কোয়েমোগোরভের আখ্যানগুলি কি বাইয়েশিয়ানরা গ্রহণ করে?

সাধারণত কোলগোমোরভের অ্যালকোমিস দিয়ে প্রব্যাবিলিটি তত্ত্ব শেখানো হয়। বায়েশিয়ানরাও কি কলমোগোরভের স্বীকৃতি গ্রহণ করে?

probability bayesian kolmogorov-axioms

বায়েশিয়ান তত্ত্বটি সম্ভাবনার মানক অলক্ষেত্রগুলি অনুসরণ করে, তাই কোলমোগোরভ অ্যাক্সিমিয়াম থেকে।

— শি'য়ান

@ শি'য়ান: বিশ্বাসের এই সাবজেক্টিভ ডিগ্রিগুলি সম্ভাব্যতার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে - তাই প্রশ্ন, ও রামসে ও ডি ফিনেটির কাজ।

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

সে কারণেই আমি একজন "উদ্দেশ্যমূলক" বায়েশিয়ান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মান অনুযায়ী সংজ্ঞায়িত পূর্ব বিতরণগুলি দিয়ে শুরু করছি ...

— শি'য়ান

আমি বিশ্বাস করি যে সম্ভাবনার ব্যাখ্যা কক্স-জেনেস ব্যায়েশিয়ার সম্ভাবনার পক্ষে একটি শক্ত ভিত্তি সরবরাহ করে। (আমার উত্তর দেখুন) তবে, সে সম্পর্কে শি'র মতামতটি পাওয়া ভাল লাগবে।

— শীর্ষ সম্মেলন

@ সুমিত: আপনাকে ধন্যবাদ তবে আমি আশঙ্কা করছি যে আমি ইস্যুতে খুব আগ্রহী না ...!

— শি'য়ান

উত্তর:

আমার মতে, সম্ভাব্যতার কক্স-জেনেস ব্যাখ্যা বায়েশিয়ান সম্ভাব্যতার জন্য একটি শক্ত ভিত্তি সরবরাহ করে:

কক্স, রিচার্ড টি। "সম্ভাবনা, ফ্রিকোয়েন্সি এবং যুক্তিসঙ্গত প্রত্যাশা।" পদার্থবিজ্ঞানের আমেরিকান জার্নাল 14.1 (1946): 1-13।
জেনেস, এডউন টি। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব: বিজ্ঞানের যুক্তি। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, 2003
বেক, জেমস এল। "সম্ভাবনার যুক্তির ভিত্তিতে বয়েসিয়ান সিস্টেম শনাক্তকরণ।" কাঠামোগত নিয়ন্ত্রণ এবং স্বাস্থ্য পর্যবেক্ষণ 17.7 (2010): 825-847।

কক্স দ্বারা উত্পন্ন সম্ভাব্যতা যুক্তির সূত্রগুলি হ'ল:

(হল P1): (সম্মেলনের মাধ্যমে) $\Pr[b|a]\ge0$
(P2 এর): (অবহেলা ফাংশন) $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
(P3): (সংযোগ ফাংশন) $\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

অ্যাক্সিমস পি 1-পি 3 নিম্নলিখিতটি বোঝায় (বেক, জেমস এল। "সম্ভাবনার যুক্তির ভিত্তিতে বেইসিয়ান সিস্টেম সনাক্তকরণ।" স্ট্রাকচারাল কন্ট্রোল অ্যান্ড হেলথ মনিটরিং 17.7 (2010): 825-847):

(এটাকে P4): ক) ; খ) ; গ) $\Pr[b|b\cap c] = 1$ $\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$ $\Pr[b|c]\in[0,1]$
(পি 5): ক) , খ) , যেখানে অর্থ $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$ $\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$ $a \Rightarrow b$ $a$ মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় , এবং মানে যে সমতূল্য । $c$ $a \Leftrightarrow b$ $a$ $b$
(P6): $\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
(P7): Assuming যে প্রতিজ্ঞা বলে যে এক এবং একমাত্র প্রস্তাবের এক খ 1 , ... , খ এন সত্য হয় তাহলে:
- ক) প্রান্তিকীকরণ উপপাদ্য: $\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
- খ) মোট সম্ভাব্যতা উপপাদ্য: $\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
- গ) বেয়েসের উপপাদ্য: : $k=1,\ldots,N$ $\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

এগুলি কোলমোগোরভের যুক্তির বক্তব্যকে বোঝায়, যা একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে দেখা যেতে পারে।

আমার বায়েসীয় দৃষ্টিভঙ্গির ব্যাখ্যায়, সবসময় আমাদের বিশ্বাস এবং আমাদের জ্ঞানের উপর শর্তযুক্ত (স্পষ্টতই) থাকে।

নিম্নলিখিত তুলনাটি বেক (2010) থেকে নেওয়া হয়েছে: সম্ভাবনার যুক্তির ভিত্তিতে বায়েশিয়ান সিস্টেম সনাক্তকরণ

বায়েশিয়ান দৃষ্টিকোণ

সম্ভাব্যতা নির্দিষ্ট তথ্যের উপর ভিত্তি করে একটি বিবৃতিটির প্রশংসার পরিমাপ।

সম্ভাব্য বন্টন সিস্টেমগুলি এবং ঘটনাগুলির বিষয়ে কলুষিত জ্ঞানের রাষ্ট্রগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে, সেগুলির অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য নয়।
কোনও মডেলের সম্ভাবনা হ'ল কোনও সেটের অন্যান্য মডেলের তুলনায় এর কার্যকারিতাটির একটি পরিমাপ ।
প্রকৃতপক্ষে কোনও দাবি ছাড়াই তথ্য অনুপস্থিতির কারণে অনিশ্চয়তা পরিমাণে প্রমাণিত করে যে এটি প্রকৃতির অন্তর্নিহিত এলোমেলোতার কারণে।

ফ্রিকোয়েন্সিস্ট দৃষ্টিকোণ

সম্ভাবনা হ'ল দীর্ঘমেয়াদে সহজাতভাবে এলোমেলো ঘটনা সংঘটিত হওয়ার অপেক্ষাকৃত ফ্রিকোয়েন্সি ।

সম্ভাব্য বন্টন এলোমেলো ঘটনাগুলির সহজাত বৈশিষ্ট্য।
সীমিত সুযোগ, উদাহরণস্বরূপ কোনও মডেলের সম্ভাবনার কোনও অর্থ নেই।
অন্তর্নিহিত এলোমেলোভাবে ধরে নেওয়া হয়, তবে এটি প্রমাণিত হতে পারে না।

উপরের অক্ষরেখাগুলি থেকে কীভাবে কলমোগোরভের অ্যালকোহলগুলি পাওয়া যায়

নিম্নলিখিতটিতে, [বেক, জেমস এল। এর বিভাগ 2.2, "সম্ভাবনার যুক্তির ভিত্তিতে বায়সিয়ান সিস্টেম সনাক্তকরণ"। কাঠামোগত নিয়ন্ত্রণ এবং স্বাস্থ্য পর্যবেক্ষণ 17.7 (2010): 825-847।] সংক্ষিপ্তসার:

নিম্নলিখিতটিতে আমরা ব্যবহার করি: একটি সসীম সেট উপসেট সম্ভাব্যতা পরিমাপ : $\Pr(A)$ $A$ $X$

$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
$\Pr(X) = 1$
$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$ $A$ $B$

$\pi$ $x\in X$ $x$ $\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

$b=\{x\in A\}$ $c=\pi$
$\Pr[x\in X|\pi]=1$ ; P4(a), and $\pi$ states that $x\in X$ .
K3 can be derived from P6: $A$ and $B$ are disjoint means that $x\in A$ and $x\in B$ are mutually exclusive. Therefore, K3: $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

— Summit
সূত্র

From your K3 you can get to

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n\Pr(A_i)$ (finite additivity) but not to Kolmogorov's 3rd axiom,

Pr (\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i)$ (countable additivity) when the

A

$A$ 's are elements of a

σ

$\sigma$ -field, & not simply subsets of a finite set.

— Scortchi - Reinstate Monica

@Scortchi K.R.Koch in his introduction to Bayesian Statistics cites Bernardo and Smith (1994), Bayesian Theory, p. 105, as a source that shows how to address countable infinity. I have not checked it, but as a reference it may as well be given here.

— gwr

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিকাশের পরে লুজার ধারণাগুলি তারা যে অনুধাবন করেছিল তার কঠোর সংজ্ঞায়িত ধারণার পরিমাপকৃত "সম্ভাবনা" নামটির জবাব দেয় তা দেখাতে হবে। "সাবজেক্টিভ" বায়েসীয় সম্ভাবনাগুলি রামসে এবং ডি ফিনেটি দ্বারা বিবেচিত হয়েছিল, যারা স্বতন্ত্রভাবে দেখিয়েছিলেন যে তুলনামূলকতা এবং সুসংহততার সীমাবদ্ধতার সাথে বিশ্বাসের একটি মাত্রার পরিমাণের পরিমান (আপনার বিশ্বাসগুলি যদি কেউ কেউ তৈরি করতে না পারে তবে সুসংগত) আপনার বিরুদ্ধে ডাচ বই ) করতে হবে। সম্ভাবনা হও

অডিওম্যাটাইজেশনের মধ্যে পার্থক্যগুলি মূলত কোনটি সংজ্ঞায়িত করা উচিত এবং কোনটি উত্পন্ন হয়েছে তা নিয়ে মূলত স্বাদের বিষয়। তবে কলমোগোরভের মধ্যে গণনাযোগ্য সংযোজন হ'ল এটি কক্স বা ফিনেটি থেকে উদ্ভূত নয় এবং এটি বিতর্কিত হয়েছে। কিছু বায়েশিয়ান (যেমন ডি ফিনেটি এবং সেভেজ) সীমাবদ্ধ সংযোজনে এসে থামে সমস্ত অ্যালকোহল গ্রহণ করবেন না । তারা অসম্পূর্ণতা ছাড়াই অসীম বিরতিতে অভিন্ন সম্ভাবনার বন্টন রাখতে পারে। অন্যরা মনোটোন ধারাবাহিকতা ধরে ধরেও ভিলেগাসকে অনুসরণ করে এবং সেখান থেকে গণনাযোগ্য সংযোজন পান।

রামসে (1926), "সত্য এবং সম্ভাবনা", রামসে (1931), গণিত এবং অন্যান্য যৌক্তিক প্রবন্ধগুলির ফাউন্ডেশন

ডি ফিনেটি (1931), "সুল হিস্টেটো সোগেজটিভো ডেলা প্রবিলিটি", ফান্ডামেন্টা ম্যাথেমেটিক , 17 , পিপি 298 - 329

ভিলিগাস (1964), "গুণগত সম্ভাবনার উপর $\sigma$ -জেজব্র্যাস ", আন। গণিত। পরিসংখ্যান। , 35 , 4।

— স্কর্চচি - মনিকা
সূত্র

Why should my answer only deal with 'objective Bayesian' probabilities? The seminal work of Cox (1946) explicitly addresses the issue of subjectivity! It is a very interesting - and easy to read paper. I do not think that it makes sense to distinguish between 'subjective' and 'objective' Bayesian probabilities: Everything is always implicitly conditioned to the person performing the analysis -> and in this regard 'subjective'.

— Summit

concerning the derivation of the axioms stated Kolmogorov's from Cox's: I am satisfied by the way it is done in section 2.2 of Beck, James L. "Bayesian system identification based on probability logic." Structural Control and Health Monitoring 17.7 (2010): 825-847.

— Summit

@Summit: (1) You're right; it's rather that Ramsey & de Finetti's dispositional view of probability puts them squarely in the "subjective" camp, whereas Cox's is more generally applicable. (2) Are you saying countable additivity can be deduced from Cox's postulates?

— Scortchi - Reinstate Monica

I extended my answer, and look forward to your comments.

— Summit

@Summit: Thanks - I hope to find time to make mine even half as thorough. I've pointed out the gap between where you can get to from Cox's theorem & the "full" Kolmogorov axioms & think it's especially germane to the question (though I'd forgotten about it entirely when I first answered). Jaynes had some interesting things to say about this BTW.

— Scortchi - Reinstate Monica