুমানের অধীনে নয়), এই গেমগুলির জন্য গড় উপস্থিতি দলের হোম গেমগুলির জন্য গড় উপস্থিতির চেয়ে বেশি হবে। কেন? কারণ কম লোকের গেমের চেয়ে উচ্চ উপস্থিতি গেমসে অংশ নেওয়া আরও বেশি লোক রয়েছে, তাই আপনারা কম উপস্থিতি গেমের চেয়ে উচ্চ উপস্থিতি গেমসে অংশ নেওয়া লোকদের বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা বেশি।

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র

0

উত্থাপিত প্রশ্নটি হ'ল "... প্রতি 15 মিনিটে একটি বাস বাসস্টপে আসে এবং কোনও যাত্রী এলোমেলোভাবে আসে" ves যদি বাস প্রতি 15 মিনিটে আসে তবে এটি এলোমেলো নয় ; এটি প্রতি 15 মিনিটে আসে তাই সঠিক উত্তরটি 7.5 মিনিটের। হয় উত্সটি ভুলভাবে উদ্ধৃত করা হয়েছিল বা উত্সের লেখক ছিল নিচু।

অন্যদিকে, বিকিরণ সনাক্তকারীটিকে অন্যরকম সমস্যার মতো মনে হয় কারণ কিছু বিতরণ অনুযায়ী বিকিরণ ইভেন্টগুলি এলোমেলোভাবে উপস্থিত হয়, সম্ভবত প্রতিক্ষার সময় সহ পোয়েসনের মতো কিছু something

— এমিল ফ্রেডম্যান
সূত্র