সমঝোতা কাজ করে কেন?

সুতরাং আমি জানি যে আমরা যদি কোনও পরিমাণে स्वतंत्र র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X + Y$ সম্ভাব্যতা বন্টন সন্ধান করতে চাই, তবে আমরা $X$ এবং এর সম্ভাব্যতা বিতরণ থেকে এটি গণনা করতে পারি $Y$ ,

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

Intuitively, এই জ্ঞান করে তোলে, কারণ যদি আমরা সম্ভাব্যতা যে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সমষ্টি খুঁজতে চান , এটি মূলত সমস্ত ঘটনা ঐ ভেরিয়েবল summing হতে এর সম্ভাব্যতার যোগফল এর । তবে আমি কীভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে এই বিবৃতিটি প্রমাণ করতে পারি? $a$ $a$

probability

— জেসিকা
সূত্র

কিছুটা আলাদা প্রশ্ন, তবে উত্তর একই রকম ।

— কার্ল

উত্তর:

আরও সাধারণ সমাধান $Z = X + Y$ যেখানে $X$ এবং $Y$ অগত্যা স্বতন্ত্র নয়। সমস্যাগুলির জন্য একটি সাধারণ সমাধান কৌশল যেখানে আপনি ভাবছেন যে কোনও পিডিএফ কোথা থেকে এসেছিল বা কীভাবে এটি ন্যায়সঙ্গত করা যায়, তার পরিবর্তে সম্ভবত একটি সংশ্লেষ খুঁজে পাওয়া যায়, তারপরে সিডিএফকে পিডিএফ কমাতে পৃথক করে।

এটি দেখতে খুব সহজ যে সেক্ষেত্রে যেখানে হল - সমুদ্রেরঅঞ্চলযার জন্য । $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

এটি নীচের চিত্রের নীল ছোঁয়া অঞ্চল। এটিকে স্ট্রিপগুলিতে ভেঙে এই অঞ্চলে সংহত করা স্বাভাবিক - আমি এটি উল্লম্ব স্ট্রিপগুলি দিয়ে করেছি তবে অনুভূমিকগুলি এটি করবে। কার্যকরভাবে আমি প্রতিটি কো-অর্ডিনেটের জন্য একটি স্ট্রিপ দিয়ে শেষ করতে পারি থেকে পর্যন্ত এবং প্রতিটি স্ট্রিপ বরাবর আমি চাই মানগুলি রেখার উপরে না উঠে , তাই । $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

পদ সমাকলনের এখন আমরা অর্জন করেছেন সীমা এবং , আমরা একটি প্রতিকল্পন করতে পারেন , নিম্নরূপ পেয়ে উদ্দেশ্য নিয়ে, উপরের সীমা হিসাবে প্রদর্শিত । গণিতগুলি এতক্ষণ সোজা থাকে যতক্ষণ আপনি ভেরিয়েবলগুলি পরিবর্তন করতে জ্যাকবীয়িয়ান ব্যবহারটি বুঝতে পারছেন । $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

যতক্ষণ নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ হয় ততক্ষণ আমরা সাথে সম্মানের সাথে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের নীচে আলাদা করতে পারি : $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

এবং স্বতন্ত্র না হলেও এটি কাজ করে। তবে যদি তা হয় তবে আমরা দুটি প্রান্তিকের পণ্য হিসাবে যৌথ ঘনত্বটি আবার লিখতে পারি: $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

ডামি ভেরিয়েবল ক্ষতি ছাড়াই ইচ্ছে মতো হিসাবে লেখা যেতে পারে । $u$ $x$

ইন্টিগ্রালগুলির জন্য আমার স্বরলিপিটি জেফ্রি গ্রিমমেট এবং ডমিনিক ওয়ালশের বিভাগ 6.4 অনুসরণ করে, সম্ভাবনা: একটি ভূমিকা , অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 2000।

— Silverfish
সূত্র

+1 স্বরলিপি হিসাবে, কনভেনশনটি হ'ল একাধিক ইন্টিগ্রালের বাইরের পার্থক্যটি বাইরের অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; সুতরাং, ফর্ম একটি এক্সপ্রেশন

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

অনেক ক্ষেত্রের মোড়ে আমরা কীভাবে বিরোধী সম্মেলনের মুখোমুখি হয়েছি তা নিয়ে আমি ক্রমাগত আনন্দিত হই am এটি বিভিন্ন ব্যাকগ্রাউন্ডের লোকদের সাথে কাজ করার এক আনন্দ।

— হোয়বার

@ যেহেতু আমি জানি যে ইন্টিগ্রালগুলি নির্ধারণের জন্য সম্মেলনগুলি দেশগুলির মধ্যে ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয় - আপনি এটি টেক্স এসই টেক্সট থেকে উপভোগ করবেন ac

— সিলভারফিশ

$X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

$a$

$z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

$\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

$I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

পছন্দসই হিসাবে

$X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

$X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

এর মধ্যে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সাধারণ সূত্রগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, যদিও এটি স্বাভাবিকের চেয়ে কিছুটা আলাদা আকারে থাকে (কারণ এটি সম্ভাবনার ভর ফাংশনগুলির তুলনায় সিডিএফগুলির শর্তে বলা হয়)।

$a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— whuber
সূত্র