একটি বন্টন গড় সম্পর্কে মুহুর্তের জন্য অন্তর্দৃষ্টি?

কেউ উপর একটি অনুভূতি প্রদান করতে পারেন কেন একটি সম্ভাব্যতা বিতরণের উচ্চতর মুহূর্ত , তৃতীয় ও চতুর্থ মুহূর্ত মত, বক্রতা মিলা এবং যথাক্রমে সূঁচালতা? বিশেষত, তৃতীয় বা চতুর্থ শক্তিতে উত্থাপিত গড় সম্পর্কে বিচ্যুতি কেন স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের একটি পরিমাপে অনুবাদ করে? ফাংশনের তৃতীয় বা চতুর্থ ডেরাইভেটিভগুলির সাথে এটি সম্পর্কিত কোনও উপায় আছে কি? $p_X$

স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের এই সংজ্ঞাটি বিবেচনা করুন:

\begin{matrix} Skewness (X) = E [(X - μ_{X})^{3}] / σ^{3}, \\ Kurtosis (X) = E [(X - μ_{X})^{4}] / σ^{4} . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$

এই সমীকরণগুলিতে আমরা একটি শক্তিতে মান বাড়িয়ে এবং এর প্রত্যাশিত মানটি নিয়ে যাই take আমার চার্জের শক্তিতে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে বাড়াতে কেন "পিকেসনেস" দেয় বা তিনটির শক্তিতে সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল কেন বাড়াতে "স্কিউনেস" দেওয়া উচিত তা আমার কাছে পরিষ্কার নয় is এটিকে যাদুকর এবং রহস্যময় মনে হচ্ছে! $(X-\mu)/\sigma$

— user248237
সূত্র

স্কিউ সম্পর্কে আমার স্বজ্ঞাততাটি লক্ষ্য করা যায় যে তৃতীয় শক্তি sণাত্মক সংরক্ষণ করে pre সুতরাং আপনার যদি ইতিবাচক তুলনায় গড় থেকে আরও বৃহত্তর নেতিবাচক বিচ্যুতি ঘটে (খুব সহজেই বলা যায়), তবে আপনি একটি নেতিবাচক স্কিউ বিতরণ দিয়ে শেষ করবেন। কুর্তোসিসের জন্য আমার স্বজ্ঞাততাটি হ'ল চতুর্থ শক্তিটি দ্বিতীয় শক্তি থেকে অনেক বেশি বিচ্যুতিকে প্রশস্ত করে। এই কারণেই আমরা কুর্তোসিসকে একটি বন্টনের লেজগুলি কতটা চর্বিযুক্ত তা পরিমাপ হিসাবে ভাবি। মনে রাখবেন যে গড় মি থেকে x এর খুব বড় সম্ভাবনাগুলি সামনের শক্তিতে উত্থাপিত হয়, যা তাদের প্রশস্ত করে তোলে তবে চিহ্নটিকে উপেক্ষা করে।

— ওল্ফসঠহেদুর

দেখুন stats.stackexchange.com/questions/84158/...

— whuber

যেহেতু চতুর্থ শক্তিগুলি ১ ম শক্তিগুলির তুলনায় বহিরাগতদের দ্বারা অনেক বেশি প্রভাবিত হয়, আমি আশা করি আপনি মধ্যবর্তী সম্পর্কে চতুর্থ মুহূর্তটি দেখার চেয়ে সামান্য লাভ করবেন - কমপক্ষে যদি দৃust়তা লক্ষ্য ছিল।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

প্রথম, নোট করুন যে এই উচ্চতর মুহুর্তগুলি অগত্যা / পিক হয়ে যাওয়ার অসম্পূর্ণতা / নির্ভরযোগ্য ব্যবস্থা নয়। এটি বলেছিল, আমি মনে করি যে বিমগুলি প্রথম তিনটি মুহুর্তের জন্য একটি ভাল শারীরিক অন্তর্দৃষ্টি দেয়, যেমন: অর্থ = মরীচি ভারসাম্য / স্কেল , ভেরিয়েন্স = ক্যান্টিলিভার নমনীয়তা , স্কিউনেস = সাসো ।

— জিওম্যাট 22

আপনি ঠিক, "পিকেন্ডনেস" পরিমাপ যেমন সূঁচালতা ব্যাখ্যার হয় ঐন্দ্রজালিক ও রহস্যময়। কারণ এটি মোটেও সত্য নয়। কুরটোসিস আপনাকে শিখর সম্পর্কে একেবারে কিছুই বলে না। এটি কেবল লেজগুলি (আউটলিয়ার) পরিমাপ করে। গাণিতিকভাবে এটি প্রমাণ করা সহজ যে শিখরের কাছাকাছি পর্যবেক্ষণগুলি কুর্তোসিস পরিমাপের জন্য একটি ছোট পরিমাণের অবদান রাখে, শিখরটি সমতল, স্পাইকযুক্ত, বিমোডাল, সাইনোসয়েডাল বা বেল-আকৃতির হোক না কেন।

— পিটার ওয়েস্টফল

উত্তর:

এই সংজ্ঞাগুলির জন্য একটি ভাল কারণ আছে, যা আপনি যখন স্ট্যান্ডার্ডযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মুহুর্তগুলির জন্য সাধারণ ফর্মটি দেখেন তখন স্পষ্ট হয়। এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য প্রথমে ম মানকীয় মুহুর্তের সাধারণ রূপটি বিবেচনা করুন : $n$ $^\dagger$

ϕ_{n} = E [(\frac{X - E [X]}{S [X]})^{n}] .

$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$

প্রথম দুটি কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি এবং , যা সমস্ত বিতরণকে ধরে রাখে যার জন্য উপরের পরিমাণটি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত। অতএব, আমরা অ-তুচ্ছ কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি বিবেচনা করতে পারি যা মানগুলির জন্য ঘটে । আমাদের বিশ্লেষণের সুবিধার্থে আমরা সংজ্ঞা দিই: $\phi_1=0$ $\phi_2=1$ $n \geqslant 3$

\begin{aligned} ϕ_{n}^{+} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X > E [X]] \cdot P (X > E [X]), \\ ϕ_{n}^{-} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X < E [X]] \cdot P (X < E [X]) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$

এগুলি অ-নেতিবাচক পরিমাণগুলি যা এটির প্রত্যাশিত মানের উপরে বা তার নিচে থাকার কারণে শর্তসাপেক্ষ র্যান্ডম পরিবর্তনীয় শর্তসাপেক্ষে ম পরম শক্তি দেয়। আমরা এখন এই অংশগুলিতে মানকৃত কেন্দ্রীয় মুহুর্তকে পচন করব। $n$

স্কু পরিমাপের জন্য অদ্ভুত মানগুলি : $n$ এর যেকোন বিজোড় মানের জন্য আমাদের কাছে মুহুর্তের সমীকরণের একটি বিজোড় শক্তি রয়েছে এবং তাই আমরা কেন্দ্রীয় মুহুর্তটি । এই ফর্মটি থেকে আমরা দেখতে পেলাম যে মানকযুক্ত কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি আমাদের যথাযথভাবে তার গড়ের উপরে বা নীচে অবস্থিত হওয়া শর্তসাপেক্ষে মানযুক্ত র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ম পরম শক্তির মধ্যে পার্থক্য দেয় । $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$ $n$

সুতরাং, যেকোন বিজোড় শক্তির জন্য আমরা একটি পরিমাপ পাই যা মানক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত পরম শক্তি গড়ের নীচের মানের চেয়ে উচ্চতর মানের জন্য উচ্চতর হয় এবং প্রত্যাশিত হলে নেতিবাচক মান দেয় গড়ের চেয়ে নীচের মানের চেয়ে নিখুঁত শক্তি গড়ের চেয়ে বেশি মানের জন্য। এই পরিমাণগুলির কোনওটিই যুক্তিসঙ্গতভাবে একটি ধরণের "skewness" এর একটি পরিমাপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, উচ্চতর শক্তিগুলি গড় থেকে দূরের মানগুলিকে আরও বেশি আপেক্ষিক ওজন দেয়। $n \geqslant 3$

যেহেতু এই ঘটনাটি প্রতিটি বিজোড় শক্তি জন্য ঘটে থাকে , তাই "skewness" এর একটি প্রত্নতাত্ত্বিক পরিমাপের জন্য প্রাকৃতিক পছন্দটি কে skewness হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি উচ্চতর বিজোড় শক্তির তুলনায় একটি নিম্ন প্রমিত কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এবং উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তগুলি বিবেচনা করার আগে নিম্ন-আদেশের মুহুর্তগুলি অন্বেষণ করা স্বাভাবিক। পরিসংখ্যানগুলিতে আমরা এই স্ট্যান্ডার্ডাইজড কেন্দ্রীয় মুহুর্তটিকে স্কিউনেস হিসাবে উল্লেখ করার কনভেনশন গ্রহণ করেছি , যেহেতু এটি সর্বনিম্ন মানযুক্ত কেন্দ্রীয় মুহূর্ত যা বিতরণের এই দিকটি পরিমাপ করে। (উচ্চতর বিজোড় শক্তিগুলি ধরণের সঙ্কোচনের ধরণগুলিও পরিমাপ করে তবে গড় থেকে দূরের মানগুলিতে আরও বেশি এবং বেশি জোর দিয়ে)) $n \geqslant 3$ $\phi_3$

এমনকি মান মুদ্রার উলটা পিঠ পরিমাপ উর্বরতা: $n$ কোন এমনকি মান জন্য আমরা এই মুহুর্তে সমীকরণের একটি এমনকি ক্ষমতা আছে এবং তাই আমরা মান কেন্দ্রীয় মুহূর্ত যেমন লিখতে পারেন । এই ফর্মটি থেকে আমরা দেখতে পেলাম যে মানকীকৃত কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি আমাদের যথাক্রমে তার গড়ের উপরে বা নীচে অবস্থিত, শর্তসাপেক্ষে মানযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরম শক্তির যোগফল দেয় । $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$ $n$

সুতরাং, যে কোনও শক্তির জন্য আমরা একটি পরিমাপ পেয়ে যা অ-নেতিবাচক মান দেয়, উচ্চতর মানগুলি ঘটে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণের লেজ মোটা হয়। নোট করুন যে এটি স্ট্যান্ডার্ডাইজড এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রতি সম্মানের সাথে একটি ফলাফল এবং সুতরাং স্কেল পরিবর্তন (বৈকল্পিক পরিবর্তন) এর এই পরিমাপের কোনও প্রভাব ফেলেনি। বরং বিতরণটির বৈকল্পিকতার জন্য মানককরণের পরে এটি কার্যকরভাবে লেজগুলির চর্বিগুলির একটি পরিমাপ। এর মধ্যে যে কোনও পরিমাণই যুক্তিসঙ্গতভাবে এক ধরণের "কুর্তোসিস" এর একটি পরিমাপ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, উচ্চতর শক্তিগুলি মধ্য থেকে দূরের মানগুলিকে আরও বেশি আপেক্ষিক ওজন দেয়। $n \geqslant 3$

যেহেতু এই প্রপঞ্চ যে এমনকি ক্ষমতার ঘটে , একটি আদিরূপাত্মক পরিমাপ জন্য প্রাকৃতিক পছন্দ সূঁচালতা সংজ্ঞায়িত হয় সূঁচালতা হিসাবে। এটি উচ্চতর এমনকি শক্তির তুলনায় একটি নিম্নমানের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এবং উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তগুলি বিবেচনা করার আগে নিম্ন-ক্রমের মুহুর্তগুলি অন্বেষণ করা স্বাভাবিক। পরিসংখ্যানগুলিতে আমরা এই মানকৃত কেন্দ্রীয় মুহূর্তটিকে "কুর্তোসিস" হিসাবে উল্লেখ করার কনভেনশন গ্রহণ করেছি, যেহেতু এটি সর্বনিম্ন মানযুক্ত কেন্দ্রীয় মুহূর্ত যা বিতরণের এই দিকটি পরিমাপ করে। (উচ্চতর এমনকি শক্তিগুলি কুর্তোসিসের ধরণগুলিও পরিমাপ করে তবে গড় থেকে দূরের মানগুলিতে আরও বেশি এবং বেশি জোর দিয়ে)) $n \geqslant 3$ $\phi_4$

$^\dagger$ এই সমীকরণটি এমন কোনও বিতরণের জন্য সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যার প্রথম দুটি মুহুর্ত রয়েছে এবং যার শূন্য-বৈকল্পিকতা রয়েছে। আমরা ধরে নেব যে বিশ্লেষণের বাকি অংশগুলির জন্য আগ্রহের বন্টন এই শ্রেণীর মধ্যে পড়ে।

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

অনুরূপ প্রশ্ন একটি সম্ভাবনা বিতরণের 'মুহুর্ত' সম্পর্কে এত 'মুহূর্ত' কি? আমি মুহুর্তগুলিকে সম্বোধন করে তার একটি শারীরিক উত্তর দিয়েছি ।

"কৌণিক ত্বরণ হ'ল কৌণিক গতিবেগের অনুকরণ, যা সময়ের সাথে সম্পর্কিত, যেমন, । বিবেচনা করুন যে দ্বিতীয় মুহূর্তটি একটি বৃত্তাকার গতির সাথে প্রয়োগ করা টর্কের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, বা আপনি যদি সেই বিজ্ঞপ্তিটির (যেমন, কৌণিক, ) গতিটির ত্বরণ / হ্রাস (দ্বিতীয় উত্পন্ন )ও করেন Similarly একইভাবে তৃতীয় মুহূর্তটি টর্কের পরিবর্তনের হার হয়ে উঠুন, এবং আরও অনেক বেশি মুহুর্তের জন্য পরিবর্তনের হারের পরিবর্তনের হারের পরিবর্তনের হারগুলি তৈরি করতে অর্থাত্, বৃত্তাকার গতির ক্রমবর্ধমান ডেরাইভেটিভস .... " $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$

লিঙ্কটি দেখুন কারণ এটি শারীরিক উদাহরণগুলির সাহায্যে এটি কল্পনা করা আরও সহজ।

কুর্তোসিসের চেয়ে অসুস্থতা বোঝা সহজ। একটি নেতিবাচক skewness হ'ল বিপরীত ডান এবং ধনাত্মক skewness চেয়ে একটি ভারী বাম লেজ (বা আরও নেতিবাচক দিক নির্বাহী)।

উইকিপিডিয়া ওয়েস্টফল (২০১৪) উদ্ধৃত করে এবং সূচিত করে যে উচ্চ কুর্তোসিসটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য বা এক বা দুটি ভারী লেজযুক্ত ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য উত্থিত হয় এবং দাবি করে যে কোনও তথ্য বা ঘনত্বের কেন্দ্রীয় প্রবণতা কুর্তোসিস মানের উপর তুলনামূলকভাবে খুব কম প্রভাব ফেলেছে। কুর্তোসিসের স্বল্প মূল্যগুলি বিপরীতকে বোঝায়, অর্থাত্ এক্সিস আউটলিয়ারের অভাব এবং উভয় লেজের আপেক্ষিক স্বল্পতা । $x$

— কার্ল
সূত্র

স্কেকনেস হ'ল এর পিডিএফের ব্যালেন্স পয়েন্ট এবং কুর্তোসিস হ'ল এর পিডিএফের ব্যালেন্স পয়েন্ট । উভয় রূপান্তর "প্রসারিত" লেজ, কুর্তোসিস আরও। যদি একটি ফুলক্রাম 0 এ রাখা হয় তখন এর পিডিএফ ডানদিকে পড়ে, তবে মূল বিতরণে ইতিবাচক স্কিউ রয়েছে। যদি ফুল rum.০ এ রাখে যখন of এর পিডিএফ ডানদিকে পড়ে, তবে মূল বিতরণটি সাধারণ বিতরণের চেয়ে ভারী-লেজযুক্ত। এখানে, "লেজগুলির ভারাক্রান্তি" ভরয়ের চেয়ে বেশি উত্সর্গকে বোঝায়। মুরসের ব্যাখ্যা "ঘনত্ব" উভয়েরই উল্লেখকে সঠিকভাবে বোঝায় না।

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

— পিটার ওয়েস্টফল 17

@ পিটারওয়েস্টফল আমি সম্মত হই যে মুরসের ব্যাখ্যাটি অসম্পূর্ণ। বিভ্রান্ত না হয়েও নির্ভুল ভাষা সহজেই অর্জনযোগ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ "লিভারেজ" নিন। লিভারেজের অর্থ প্রথম মুহূর্ত এবং দ্বিতীয় মুহুর্তে একজনকে "লিভারেজেড লিভারেজ" এর মতো কিছু আবিষ্কার করতে হবে যা আলোকিত হওয়ার চেয়ে আরও বেশি বিভ্রান্ত হতে পারে। আপনার দৃষ্টিভঙ্গিটি একটি অভিনব ধারণা আবিষ্কার করেছে, যেমন, "প্রসারিত উত্সাহ", যা জ্যামিতিক রূপান্তরিত করার ইঙ্গিত দেয় যার জন্য কেউ এমন কিছু অ্যাডভোকেটকেও দাবি করতে পারে যারা বিতর্কিত হওয়ার ঝুঁকিতে স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণ হিসাবে সমর্থন করে এবং অন্যদের জন্য শারীরিক নয় ।

— কার্ল

"লিভারেজ" ভেরিয়েবলের প্রথম মুহূর্ত বোঝায় , যেখানে । এটি রকেট বিজ্ঞান নয়।

U

$U$

U = Z^{4}

$U = Z^4$

— পিটার ওয়েস্টফল

@ পিটারওয়েস্টফল খুব বেশি পেনি হতে হবে, তবে আপনি লাভবান হচ্ছেন। অবশ্যই, আপনি এখনও শব্দটি ব্যবহার করতে পারেন, এবং যদি একটি মাত্রিক দূরত্বের তুলনায় চতুর্থ মাত্রিক বস্তু না হয়, , এটি এমনকি কার্যকর হতে পারে। এখানে প্রসঙ্গটি মুহুর্তগুলির, এবং মুহুর্তগুলির জন্য একটি শারীরিক মডেল তৈরি করে। বিভিন্ন উপায়ে যে কাজ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যে সম্পর্কে আমার উত্তর দেখার হয় এখানে । অন্য কথায়, মুহূর্তগুলিকে যেকোন শারীরিক প্রসঙ্গে রাখার জন্য, আমাদের হাতের avingেউ এবং চতুর্থ মাত্রার অনুরোধের চেয়ে আরও অনেক কিছু করতে হবে।

Z^{4}

$Z^4$

Z

$Z$

— কার্ল

@ পিটারওয়েস্টফোল বিজ্ঞপ্তি গতির প্রসঙ্গে আমরা দ্বিতীয় মুহুর্তটিকে টর্ক বলব , এবং উত্তোলনকে নয়, যদিও এটি ভুল না হলেও শারীরিক কিছু মনে রাখে না।

Z^{2}

$Z^2$

— কার্ল