স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের জন্য কি সাধারণীকরণের সমতুল্যতা রয়েছে?

Question

ডাটা হিসাবে একই ইউনিট থাকবে স্কেকনেস এর স্বাভাবিক সমতুল্য কি হবে? একইভাবে, কুর্তোসিসের সমতুল্য কি হবে? আদর্শভাবে, এই ফাংশনগুলি ডেটার সাথে সম্মানের সাথে রৈখিক হওয়া উচিত, যার অর্থ যদি সমস্ত পর্যবেক্ষণগুলি কোনও ফ্যাক্টর দ্বারা গুণিত করা হয় n, ফলস্বরূপ স্বাভাবিক করা স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস একই গুণকের দ্বারা বহুগুণ হয়ে যায় n। এ জাতীয় স্বাভাবিক সমতুল্য হওয়ার সুবিধা হ'ল এগুলি একটি স্ট্যান্ডার্ড বক্স-ও-হুইস্কারের প্লটের উপরে ওভারলে করতে সক্ষম হবে।

Comments

কী মজার প্রশ্ন!

— অ্যালেক্সিস

এগুলি গ্রাফগুলিতে চিত্রিত করা কতটা আলোকিত হবে তা আমি নিশ্চিত নই। আমরা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিগুলি চিত্রিত করার কারণ হ'ল তারা তথ্য ছড়িয়ে দেওয়ার প্রাকৃতিক পরিমাপ দেয় (যদি এটি সাধারণত বিতরণ করা হয়): পর্যবেক্ষণগুলির 65% ব্যবধানের মধ্যে থাকে। আমি মনে করি না তৃতীয় এবং চতুর্থ মুহুর্তের জন্য এমন প্রাকৃতিক ভিজ্যুয়াল ব্যাখ্যা রয়েছে।

— বেন কুহান

আপনি আপনার ডেটা সম্পর্কে কী দেখানোর চেষ্টা করছেন? যদি এটি বিতরণের একটি নির্দিষ্ট গুণগত আচরণ হয়, তবে কোনও বেহালা প্লটটি পছন্দনীয় হতে পারে? তবে হ্যাঁ, যাইহোক, এটি একটি মজাদার প্রশ্ন।

— বেন কুহান

কারও ডেটাসেটের বিতরণ দেখানোর জন্য একটি হিস্টোগ্রাম দেখে স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের ধারণা পাওয়া যায় তবে এটি এই ব্যবস্থাগুলির একটি খুব বিষয়গত ধারণা দেয়। আমি এগুলিকে দুটি লিনিয়ার স্কেলগুলিতে চিত্রিত করতে চাই, একটি বাক্স এবং হুইস্কারের প্লটের অক্ষের সমান্তরাল স্কিউনেসের জন্য, এটির অন্য অর্থেগোনাল। এটি প্রাথমিক বাক্সের উপরে পৃথক একটি ওভারলাইড হিসাবে চিত্রিত করা যেতে পারে। যে বাক্সটি লম্বা হবে তত বেশি ডেটা স্ককিযুক্ত। বিস্তৃত, আরও বিন্দু (উচ্চ কুর্তোসিস)।

— ইসমাইল limালিমি

এবং বেহালা প্লট লিঙ্কের জন্য ধন্যবাদ। এটা সত্যিই চালাক।

— ইসমাইল limালিমি

Answer 1

কৃপণতা ব্যবস্থাগুলি ইচ্ছাকৃতভাবে ইউনিটবিহীন ।

স্বাভাবিক মুহুর্ত-সঙ্কোচতা একটি প্রমিত তৃতীয় মুহূর্ত, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$।

আপনি যদি কেন্দ্র করেন তবে মানক না করেন, আপনার কাছে রয়েছে $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$... যা স্পষ্টতই কিউবেড ইউনিটে ।

আপনি একই ইউনিট কিছু চাইলে $X$, আপনাকে কিউব-রুটটি একইভাবে গ্রহণ করতে হবে, আমরা যেমন বৈচিত্রের বর্গমূল গ্রহণ করি এবং মূল ডেটার একই ইউনিটে কিছু পাই। (তবে - সাবধান, কারণ অনেক প্যাকেজগুলি নেগেটিভ সংখ্যার কিউব শিকড় গ্রহণ করবে না, আপনার এটি এ হিসাবে গণনা করতে হতে পারে:$\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$।)

আমি নিশ্চিত না যে এটি কতটা কার্যকর হবে।

দুটি পিয়ারসন স্কিউনেস ব্যবস্থাগুলির মতো আরও কিছু স্নিগ্ধতা ব্যবস্থা জন্য আপনি কেবলমাত্র দ্বারা গুণাবেন $\sigma$।

নমুনা skewness ব্যবস্থা যেখানে $\sigma$ এবং $\mu$ নমুনা skewness হিসাবে সাধারণত পরিচিত হয় না, আপনি সাধারণত তাদের নিজস্ব নমুনা অনুমান দ্বারা তাদের প্রতিস্থাপন করতে হবে।

কুরটোসিস একই প্যাটার্নটি অনুসরণ করে - মুহুর্তের কুর্তোসিসের জন্য, আপনাকে ডেটা দিয়ে স্কেল করে এমন কিছু পাওয়ার জন্য অযৌক্তিক চতুর্থ মুহুর্তের চতুর্থ শিকড় গ্রহণ করতে হবে।

কুর্তোসিসের অন্যান্য কয়েকটি ব্যবস্থার জন্য কেবল তাদের দ্বারা গুণিত করা প্রয়োজন $\sigma$।

Answer 2

কৃশতা এবং কুর্তোসিস আকৃতির বৈশিষ্ট্য। সুতরাং, যদি আমি আপনাকে বলি যে জিনিসটি, একটি বলটি গোলাকার হয় তবে বিষয়টিটির ব্যাসার্ধ কী তা বিবেচ্য নয়। এটি একটি ছোট বল বা একটি বড় বল হতে পারে । অন্যদিকে, আমি যখন ছোট বল বা একটি বড় কিউব বলি তখন আমি বস্তুর আকারের কথা উল্লেখ করছি, আকৃতি নয়।

এই ক্ষেত্রে, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হ'ল বিতরণের আকার, সে কারণেই স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস আকার দ্বারা স্বাভাবিক হয়। আপনি আরও বলতে পারেন যে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটি মেকানিক্সের সাথে সম্পর্কিত, এবং জ্যামিতির ক্ষেত্রে স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস। অতএব, না, আমাদের ভেরিয়েবলের পরিমাপের ইউনিটে থাকতে হবে না। আকার এবং আকৃতি পৃথক। একটি বড় এবং একটি ছোট বল সমান গোলাকার , অর্থাত্ এই ক্ষেত্রে মাপের কিছু যায় আসে না :)

Answer 3

অঞ্চলটিতে বিতরণ করা ভেক্টরগুলি বোঝানো হচ্ছে $R$আসুন, জিরোথ ধরে নেওয়া যাক এবং প্রথম মুহূর্তটি ইতিমধ্যে স্বাভাবিক হয়ে গেছে। দ্বিতীয় মুহূর্তটি দিয়ে গণনা করা হয়$M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$, সুতরাং যদি আমরা তির্যক খুঁজে পেতে পারি $M_2 = P\Lambda^2 P^T$, তাহলে আমরা সংজ্ঞা দিতে সক্ষম হব

$$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$$ যাতে $M_2$ স্বাভাবিক করা হয়:

$$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$$ $$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$$ $$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$$

দ্বিতীয় মুহুর্তের জ্যামিতিক অর্থ হ'ল "ওরিয়েন্টেশন", এটি ত্রুটিযুক্ত যে দ্বিতীয় মুহুর্তটি তির্যককরণকে স্বাভাবিক করে তোলে। এই স্বাভাবিকীকরণের অধীনে যখন স্কিউনেস গণনা করা হয়, তখন তাকে মার্ডিয়ার স্কিউনেস বলে ।