মুহুর্তের পদ্ধতির পিছনে যুক্তি কী?

"মুহুর্তের পদ্ধতিতে" কেন আমরা পয়েন্ট অনুমানকারী অনুসন্ধানের জন্য নমুনা মুহুর্তগুলিকে জনসংখ্যার মুহুর্তগুলির সাথে সমান করি?

এর পিছনে যুক্তি কোথায়?

intuition method-of-moments

— ব্যবহারকারী 31466
সূত্র

এটি সুন্দর হবে যদি আমাদের সম্প্রদায়ের একজন পদার্থবিজ্ঞানী এটিকে মোকাবেলা করতে পারি।

— মুগেন

@ মজগেন, আমি যাই হোক না কেন পদার্থবিজ্ঞানের সাথে কোনও সম্পর্ক দেখছি না।

— আকসাকাল

@ আকসাকাল তারা পদার্থবিজ্ঞানেও মুহুর্তের ক্রিয়াগুলি ব্যবহার করে এবং যখন কেউ আরও ভাল ব্যাখ্যার জন্য সমান্তরাল করে তোলে তখন সর্বদা এটি দুর্দান্ত nice

— Mugen

হিসাবে উল্লেখ এই উত্তর , বৃহৎ সংখ্যক আইন সমর্থন (asymptotic যদিও) একটি নমুনা মুহুর্ত জনসংখ্যা মুহূর্ত আনুমানিক হিসাব, (প্রায়ই) সহজ, ফলে জন্য প্রদান করে সামঞ্জস্যপূর্ণ estimators

— Glen_b -Reinstate মনিকা

পুরো ধারণাটি কি মুহুর্তগুলি ব্যবহার করে প্যারামিটারগুলি উপস্থাপন করা নয়? আপনি যদি পয়সন বিতরণের প্যারামিটারটি অনুমান করার চেষ্টা করেন তবে এর মতো (প্রথম মুহূর্ত) খুঁজে বের করে আপনি এটি আপনার প্যারামিটার ল্যাম্বদার জন্য অনুমানকারী হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন।

— অস্বীকার 631

উত্তর:

অভিন্ন এবং স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি থেকে উপলব্ধিগুলির সমন্বিত একটি নমুনা হ'ল এরগোডিক। এই জাতীয় ক্ষেত্রে, " তাত্ত্বিক মুহুর্তগুলি " সাধারণ বিতরণের তাত্ত্বিক মুহুর্তগুলির ধারাবাহিক অনুমানকারী, যদি তাত্ত্বিক মুহুর্তগুলি বিদ্যমান থাকে এবং সীমাবদ্ধ থাকে। $n$

এই যে মানে

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

সুতরাং তাত্ত্বিক মুহুর্তটি সমেত আমাদের সাথে থাকা নমুনা মুহুর্তের সাথে সমীকরণ করে

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

সুতরাং ( উপর নির্ভর করে না ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

সুতরাং আমরা এটি করি কারণ আমরা অজানা পরামিতিগুলির জন্য ধারাবাহিক অনুমানকারী পাই।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

"প্লেম" এর অর্থ কী? আমি "p" এর সাথে পরিচিত নই

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— ব্যবহারকারী 31466

@ বালি সম্ভাবনার সীমা

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

সম্ভাব্যতার সীমাটির পরিবর্তে যদি নিয়মিত সীমা থাকে তবে কী হবে?

— ব্যবহারকারী 31466

এটি আমাদের বলবে যে অনুমানকারী একটি ধ্রুবক হয়ে যায় , এটি নয় যে এটি একটির দিকে সম্ভাব্য প্রবণতা থাকে। সম্ভবত আপনি র্যান্ডম ভেরিয়েবল অভিসৃতি মোড আপ হওয়া উচিত, উইকিপিডিয়া একটি শালীন ভূমিকা রয়েছে en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@ অ্যালোকোসপ্যাপাডোপল্লোস সম্মত। আমি তখন ভাবছি যে "... এবং কিছু শর্তাবলী

" এর মতো সহজ কিছু রাখার অর্থ কী?

μ_{k}

$\mu_k$

— জেরোম বাউম

ইকোনোমেট্রিকরা এটিকে "সাদৃশ্য নীতি" বলে থাকেন। জনসংখ্যা বিতরণের ক্ষেত্রে আপনি জনসংখ্যাকে প্রত্যাশিত মান হিসাবে গণনা করছেন; আপনি নমুনা বন্টনের ক্ষেত্রে প্রত্যাশিত মান হিসাবে অনুমানকারীকে গণনা করুন এবং এটি নমুনার গড় হিসাবে প্রমাণিত হয়। আপনার একটি ইউনিফাইড এক্সপ্রেশন রয়েছে যার মধ্যে আপনি জনসংখ্যা ,

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

বা নমুনা

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

, যাতে

ডেল্টা-ফাংশনগুলির একগুচ্ছ, এবং

সাথে সম্মতিযুক্ত (লেবেসগু) অবিচ্ছেদ্যনমুনার যোগফল

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

। যদি আপনার কার্যকরী

পার্থক্যযুক্ত (দুর্বল) এবং

উপযুক্ত অর্থে

রূপান্তরিত হয়তবে অনুমানটি সামঞ্জস্যপূর্ণ তা নির্ধারণ করা সহজ, যদিও অবশ্যই আরও হুপলা দরকার অ্যাসিপটোটিক স্বাভাবিকতা বলুন।

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— StasK
সূত্র

আমি এটিকে "সাদৃশ্য নীতি" বলে শুনিনি, তবে এটি প্রায়শই ব্যবহৃত একনোমেট্রিক বিশ্লেষণ প্যাটার্ন: নমুনা নির্ধারণকারীটিকে প্লাগ করুন যখনই জনসংখ্যার প্যারামিটার প্রয়োজন হয় তবে অজানা।

— আকসাকাল

@ আকসাকাল: "যখনই জনসংখ্যার প্যারামিটার প্রয়োজন হয় তবে অজানা তা নমুনা অনুমানকারী প্লাগ করুন" " এই পদ্ধতির কি কেবল পরিসংখ্যান বলা হয় না?

— ব্যবহারকারী 60

@ ইউজার 603: না, না। অন্যান্য বিকল্প পদ্ধতি আছে, এবং প্লু-ইন অনুমানকগুলি খারাপ হতে পারে।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন